河北省中考数学总复习 第五章 四边形 第二节 矩形、菱形、正方形课件.ppt

第二节　矩形、菱形、正方形知识点一知识点一 矩形的性质与判定矩形的性质与判定 1 1．矩形：有一个角是．矩形：有一个角是 _____ _____ 的平行四边形叫做矩形．的平行四边形叫做矩形．直角直角2 2．矩形的性质：．矩形的性质：(1)(1)矩形的对边矩形的对边 ______________________；；(2)(2)矩形的四个角都是矩形的四个角都是 _____ _____ ；；(3)(3)矩形的对角线矩形的对角线 _____ _____ ；；(4)(4)矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有有 __ __ 条对称轴．条对称轴．平行且相等平行且相等直角直角相等相等2 23 3．矩形的判定：．矩形的判定：(1)(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；(2)(2)对角线对角线 __________的平行四边形是矩形；的平行四边形是矩形；(3)(3)有三个角是有三个角是 _____ _____ 的四边形是矩形．的四边形是矩形．相等相等直角直角知识点二知识点二 菱形的性质与判定菱形的性质与判定 1 1．菱形：有一组邻边．菱形：有一组邻边 _____ _____ 的平行四边形叫做菱形．的平行四边形叫做菱形．相等相等2 2．菱形的性质：．菱形的性质：(1)(1)菱形的四条边都菱形的四条边都 _____ _____ ；；(2)(2)菱形的对角菱形的对角 _____ _____ ；；(3)(3)菱形的两条对角线互相菱形的两条对角线互相 _____ _____ ，并且每一条对角，并且每一条对角线平分一组对角；线平分一组对角；(4)(4)菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有有 __ __ 条对称轴．条对称轴．相等相等相等相等垂直垂直2 23 3．菱形的判定：．菱形的判定：(1)(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)(2)四条边四条边 _____ _____ 的四边形是菱形；的四边形是菱形；(3)(3)对角线互相对角线互相 _____ _____ 的平行四边形是菱形．的平行四边形是菱形．相等相等垂直垂直知识点三知识点三 正方形的性质与判定正方形的性质与判定 1 1．正方形：有一组邻边．正方形：有一组邻边 _____ _____ ，并且有一个角是，并且有一个角是 _____ _____ 的平行四边形叫做正方形．的平行四边形叫做正方形．相等相等直角直角2 2．正方形的性质：．正方形的性质：(1)(1)正方形的四个角都是正方形的四个角都是 _____ _____ ，四条边都，四条边都 _____ _____ ；；(2)(2)正方形的对角线相等且正方形的对角线相等且 __________________________，每条对角，每条对角线平分一组对角；线平分一组对角；(3)(3)正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有有 __ __ 条对称轴．条对称轴．直角直角相等相等互相垂直平分互相垂直平分4 43 3．正方形的判定：．正方形的判定：(1)(1)有一组邻边有一组邻边 _____ _____ 的矩形是正方形；的矩形是正方形；(2)(2)对角线互相对角线互相 _____ _____ 的矩形是正方形；的矩形是正方形；(3)(3)有一个角是有一个角是 _____ _____ 的菱形是正方形；的菱形是正方形；(4)(4)对角线对角线 _____ _____ 的菱形是正方形．的菱形是正方形．相等相等垂直垂直直角直角相等相等矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，正方形是矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，正方形是特殊的菱形，还是特殊的矩形，它们之间的关系如下：特殊的菱形，还是特殊的矩形，它们之间的关系如下：考点一考点一 矩形的性质与判定矩形的性质与判定 (5(5年年5 5考考) ) (2013 (2013··河北河北) )已知：线段已知：线段ABAB，，BCBC，，∠ABC∠ABC＝＝9090°°. .求作：矩形求作：矩形ABCD.ABCD.以下是甲、乙两同学的作业：以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是对于两人的作业，下列说法正确的是( )( )A A．两人都对　　　　　　　　．两人都对　　　　　　　　B B．两人都不对．两人都不对C C．甲对，乙不对．甲对，乙不对 D D．甲不对，乙．甲不对，乙【分析】【分析】 根据甲、乙两人的作业，分别判断四边形根据甲、乙两人的作业，分别判断四边形ABCDABCD是否为矩形即可．是否为矩形即可．【自主解答】【自主解答】 由甲同学的作业可知，由甲同学的作业可知，CDCD＝＝ABAB，，ADAD＝＝BCBC，，∴∴四边形四边形ABCDABCD是平行四边形．是平行四边形．又又∵∠ABC∵∠ABC＝＝9090°°，，∴∴▱ ▱ABCDABCD是矩形，是矩形，∴∴甲的作业正确；甲的作业正确；由乙同学的作业可知，由乙同学的作业可知，C CM M＝＝A AM M，，M MD D＝＝M MB B，，∴∴四边形四边形ABCDABCD是平行四边形．是平行四边形．又又∵∠ABC∵∠ABC＝＝9090°°，，∴∴▱ ▱ABCDABCD是矩形，是矩形，∴∴乙的作业正确．乙的作业正确．故选故选A.A.(1)(1)矩形性质的应用：从边上看，两组对边分别平行且相矩形性质的应用：从边上看，两组对边分别平行且相等；从角上看，矩形的四个角都是直角；从对角线上看，等；从角上看，矩形的四个角都是直角；从对角线上看，对角线互相平分且相等，同时把矩形分为四个面积相等的对角线互相平分且相等，同时把矩形分为四个面积相等的等腰三角形．等腰三角形．(2)(2)矩形的判定方法：若四边形可以证为平矩形的判定方法：若四边形可以证为平行四边形，则还需证明一个角是直角或对角线相等；若直行四边形，则还需证明一个角是直角或对角线相等；若直角较多，可利用角较多，可利用““三个角为直角的四边形是矩形三个角为直角的四边形是矩形””来证．来证．1 1．．(2016(2016··河北河北) )关于关于▱ ▱ABCDABCD的叙述，正确的是的叙述，正确的是( )( )A A．若．若AB⊥BCAB⊥BC，则，则▱ ▱ABCDABCD是菱形是菱形B B．若．若AC⊥BDAC⊥BD，则，则▱ ▱ABCDABCD是正方形是正方形C C．若．若ACAC＝＝BDBD，则，则▱ ▱ABCDABCD是矩形是矩形D D．若．若ABAB＝＝ADAD，则，则▱ ▱ABCDABCD是正方形是正方形C C2 2．．(2017(2017··河北模拟河北模拟) )如图，将矩形纸片如图，将矩形纸片ABCDABCD沿其对角沿其对角线线ACAC折叠，使点折叠，使点B B落到点落到点B′B′的位置，的位置，AB′AB′与与CDCD交于点交于点E E，，若若ABAB＝＝8 8，，ADAD＝＝3 3，则图中阴影部分的周长为，则图中阴影部分的周长为( )( )A A．．16 B16 B．．19 C19 C．．22 D22 D．．2525C C3 3．在．在▱ ▱ABCDABCD中，过点中，过点D D作作DE⊥ABDE⊥AB于点于点E E，点，点F F在边在边CDCD上，上，DFDF＝＝BEBE，连接，连接AFAF，，BF.BF.(1)(1)求证：四边形求证：四边形BFDEBFDE是矩形；是矩形；(2)(2)若若CFCF＝＝3 3，，BFBF＝＝4 4，，DFDF＝＝5 5，求证：，求证：AFAF平分平分∠∠DAB.DAB.证明：证明：(1)∵(1)∵四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，∴DC∥AB∴DC∥AB，即，即DF∥BE.DF∥BE.又又∵DF∵DF＝＝BEBE，，∴∴四边形四边形BFDEBFDE为平行四边形．为平行四边形．又又∵DE⊥AB∵DE⊥AB，，∴∠DEB∴∠DEB＝＝9090°°，，∴∴四边形四边形BFDEBFDE为矩形．为矩形．考点二考点二 菱形的性质与判定菱形的性质与判定 (5(5年年5 5考考) ) (2017 (2017··河北河北) )求证：菱形的两条对角线互相垂直．求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCDABCD是菱形，对角线是菱形，对角线ACAC，，BDBD交于点交于点O.O.求证：求证：AC⊥BD.AC⊥BD.以下是排乱的证明过程：以下是排乱的证明过程：①①又又BOBO＝＝DODO，，②∴AO⊥BD②∴AO⊥BD，即，即AC⊥BD.AC⊥BD.③∵③∵四边形四边形ABCDABCD是菱形，是菱形，④∴AB④∴AB＝＝AD.AD.证明步骤正确的顺序是证明步骤正确的顺序是( )( )A A．．③→②→①→④ B③→②→①→④ B．．③→④→①→②③→④→①→②C C．．①→②→④→③ D①→②→④→③ D．．①→④→③→②①→④→③→②【分析】【分析】 根据菱形是特殊的平行四边形以及等腰三根据菱形是特殊的平行四边形以及等腰三角形的性质证明即可．角形的性质证明即可．【自主解答】【自主解答】 ∵∵四边形四边形ABCDABCD是菱形，是菱形，∴AB∴AB＝＝AD.AD.∵∵对角线对角线ACAC，，BDBD交于点交于点O O，，∴BO∴BO＝＝DODO，，∴AO⊥BD∴AO⊥BD，，即即AC⊥BDAC⊥BD，，∴∴证明步骤正确的顺序是证明步骤正确的顺序是③→④→①→②③→④→①→②. .故选故选B.B.(1)(1)判定一个四边形是菱形时，一是证明四条边相等；判定一个四边形是菱形时，一是证明四条边相等；二是先证明它是平行四边形，再证明它是菱形．二是先证明它是平行四边形，再证明它是菱形．(2)(2)运运用菱形的性质时，要注意菱形的对角线互相垂直这个条用菱形的性质时，要注意菱形的对角线互相垂直这个条件；此外，菱形的对角线所在的直线是菱形的对称轴，件；此外，菱形的对角线所在的直线是菱形的对称轴，运用这一性质可以求出线段和的最小值．运用这一性质可以求出线段和的最小值．6 6．．(2016(2016··聊城聊城) )如图，在如图，在RtRt△ABC△ABC中，中，∠B∠B＝＝9090°°，，点点E E是是ACAC的中点，的中点，ACAC＝＝2AB2AB，，∠BAC∠BAC的平分线的平分线ADAD交交BCBC于点于点D D，，作作AF∥BCAF∥BC，连接，连接DEDE并延长交并延长交AFAF于点于点F F，连接，连接FC.FC.求证：四边形求证：四边形ADCFADCF是菱形．是菱形．考点三考点三 正方形的性质与判定正方形的性质与判定 (5(5年年5 5考考) ) (2016 (2016··临沂临沂) )如图如图1 1，在正方形，在正方形ABCDABCD中，点中，点E E，，F F分别分别是边是边BCBC，，ABAB上的点，且上的点，且CECE＝＝BF.BF.连接连接DEDE，过点，过点E E作作EG⊥DEEG⊥DE，，使使EGEG＝＝DEDE，连接，连接FGFG，，FC.FC.(1)(1)请判断：请判断：FGFG与与CECE的数量关系是的数量关系是 ，位置关系是，位置关系是 ；；(2)(2)如图如图2 2，若点，若点E E，，F F分别是分别是CBCB，，BABA延长线上的点，其他延长线上的点，其他条件不变，条件不变，(1)(1)中结论是否仍然成立？请作出判断并给予中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；证明；(3)(3)如图如图3 3，若点，若点E E，，F F分别是分别是BCBC，，ABAB延长线上的点，其他条延长线上的点，其他条件不变，件不变，(1)(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．【分析】【分析】 (1)(1)证明四边形证明四边形CEGFCEGF是平行四边形即可得出结是平行四边形即可得出结论；论；(2)(2)构造辅助线后证明构造辅助线后证明△HGE≌△CED△HGE≌△CED，利用对应边相等，利用对应边相等求证四边形求证四边形GHBFGHBF是矩形后，利用等量代换即可得出结论；是矩形后，利用等量代换即可得出结论；(3)(3)证明证明△CBF≌△DCE△CBF≌△DCE后，即可证明四边形后，即可证明四边形CEGFCEGF是平行四是平行四边形，从而得出结论．边形，从而得出结论．【自主解答】【自主解答】 (1)FG(1)FG＝＝CECE　　FG∥CEFG∥CE　　(2)(2)如图，过点如图，过点G G作作GH⊥CBGH⊥CB的延长线于点的延长线于点H.H.∵EG⊥DE∵EG⊥DE，，∴∠GEH∴∠GEH＋＋∠DEC∠DEC＝＝9090°°. .∵∠GEH∵∠GEH＋＋∠HGE∠HGE＝＝9090°°，，∴∠DEC∴∠DEC＝＝∠∠HGE.HGE.又又∵∠GHE∵∠GHE＝＝∠DCE∠DCE，，EGEG＝＝DEDE，，∴△HGE≌△CED∴△HGE≌△CED，，∴GH∴GH＝＝CECE，，HEHE＝＝CD.CD.∵CE∵CE＝＝BFBF，，∴GH∴GH＝＝BF.BF.∵GH∥BF∵GH∥BF，，∴∴四边形四边形GHBFGHBF是矩形，是矩形，∴GF∴GF＝＝BHBH，，FG∥CHFG∥CH，即，即FG∥CE.FG∥CE.∵∵四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，∴CD∴CD＝＝BCBC，，∴HE∴HE＝＝BCBC，，∴HE∴HE＋＋EBEB＝＝BCBC＋＋EBEB，即，即BHBH＝＝ECEC，，∴FG∴FG＝＝EC.EC.(3)(3)成立．成立．(1)(1)证明一个四边形是正方形，可以先判定四边形为矩形，证明一个四边形是正方形，可以先判定四边形为矩形，再证邻边相等或者对角线互相垂直；或先判定四边形为菱再证邻边相等或者对角线互相垂直；或先判定四边形为菱形，再证有一个角是直角或者对角线相等．形，再证有一个角是直角或者对角线相等．(2)(2)正方形既正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，具有它们的所有性质．是特殊的矩形，又是特殊的菱形，具有它们的所有性质．7 7．．(2014(2014··河北河北) )如图，将长为如图，将长为2 2、宽为、宽为1 1的矩形纸片分割的矩形纸片分割成成n n个三角形后，拼成面积为个三角形后，拼成面积为2 2的正方形，则的正方形，则n≠( )n≠( )A A．．2 B2 B．．3 C3 C．．4 D4 D．．5 5A A8 8．．(2017(2017··路北区一模路北区一模) )如图，四边形如图，四边形ABCDABCD，，AEFGAEFG均为正均为正方形，其中方形，其中E E在在BCBC上，且上，且B B，，E E两点不重合，连接两点不重合，连接BG.BG.根据图根据图中标示的角判断下列中标示的角判断下列∠1∠1，，∠2∠2，，∠3∠3，，∠4∠4的大小关系正确的大小关系正确的是的是( )( )A A．．∠1<∠2 B∠1<∠2 B．．∠∠1>∠21>∠2C C．．∠3<∠4 D∠3<∠4 D．．∠∠3>∠43>∠4D D9 9．．(2017(2017··六盘水六盘水) )如图，在正方形如图，在正方形ABCDABCD中，等边三角形中，等边三角形AEFAEF的顶点的顶点E E，，F F分别在边分别在边BCBC和和CDCD上，则上，则∠AEB∠AEB＝＝ ______度．度．7575。