1992第九届 全国 初中数学联赛(含答案).pdf

读万卷书 行万里路 1 1992 第九届全国初中数学联赛 第一试 一、选择题 本题共有 8 个题，每小题都给出了 ABCD四个结论，其中只有一个是正确的请把正确 结论的代表字母写在题后的圆括号内 1满足||1abab++=的非负整数()ab，的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 2 若 0 x是一元二次方程 2 0(0)axbxca++=的根， 则判别式 2 4bac =与平方式 2 0 (2)Maxb=+ 的关系是（ ） AM BM = CM D不确定 3若 2 1310 xx+ =，则 44 xx+的个位数字是（ ） A1 B3 C5 D7 4 在半径为1的圆中有一内接多边形， 若它的边长皆大于1且小于2， 则这个多边形的边数必为（ ） OD C B A x y 读万卷书 行万里路 2 A7 B6 C5 D4 5 如图， 正比例函数yx=和(0)yax a=的图像与反比例函数(0) k yk x =的图像分别相交于A点 和C点若RtAOB和COD的面积分别为 1 S和 2 S，则 1 S与 2 S的关系是（ ） A 12 SS B 12 SS= C 12 SS D不确定 6在一个由8 8个方格组成的边长为 8 的正方形棋盘内放一个半径为 4 的圆，若把圆周经过的 所有小方格的圆内部分的面积之和记为 1 S， 把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记 为 2 S，则 1 2 S S 的整数部分是（ ） A0 B1 C2 D3 7如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，2ABCD=，60A =， 又E是底边AB上一点，且FEFBAC==，FAAB= A1:2 B1:3 C2:5 D3:10 8设 2 x， 2 x， 3 x，， 9 x均为正整数，且 129 xxx， 129 220 xxx+++=，则当 12345 xxxxx+++++的值最大时， 91 xx的最小值是（ ） A8 B9 C10 D11 二、填空题 F C E D BA 读万卷书 行万里路 3 1若一等腰三角形的底边上的高等于18cm，腰上的中线等15cm，则这个等腰三角形的面积等于 __________ 2若0 x ，则 244 11xxx x +++ 的最大值是__________ 3在ABC中，90C=，A和B的平分线相交于P点，又PEAB于E点，若2BC =， 3AC =，则AE AB=_________ 4若a，b都是正实数，且 111 0 abab = + ，则 33 ba ab += __________ 第二试 一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程 2 60 xxa+=的两根，当这样 的三角形只有一个时，求a的取值范围 二、如图，在ABC中，ABAC=，D是底边BC上一点，E是线段AD上一 点，且2BEDCEDA= = 求证：2BDCD= A BCD E 读万卷书 行万里路 4 三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由 0，1，2，3，5，6 这六个不同数字组成，现有四个编码 如下： A320651 B105263 C612305 D316250 已知编码A，B，C，D各恰有两个数字的位置与M和N相同D恰有三个数字的位置与M和 N相同试求：M和N 1992 第九届全国初中数学联赛 答案 一、选择题 1C 【解析】 由 || 1 (10) 0 ab ab = = ，，(0 1)，， 读万卷书 行万里路 5 又由 || 0 (1 1) 1 ab ab = = ， ，，共有 3 对 故选 C 【点评】 这道题目比较简单，非负整数的信息就决定了只有两种情况，分情况讨论就可以了，大家需 要注意的就是保证准确，提高速度 2B 【解析】 设 0 x是方程的根，则 2 00 0axbxc++= 所以 2222 000 (2)44axba xabxb+=++ 22 00 4 ()4a axbxcbac=+++ 2 4bac= 故选 B 【点评】 这是一道涉及到一元二次方程的简单题目，只需要把根带入，同时利用平方和公式把所求得 M通过拆分和配凑化成所需要的形式就可以了 3D 【解析】 由 2 1310 xx+ =知0 x ， 读万卷书 行万里路 6 所以 1 13xx+=， 222 133167xx+==， 442 1672xx+= 从而 442 1672xx+=的个位数字为927= 故选 D 【点评】 这道题目也比较简单，主要用到的就是配方的技巧，由此可见，同学们一定要对平方和公式 以及配方的技巧多多练习，增加熟练度，这样在考场上才能提高速度 4C 【解析】 若满足条件的多边形的边数大于或等于 6，则至少有一边所对的圆心角不大于60由余弦定 理知该边长必不大于 1；同理，若存在满足条件的四边形，则它至少有一边长不小于2 故选 C 【点评】 这道题考查的主要是圆的内接多边形的性质，或者更进一步说，是弦长和圆心角的关系，熟 悉这种情况的话，相信大家很快就能作出答案 5B 【解析】 设A点的坐标为 11 ()xy，，C点的坐标为 22 ()xy，，则 1122 x yx yk== 111222 1111 2222 SOB ABx yx yOD CDS===== 读万卷书 行万里路 7 故选 B 【点评】 这道题目比较简单，只需要把交点的坐标设出来，利用题目给出的关系列出式子，问题就迎 刃而解了 6B 【解析】 据正方形的对称性，只需考虑它的 1 4 部分即可，记圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积 之和为 1 S ，圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和为 2 S ，则 1 48S =， 2 154S = 11 22 4484.56 41542.44 SS SS == 故 1 2 S S 的整数部分是 1 故选 B 【点评】 这道题目也不难，关键是利用对称性，可以简化运算，这一点大家要注意，做题的时候也要 有意识的利用对称性，这样可以提高做题速度 7B 【解析】 设1CD =，则2FAAB==， 读万卷书 行万里路 8 易证 1 1 2 BCAB==，90ABC=，3FEFBAC=== ABFFBE， ABBF BFBE =， 2 3 2 BF BE AB ==， 于是 1 2 AE =，所以:1:3AE EB = 故选 B 【点评】 这道题目并不难，只是比较麻烦，边角的关系比较多，在这种情况下，令1CD =是一种很有 效的简化手段，接下来，只要足够耐心细致，很快就可以作出解答 8B 【解析】 先证 125 110 xxx+++ 若不然，设 125 110 xxx+++，则 5 25x 从而 6 26x ， 7 27x ， 8 28x ， 9 29x 于 是 129 220 xxx+++与假设矛盾 若取 1 20 x =， 2 21x =， 3 22x =， 4 23x =， 5 24x =，则所以当 125 xxx+++取得最大值时， 1 x最大的值是 20 若取 6 27x =， 7 27x =， 8 28x =， 9 29x =，则 6789 110 xxxx+++=所以，当 125 xxx+++取得最大值时， 9 x最小的值是 29因此 91 xx的最小值是29209= 【点评】 这道题目涉及整数和不等式，应该说有一定的难度，首先猜得前五个数之和为仍小于总和的 一半 110，证实以后，通过尝试，得出取极值的情况，最终得出结论总之，解这种题目的 办法就是大胆的假设，小心地求证 二、填空题 读万卷书 行万里路 9 1 2 144cm 【解析】 如图 1，在ABC中，设ABAC=，ADBC，AMMC=，则18cmAD =，15cmBM = 又设AD与BM相交于G，则是ABC的重心 1 6cm 3 GDAD==， 2 10cm 3 BGBM==， 8cmBD = 2 1 144cm 2 ABC SBC AD== 【点评】 这道题目对同学们来说应该非常简单，主要就是考察三角形重心的性质，相信大家很快就可 以求解 232 【解析】 244 11xxx x +++ 244 11 x xxx = ++++ 22 22 11 ||1 x xxx xx = ++ ++ 读万卷书 行万里路 10 22 11 ||32 x xxx xx = +++ 所以当 1 0 x x =时，上式取得最大值为 1 32 32 = + 【点评】 这道题目不难，主要用到了分子有理化和配方的技巧，只要大家耐心细致，作出正确的答案 并不成问题 33 【解析】 如图 2，作PDAC于D，PFBC于F，则： () 11 ()513 22 CDCFACBCAB==+=， () 1 131 2 ADACCD==+， () 1 131 2 BFBCCF==， 3AE EBAD BF== 【点评】 这道题目并不困难，看到角平分线，很显然的就想到做出P点到AC和BC两边的垂线，接下 来问题就迎刃而解了，只是大家在计算的时候一定要细心 42 5 【解析】 111 0 abab = + ，即1 ba ab =，而 2 45 babab a ababa b +=+= 读万卷书 行万里路 11 () 333 3 353 52 5 babab a ba ababa b ab +=++== 【点评】 这道题目有一定的难度，除了考二次配方，还考到了三次配方的技巧，所以要求同学们对与 低次多项式要增加熟悉 第二试 一、 【解析】 设方程 2 60 xxa+=有两个正根 1 x， 2 x，且 12 xx，且 1 39xa=， 2 39xa=+，且 09a 当 12 xx=时，符合条件 三角形只有一个，所以 12 ()xx=为边的等边三角形，这时 3939aa=+，即90a=，9a = 当 12 2xx时 ， 符 合 条 件 三 角 形 也 只 有 一 个 ， 它 以 2 x为 腰 1 x为 底 ， 这 时 62 939aa+，解得8a 故符合条件 三角形只有一个时，a的取值范围是08a或9a = 【点评】 本题先用求根公式求出两条边的长度， 再利用三角形的三边关系定理， 当 12 2xx时三角形是 唯一的值得注意的是不要漏掉等边三角形这种情况 二、 读万卷书 行万里路 12 【解析】 证法 1：如图 3，延长AD交ABC的外接圆于F连CF，BF，则 BFABCAABCCFA===，即BFDCFD= 于是::BD DCBF FC= 在ABC和EBF中， BACBEF=，ACBEFB=， ABCEBFEFB== 因此EBEF= 作BEF的平分线EG交BF于G，则BGGF= 1 2 GEFBEFCEF== ，GFECFE=，EFEF=， EFGEFC，GFCF= 从而2BFFC=所以2BDCD= 证法 2：如图 4，作DFCA交AB于F在BC上取点G，使BGDC= 分别连接AG，FG DFCA， FBDABC， BFDBAC=，FBFD=， 读万卷书 行万里路 13 ABAC=，ABGACD=，BGDC=， ABGACD，AGAD=，FAGEAC= 又ABEBEDBAEBACBAEEACFDA====， 而BAEBAE=， ABEADF ::AF ADAE AB= 即::AF AGAE AC=，又FAGEAC=， FAGEAC，AFGAEC= 从而 111 222 BFGDECBEDBACBFD= 。