《测量学》教学课件05测量误差理论的基本知识.pdf

测测 量量 学学西南交通大学出版社第第5 5章章测量误差理论的基测量误差理论的基本知识本知识目录5 5. .1 1测量误差的概念和分类测量误差的概念和分类5.2 5.2 偶然误差的特性偶然误差的特性5.3 5.3 评定精度的指标评定精度的指标5.4 5.4 误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用5.5 5.5 同精度独立观测量的最佳估值及其中误差同精度独立观测量的最佳估值及其中误差5.6 5.6 广义算术平均值及权广义算术平均值及权本章小结本章小结习习题题本章要点本章要点本章主要介绍测量误差理论的基础知识本章主要介绍测量误差理论的基础知识，包括误差的分类包括误差的分类、衡量精度的指衡量精度的指标标、误差传播定律误差传播定律、中误差的计算方法中误差的计算方法、同精度观测同精度观测、不同精度观测不同精度观测、权权的含义等内容的含义等内容学习过程中学生应重点了解测量误差的来源和分类学习过程中学生应重点了解测量误差的来源和分类，了解了解偶然误差的特性偶然误差的特性，评定误差精度的指标评定误差精度的指标，误差传播率及其应用误差传播率及其应用了解算术了解算术平均值的求取过程平均值的求取过程，并评定其精度并评定其精度。

01测量误差的概念测量误差的概念和分类和分类通常将对未知量进行测量的过程称为观测，测量的数值称为观测值观测值与真实值（简称真值）之间的差异，称为测量误差或者观测误差，亦称为真误差在不产生歧义的情况下，也可简称为误差设观测值为 （i=1，2，n），其真值为x，则测量误差 的数学表达式为：= ( = 1,2,)通常情况下，每次观测都会有观测误差存在视距测量视距测量1.1. 测量误差的来源测量误差的来源测量工作是观测者使用某种测量仪器或者工具，在一定的外界条件下进行的观测活动因此，测量误差的来源主要有以下三个方面：（1 1）仪器的误差仪器的误差主要是仪器、工具构造上的缺陷及仪器、工具本身精密度的限制2 2）观测者的误差观测者的误差由于观测者测量技术水平或者感官能力的局限而产生主要体现在仪器的对中、照准、读数等几个方面3 3）外界条件的影响外界条件的影响在观测工作中，不断变化的温度、湿度、风力、可见度、大气折光等外界因素给测量带来的误差点的标定与直线定线点的标定与直线定线（2）系统误差在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，若误差出现的符号和数值大小均相同，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。

系统误差具有累积性，对测量结果影响甚大，但它的符号和大小有一定的规律，应当设法消除或减弱其影响具体措施如下： 校正仪器如对水准仪的视准轴不平行于水准轴的校正，经纬仪照准部水准管轴不垂直于竖轴或度盘偏心的误差对测量水平角的影响的校正等 采用适当的观测方法如角度测量中的正、倒镜观测，盘左、盘右读数，分不同时间段观测；三角高程测量中的对向观测；等等 计算改正如对测距观测值进行必要的尺长改正、温度改正、气压改正、频率改正等 系统误差补偿即把系统误差作为一种未知参数来处理点的标定与直线定线点的标定与直线定线（3）偶然误差在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如误差出现的符号和大小均不一致，且从表面上看没有任何规律性，这种误差称为偶然误差当不存在粗差和系统误差的情况下，偶然误差实际上就是观测值与真值之差，即= 式中 偶然误差； 观测值； 真值点的标定与直线定线点的标定与直线定线02偶然误差的特性偶然误差的特性大量的实践证明，如果对某量进行多次观测，在只含有偶然误差的情况下，偶然误差列呈现出统计学上的规律性观测的次数愈多，这种规律愈明显现观测了358个三角形，将每个三角形内角和真误差的大小按一定区间统计如表5.1所示。

偶然误差的特性偶然误差的特性表4.1 方位角和象限角的关系误差区间误差区间负误差负误差正误差正误差误差绝对值误差绝对值dk k/nk k/nk k/n033669912121515181821212424以上45 0.12640 0.11233 0.09223 0.06417 0.04713 0.0366 0.0174 0.0110 01810.50546 0.12841 0.11533 0.09221 0.05916 0.04513 0.0365 0.0142 0.0060 0177 0.49591 0.25481 0.22666 0.18444 0.12333 0.09226 0.07311 0.0316 0.0170 0358 1.000由表中数据可以看出：（1）小误差的个数比大误差多2）绝对值相等的正负误差的个数大致相等3）最大误差不超过 1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会要多3）绝对值相等的正误差与负误差出现的机会相等4）同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的增加而趋近于零，人们通过反复实践和认识，总结出偶然误差列具有如下的特性：偶然误差的特性偶然误差的特性（4）同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的增加而趋近于零，即lim= 0式中，n为观测次数， = 1+ 2+ + 。

为了更直观地表示偶然误差的正、负大小的分布情况，可根据表5.1数据作图5.1图中以偶然误差的大小表示横坐标，以误差出现于各区间的频率除以区间为纵坐标，每一个误差区间上的长方条面积代表误差出现在该区间内的频率该图在统计学中称为频率直方图偶然误差的特性偶然误差的特性显然，图5.1中矩形面积的总和等于1，每一矩形的面积大小，表示在该区间内偶然误差出现的频率/例如图中有阴影的一个矩形面积，即表示误差出现在+6+9之间的频率在数理统计中，这条曲线称为“正态分布密度曲线”，图5.1 偶然误差的分布图偶然误差的特性偶然误差的特性如图5.2所示根据偶然误差的统计特性，推导出该曲线的方程式为： =1| 2222 = () 称为分布密度式中m称为中误差，在概率统计中，|m|=称为均方差图5.2 误差正态分布曲线03评定精度的指标评定精度的指标1.1. 精精度度精度是指在一定的观测条件下，对某个量进行观测，其误差分布的密集或离散的程度由于精度是表征误差分布的特征，而观测条件又是造成误差的主要来源因此，在相同的观测条件下进行的一组观测，尽管每一个观测值的真误差不一定相等，但它们都对应着同一个误差分布，即对应着同一个标准差。

评定精度的指标评定精度的指标2. 2. 中误差中误差衡量观测结果精度的标准有许多种，测量工作中通常采用中误差设在等精度条件下对某未知量进行了n次观测，其观测值为1， 2， ，真误差相应为1， 2， ，则观测精度可用下式来表示： = 式中， = 12+ 22+ + 2，m称为观测值的中误差，亦称均方误差，即每个观测值都具有这个精度，在概率统计中常用字母来表示中误差 不同于各个观测值的真误差，它反映地是一组观测精度的整体指标，而真误差是描述每个观测值误差的个体指标评定精度的指标评定精度的指标中误差的大小不同，其偶然误差的概率分布密度曲线也不同如图5.3所示，设 1|2|，则说明相应于1的偶然误差列比相应于2的偶然误差列更密集在原点两侧由于分布密度曲线与横轴之间的面积皆等于1，故|1|的曲线所截纵轴的位置比|2|的曲线高，说明1所对应观测值的精度比2所对应观测值的精度高所以由以上可以推出，中误差m越小，表明该组观测值误差的分布越密集，各观测值之间的整体差异也越小，这组观测值的精度就越高反之，该组观测值精度就越低评定精度的指标评定精度的指标图5.3 不同精度的误差曲线图3. 3. 平均误差平均误差在测量工作中，有时为了计算简便，采用平均误差这个指标。

平均误差就是在一组等精度观测中，各误差绝对值的平均数，其表达式为： = |式中| 误差绝对值的总和评定精度的指标评定精度的指标4. 4. 相对误差相对误差真误差及中误差都是绝对误差为了更客观地衡量精度，还必须引入相对误差的概念相对误差就是中误差的绝对值与相应测量结果之比，通常以分子为l的分式来表示相对中误差可表示为： =|=1/|式中，m 长度D值的中误差上述两段距离的相对误差为：1=|1|1=0.02100=150002=|2|2=0.02200=15000评定精度的指标评定精度的指标在上例中用相对中误差来衡量观测精度，就可知后者的精度比前者高在距离测量中，往往并不知道其真值，不能直接用 =|，常采用往、返观测值的相对误差来进行校核，相对误差的表达式为：|往 返|平均=平均=1平均/从表达式可以看出，相对误差实质上是相对中误差它反映了该次往、返观测值的误差情况显然，相对误差越小，观测结果越可靠评定精度的指标评定精度的指标5. 5. 容许误差容许误差由偶然误差的第一个特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值故常以三倍中误差作为偶然误差的极限值（称为极限误差），即极= 3在实际工作中，有的测量规范要求观测值不容许存在较大的误差时，常以两倍中误差为误差的容许值，称为容许误差，即允= 2如果观测值中出现了超过2 m的误差，就可以认为该观测值不可靠，应舍去不用。

评定精度的指标评定精度的指标04误差传播定律误差传播定律及其应用及其应用在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另外一些直接观测值用间接的方法计算出来例如，欲求某一点的坐标（x 、y ），则是通过观测该点与已知点间的水平距离和水平角来进行计算显然，在此种情况下，未知量是各个独立直接观测值的函数因此，所求未知量的中误差与观测值的中误差之间必有一定的关系，阐述这种关系的定律，称为误差传播定律误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用1. 1. 误差传播定律误差传播定律设 是独立观测量1,2,的函数，即 = (1,2,)其中函数Z的中误差为，各独立观测量1, 2, 的中误差分别为1, 2,设：= 式中 各独立观测量相应的观测值； 各观测值的偶然误差则有： = (1 1,2 2, )误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用用泰勒级数展开成线性函数的形式，并整理成： = 1,2, (11+22+ +)等式的右边第二项就是函数 的误差 的表达式，即：=11+22+ +误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用因为、（ ij）均为独立观测值的偶然误差，其乘积也必然具有偶然误差的特性根据偶然误差特性（4），有：lim= 0( )所以当观测次数k足够多，式（5.14）可以简写成：12= (1)2112+ (2)2122+ + ()212根据式 = 2，有：12= 2；12= 2误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用上式中i=1，2，n。

将式（5.16）、式（5.17）代入式（5.15），可得：2= (1)212+ (2)222+ + ()22即=(1)212+ (2)222+ + ()22误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用函数名称函数名称函数关系式函数关系式中误差传播公式中误差传播公式和差函数和差函数 = 1 2 = 1 2 = 12+ 22= 12+ 22+ + 2倍数函数倍数函数Z=Cx（C为常数）= 线性函数线性函数 = 11 22 = 1212+ 2222+ + 222表5.2 常见函数的误差传播公式2. 2. 误差传播定律的应用误差传播定律的应用误差传播定律在测绘领域的应用十分广泛，不仅可以求得观测值函数的中误差，还可以研究确定容许误差，或事先分析观测可能达到的精度等应用误差传播定律时，首先应根据问题的性质，列出正确的观测值函数关系式，再利用误差传播公式求解误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用05同精度独立观测量的同精度独立观测量的最佳估值及其中误差最佳估值及其中误差在实际测量工作中，为了提高测量成果的精度，同时也为了发现和消除粗差和系统误差，往往会对某个未知量进行重复观测。

重复测量形成了多余观。