考试成绩分布的数学模型.doc

考试成绩分布的数学模型吴潇辉摘要：一门课程考完之后我们在分析成绩的时候会发现，一种班的成绩根据我们的经验往往是分布在[0，100]之间的任意一段（可设以10分为一段），并且考得特别低的很少，例如：0分、10分，考得特别高的也很少，例如：100分，但大多数人考的不是特别高也不是特别低，例如：70～90之间目前，我们要建立一种数学模型来研究分数的分布状况我们重要通过运用概率论中随机变量的概率分布规律的讨论，运用MATLAB软件对题目中的数据进行拟合的措施，并且把两种成果进行比较，最后得出学生成绩的分布服从三大随机变量概率分布中的正态分布核心词： 数据拟合 概率分布函数 概率密度函数 一、问题的提出： 大学生学完一门课程，要进行考试，考试之后就有了成绩通过这个成绩可以阐明学生的学习状况也可以阐明教师出题的合理性有人说一种班级的教师成绩应付从正态分布可，那么，这种说法与否对的呢？例如下面的表格给出了某班某门课的考试成绩：序号1234567891011成绩8185914662875173766271序号1213141516171819202122成绩9286848189857887818366序号2324252627282930313233成绩6987848267786455973474序号3435363738394041成绩4489827881817324下面我们要解决的问题是：1、通过上面的表格分析这个班的成绩与否服从正态分布。

2、结合表格中的成绩给出成绩服从正态分布的鉴别措施和原则，以阐明成绩分布的合理性二、模型假设： 1、次门课程出题的难易限度相对于学生的学习限度来说适中，也就是说这次成绩具有合理性，可以把它当作衡量其她出题与否合理的原则 2、为了下面分析的以便我们姑且觉得成绩的分布具有持续性 三．符号阐明在某一段分数上的人数；班级总人数；在某一段分数上的人数所占的比例；实验成果的概率；概率分布函数；概率密度函数；常数 四、模型建立与求解： 从上面的表格中我们可以看出：成绩分布在70～90分之间的人数最多，在0～50分以及90～100分的人数很少，50～69分之间的人数也比较少因此我们可以近似觉得学生成绩与分布在某一段成绩的人数之间关系可近似用下面的草图来表达：由于，也就是说对上面图中所有的纵坐标同除以41，因此应当不变化图形的形状，因此每一段分数上分布概率与分数段之间的关系如图所示：分数为随机变量，右上图可以观测出，分布在70～89分断的概率最大，同步我们可以粗略的计算出：这个班这门课程的平均成绩大概为：74.4分，它也就在这段分数中下面我们来阐明成绩大体服从正态分布：1、 随机变量的概率分布有三大分布，即：二项分布、泊松分布和正态分布，二项分布和泊松分布是用来讨论离散型随机变量，而我们在假设的时候已经把分数的分布近似的觉得是持续型随机变量。

2、 二项分布和泊松分布是建立在重贝努里实验的基本之上的，贝努里实验只有两个实验成果及，并且（其中），而成绩的浮现不也许只浮现两种成果，它不也许服从二项分布和泊松分布3、 理论表白，一种变量如果收到大量微小的、独立的随机因素的影响，那么这个变量一般是正态随机变量我们目前讨论的成绩正好满足这一点，影响成绩的因素诸多，例如：出题的难易、学生学习的限度、平时成绩的影响、学生的临场发挥、教师改试卷时的误差等等并且这些因素也是互相独立的，它们之间并不从在特殊关系综合所述，成绩的分布应当服从正态分布如下给出一种鉴别成绩服从正态分布的措施和原则：一方面对给出的数据进行分析：把每隔5分，分为20段，进行记录，记录出分数分布在每一段上的人数和在每一段上的人数所占的比例如下表：分数人数人数/总人数分数人数人数/总人数0-50051-5520.048786-100056-600011-150061-6530.0731716-200066-7030.0731721-2510.0243971-7540.0975626-300076-8040.0975631-3510.0243981-85120.29268236-400086-9060.14634141-4510.0243991-9520.0487846-5010.0243996-10010.02439对分析得出的数据做出如下图：从图中可以看出这些点近似服从正态分布的图像，目前再运用软件对这些数据进行拟合。

正态分布函数为，假设，而某一段分数分布的概率为，而每一段的概率可根据上面的表格得出，因此可用软件来拟合一种正态分布概率密度函数，假设正态分布函数为，可用表格中数据拟合可得出：，见附录1：根据这两个值，我们就可得出正态分布概率密度函数，因此目前做出它的图像进行分析便可鉴定成绩与否服从正态分布图像如下：为了便于分析成绩的分布状况，我们可做出如下两个区间的图像，由于成绩虽然只在这个区间上，但概率密度函数区间太小看出成绩分布的整体趋势，因此可对称的放在区间，但这不影响在这个区间上的分布状况 从以上两个图也可以看出如果只取，不也许精确分析成绩分布图，因此以上两种取法是合理的从图中可得出成绩分布符合正态分布密度函数图像的一般规律，概率密度图像是有关对称的，且在这一点处概率密度获得最大值，这是正态分布的一大重要性质，由此可得出成绩分布服从正态分布对这些数据进行分析并进行拟合，然后对密度函数图像分析，这就为分析成绩服从正态分布找到了一种措施而拟合出的密度函数图像与正态分布图像对比，就是阐明成绩服从正态分布的最佳凭证也就是说正态分布图像就是一种鉴定成绩服从正态分布的一种比较好的原则。

五．模型阐明 分数本不是持续性的，但可以把它觉得是持续性的，这为问题的分析提供了以便先是对成绩分布从合用范畴作了分析，它是服从正态分布是对问题的一种定性分析接着又根据所给数据进行具体分析，运用了拟合的措施，对成绩的分布进行了定量的分析，对图的对比这是本模型的最大特点，因此，这个成绩分布图可以作为检查教师出题的水平和学生学习的限度的一种原则六．模型推广 本模型还可合用于其他方面，如对不同年龄人的腰围，金属切削过程的产品成果等一维正态分布，还可以推广到多维正态分布的验证，这为多种工作的指引起了很重要的作用附录1：。