2015年普通高等学校招生全国考试数学(文)(北京卷).docx

2015 年普通高等学校招生全国考试数学（文） （北京卷）本试卷共 5 页， 150 分 .考试时长 120 分钟 .考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回 .一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 .在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 .（1）若集合 A x 5 x 2 ， B x 3 x 3 ，则 A B （ ）.A. x 3 x 2 B. x 5 x 2 C. x 3 x 3 D. x 5 x 3（2）圆心为 1,1 且过原点的圆的方程是（ ） .（ A ） x2y1211（ C） x2y1212（ B） x2y1211（D ） x2y1212（3）下列函数中为偶函数的是（）.（ A ） yx2 sin x （ B） yx2 cosx（C） y ln x（ D） y 2 x（4）某校老年， 中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有320 人，则该样本的老年人数为（）.（A） 90（B）100（ C） 180（ D） 300类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300（5）执行如果所示的程序框图，输出的k 值为（）.开始1k= 0,a= 3,q=2a=aqk=k+ 1是否1a<4输出 k结束（ A ） 3 （B ）4 (C)5 (D)6（6）设 a ， b 是非零向量，“ a b = a b ”是“ a // b ”的（ ）.（ A ）充分而不必要条件（ B）必要而不充分条件（ C）充分必要条件（ D）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ） .(A) 1 （B） 2 （C） 3 (D) 211 1正（主）视图 侧（左）视图俯视图（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况 .加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年 5月1日12350002015 年 5月 15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每 100千米平均耗油量为 ().A 6 升B.8升C.10升D.12 升第二部分（非选择题共110 分）二、填空题（共6 小题，每小题5 分，共 30分）（9）复数 i 1i的实部为.3 ，1（10） 232 ， log 2 5 三个数中最大数的是.（11）在 △ ABC 中， a 3 ， b6 ，A2π.3， B（12）已知 2,0是双曲线 x2y2 1 b0的一个焦点，则 b.b2（ 13 ）如图， △ ABC 及其内部的点组成的集合记为D ， P x, y为 D 中任意一点，则z 2x3 y 的最大值为.yC(0,2)A(2,1)O B(1,0) x（14）高三年级 267 位学生参加期末考试，某班 37 位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生 .267267数语学文成成丙绩绩年年级甲级名乙名次次总成绩年级名次267总成绩年级名次267从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是.三、解答题（共6 题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题13 分）已知函数 fxsin x2 3sin 2 x2（1）求 f x的最小正周期；（2）求 fx在区间 0, 2π 上的最小值 .3（16）（本小题 13 分）已知等差数列 an 满足 a1 a2 10 ， a4 a3 2 .（1）求 an 的通项公式；（2）设等比数列 bn 满足 b2 a3 ， b3 a7 ；问： b6 与数列 an 的第几项相等？（17）（本小题 13 分）某超市随机选取 1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买 .商品甲乙丙丁顾客人数100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率（ 3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？（ 18）（本小题 14 分）如图，在三棱锥 E ABC 中，平面 EAB 平面 ABC ，三角形 EAB 为等边三角形，AC BC ，且 AC BC 2，O，M 分别为 AB ，VA的中点.（ 1） 求证 :： VB // 平面 MOC .（2） 求证：平面 MOC 平面 VAB 求三棱锥 V ABC 的体积 .VMABOC（19）（本小题13 分）设函数 f xx2k ln, k 0 .2（ 1）求 f x 的单调区间和极值；（ 2）证明：若 f x 存在零点，则 f x 在区间 1, e 上仅有一个零点 .(20)( 本小题 14 分 )已知椭圆 C : x2 3y2 3 ，过点 D 1,0 且不过点 E 2,1 的直线与椭圆 C 交于 A ，B 两点，直线 AE 与直线 x 3 交于两点 M（ 1）求椭圆 C 的离心率；（ 2）若 AB 垂直于 x 轴，求直线（ 3）试判断直线 BM 与直线 DE.BM 的斜率；的位置关系，并说明理由 .。