振动之同方向的简谐振动的合成.ppt

{范例5.9} 同一直线上的简谐振动的合成(1)求任意两个同一直线同频率的简谐振动的合振动；(2)有N个 同一直线同频率的简谐振动，它们的振幅都是ΔA，相差都是 Δφ，第一个振动的初相为零求N个简谐振动的振幅和初相 (3)求两个相一直线、频率相近的简谐振动的合振动由于两个振动在同一直线上，因此合振动为 x = x1 + x2 = A1cos(ωt + φ1) + A2cos(ωt + φ2)= (A1cosφ1 + A2cosφ2)cosωt- (A1sinφ1 + A2sinφ2)sinωt令Acosφ = A1cosφ1 + A2cosφ2，Asinφ = A1sinφ1 + A2sinφ2, 则x = Acosφcosωt – Asinφsinωt =Acos(ωt + φ),[解析](1)如图所示，设有两个独立的同频率的简谐振动， 位移为x1 = A1cos(ωt + φ1)，x2 = A2cos(ωt + φ2)其中xMφ1Ox2A2Pωφφ2AA1ωωx1 x①当两个分振动同相时 Δφ = φ2 - φ1 = 2kπ,(k = 0，±1，±2，...)因为cos(φ2 - φ1) = 1，所以可见：合振幅等于原来两个简谐 振动的振幅之和，振动加强。

②当两个分振动反相时 Δφ = φ2 - φ1 = (2k + 1)π ,(k = 0，±1，±2，...)[讨论] x = cos(ωt + φ),因为cos(φ2 - φ1) = -1，所以xMφ1Ox2A2Pωφφ2AA1ωωx1 x合振幅等于原来两个简谐振动的 振幅之差的绝对值，振动减弱如果A1 = A2，则合振动的 结果使质点处于静止状态 一般情况下，合振幅介于A1 + A2和|A1 - A2|之间{范例5.9} 同一直线上的简谐振动的合成两个振动同相， 合振动加强，振 幅达到0.07m 如果第一个振 动的振幅和初 相分别为 0.03m和0，第二个振动 的振幅和初 相分别为 0.04m和0，如果两个振动 的振幅不变， 角度分别是0 和90，x2超前 x1的相位π/2，合振幅为 0.05m，初 相的度数 达到53如果将两 个角度数 改为0和 180，则两 个振动反 相，合振 动减弱， 振幅只有 0.01m如果将两个角度数改为0和- 90，x2滞后x1的相位π/2除了同相和反相 的情况外，合振 动的极大值的横 坐标处在两个分 振动的极大值的 横坐标之间2)有n个同一直线同频率的简谐振动，它们的振幅都 是ΔA，相差都是Δφ，第一个振动的初相为零。

求n个 简谐振动的振幅和初相n个简谐振动可表示为 x1 = ΔAcosωt，x2 = ΔAcos(ωt + Δφ)， x3 = ΔAcos(ωt + 2Δφ)，…，xn = ΔAcos[ωt + (n - 1)Δφ]根据矢量合成法则，这 些简谐振动对应的旋转 矢量的合成如图所示由于各个振动的振幅相同且相差 恒为Δφ，图中各个矢量的起点和 终点都在以C为圆心的圆周上[解析](2)采用旋转矢量法可使问题得到 简化，从而避开烦琐的三角函数运算设圆的半径为r，每个矢量对 应的圆心角都是Δφ ，因此 全部矢量对应的圆 心角是nΔφ，因此这是多个 等幅同频 振动的合 振幅公式 ΔA 1ΔφΔφΔφΔφΔA2ΔA 3ΔA 4ΔA5AMnΔφφΔφCr{范例5.9} 同一直线上的简谐振动的合成这是多个等幅同频振动的初相公式2)有n个同一直线同频率的简谐振动，它们的振幅都 是ΔA，相差都是Δφ，第一个振动的初相为零求N个 简谐振动的振幅和初相初相为合振动为x = Acos(ωt + φ)当Δφ→0时，有A→nΔA， φ→0，这就是等幅同频同 相振动合成的情况如果nΔA = 2π，就是 所有矢量旋转构成一 个正多边形，则A = 0 。

振幅这是多个等幅同频振动的振动公式ΔA 1ΔφΔφΔφΔφΔA2ΔA 3ΔA 4ΔA5AMnΔφφΔφCr{范例5.9} 同一直线上的简谐振动的合成如果有7个分振动，相差依次为20度，各个分振动的振幅相同，位相差恒定将各个 分振动 叠加之 后，振 幅越来 越大， 初位相 也越来 越大矢量首尾相接形成多边形的 一部分，最后首尾相接的矢 量就是合振动，合振幅为A = 5.4ΔA ，初相为60度当各振 动逐级 叠加时 ，合振 幅先增 加再变 小取10 个分 振动 ，相 差依 次为 30度 合振幅为A = 1.9 ΔA，初相为135度取12个分振动，相差依 次为30度，分振动就构 成一个完整的正多边形 ，合振幅为零如果分振动的相差为零，那 么，正多边形变成一条线3)求两个同一直线、频率相近的简谐振动的合振动x1 = Acos(ω1t + φ)，x2 = Acos(ω2t + φ)利用和差化积公式可得合振动为可见：两个同方向不 同频率的简谐振动合 成之后不是简谐振动 ，也没有明显的周期 性当两个分振动的频率比较大而差异比较小时：|ω2 - ω1| << ω2 + ω1，方程就表示了振幅按2Acos[(ω2 - ω1)t/2]变化 的角频率为(ω2 + ω1)/2的“近似”的简谐振动。

这种振动的振幅变化是周期性的， 相对于简谐振动来说是缓慢的[解析](3)设一个质点同时参与两个同一直线不同频率的简谐振 动，角频率分别为ω1和ω2，为了突出频率不同所产生的效果， 设分振动的振幅和初相位都相同，因此两个分振动方程为由于余弦函数的绝对值的周期 为π，设时间周期为Tp，则有因此拍频如上{范例5.9} 同一直线上的简谐振动的合成不妨设两 个振动的 初相都为 零，第一 个角频率 为π/2，第 二个角频 率比第一 个角频率 大Δω = π/10每经过 20s， 两个振 动的最 大值重 合经 过10s ，两个 振动的 极大值 和极小 值重合 拍频为fp = Δω/2π = 1/20Hz，拍频的周期为T p = 1/fp = 20s 一条曲线的角频率较大，是两个分振动的角频率的平 均值；另一条曲线的角频率较小，称为调制线因为质点振幅的改变是周期性的，就形成 时强时弱的现象，这种现象称为“拍”调制线决定了振幅的范围两个振动的最大值重合的周期随着发生变化，调制线的周期增大如果将两 个振动的 角频率之 差改小一 些，例如 Δω = π/ 15，两个 振动的最 大值重合 的周期随 着发生变 化。

拍频为fp = Δω/2π = 1/30Hz，拍频的周期为T p = 1/fp = 30s。