3.2在制图过程中换面法的使用ppt课件.ppt

2.6 2.6 换面法换面法教学目的：教学目的：1.1.掌握换面法的基本原理，熟练掌握点的一次、二次掌握换面法的基本原理，熟练掌握点的一次、二次换面换面法的基本作图方法法的基本作图方法2.2.熟练掌握换面法的四个基本作图方法，并能用于解熟练掌握换面法的四个基本作图方法，并能用于解决空决空间几何元素常见的度量问题和定位问题间几何元素常见的度量问题和定位问题教学重点：教学重点：换面法的原理和应用换面法解决实际问题换面法的原理和应用换面法解决实际问题教学难点：教学难点：应用换面法解决空间几何元素常见的度量问题和定位应用换面法解决空间几何元素常见的度量问题和定位问问题2.6 2.6 换面法换面法 画法几何讨论的作图问题主要归结为两类一是定位问题，即在投影图上确定空间几何元素〔点、线、面〕和几何体的投影二是度量问题，即根据几何元素和几何体的投影确定它们的实长、实形、角度、距离等 由前面内容可知，当空间的直线、平面对投影面处于特殊位置 —— 平行或垂直时，上述两类问题的作图较为简便本节将研究如何改变空间几何元素相对于投影面的位置，以达到有利于解题的目的 投影变换的方法很多，其中比较简单和常用的方法有两种:变换投影面法（简称换面法〕和旋转法。

换面法是使空间几何元素保持不动，用新的投影面替换原有的某个投影面，使空间几何元素对新投影面处于有利于解题的位置 旋转法是使空间几何元素绕垂直于某一投影面的轴线旋转，使空间几何元素对投影面处于有利于解题的位置 本教材只讲述换面法和用换面法解决几何元素的定位和度量问题 2.6 2.6 换面法换面法 2.6.1 2.6.1 换面规则换面规则 更换投影面时，新投影面的位置并不是任意的首先，空间几何元素在更换投影面时，新投影面的位置并不是任意的首先，空间几何元素在新投影面上的投影要有利于解题新投影面上的投影要有利于解题; ;此外，新投影面还要垂直于原来的某一个投此外，新投影面还要垂直于原来的某一个投影面，构成新的两投影面体系〔如图影面，构成新的两投影面体系〔如图2-492-49所示〕以便运用正投影原理由原来所示〕以便运用正投影原理由原来的投影作出新投影的投影作出新投影 由于新投影面的位置选择受到上述限制，解答某些问题时，更换一个投由于新投影面的位置选择受到上述限制，解答某些问题时，更换一个投影面有时不能使空间几何元素与新投影面达到预期的相对位置，从而得不到影面有时不能使空间几何元素与新投影面达到预期的相对位置，从而得不到有利于解题的新投影。

这时需连续进行两次或多次换面，但每次只能更换一有利于解题的新投影这时需连续进行两次或多次换面，但每次只能更换一个投影面如图个投影面如图2-502-50所示，先换所示，先换V V 面面, ,再换再换H H 面，也可以先换面，也可以先换H H 面再换面再换V V 面 图图2-49 2-49 一次换面一次换面图图2-50 2-50 两次换面两次换面2.6 2.6 换面法换面法 2.6.2 2.6.2 求作点的新投影求作点的新投影 任何形体都可以看作是点的集合所以，研究运用换面法解决某些作图任何形体都可以看作是点的集合所以，研究运用换面法解决某些作图问题之前，首先要讨论点的新投影的作法问题之前，首先要讨论点的新投影的作法 1. 1.一次换面一次换面 如图如图2-512-51所示为更换正立投影面所示为更换正立投影面V V时点的投影变换规律时点的投影变换规律 图图2-51 2-51 点的一次变换〔换点的一次变换〔换V V面）面） 设给出V、H投影面体系〔以后简称V/H体系〕中的点A及其投影a、a′新投影面V1 垂直于原投影面H，替换原V面变成新投影面体系V1/H，称为更换正立投影面。

其中，H面称为保留投影面、V 面称为被替换投影面、V1 面称为新投影面H与V1 面的交线X1 称为新投影轴，简称新轴原投影轴X称为旧轴2.6 2.6 换面法换面法 将点A向V1 面作垂直投射，得到新投影a1 ′在新、旧投影面体系中，由于H面保持不动，所以点A到H面的距离〔Z坐标〕不变，因而有a1 ′aX1 =a′aX 若使V1 面绕新轴X1 旋转重合于H面，则得如图2-51〔b〕所示的投影图在投影图上有:aa1 ′⊥X1 ;a1 ′aX1 =a′aX 其中a称为保留投影;a′称为被替换投影;a1 ′称为新投影 由上述分析可得出给定新轴X1 的位置后求A点的新投影a1 ′的作图步骤:（ 1 〕 过 保 留 投 影a 作 直 线a a X 1 ⊥ X 1 ， 得 垂 足a X 1 （2〕自aX1 在垂线上截取a′aX1 =a′aX 得点a1 ′，a1 ′即是点A在V1 面上的新投影 图2-52表示更换H面取新投影面H1 ，使H1 ⊥V，原投影面体系V/H变换成V/H1 V 面 为 保 留 投 影 面;H面 为 被 替 换 投 影 面;H1 面 为 新 投 影 面 图图2 2- -5 52 2 点点的的一一次次换换面面〔〔换换H H面面））2.6 2.6 换面法换面法 设点A在H1 面上的投影为a1 ，此时，点A到V面的距离〔y坐标〕不变， 所以有a1a X1=aaX 。

当新投影面H1 绕X1 轴旋转重合于V面后，在投影图上有a′a1⊥X1 ;a1aX1 =aaX 综合上述更换投影面的两种情况，得如下投影规律:（1〕点的新投影与保留投影的连线垂直于新轴 （2〕新投影到新轴的距离等于被替换投影到旧轴的距离 当新投影面的位置〔新轴的位置〕确定后，由点的原来投影作其新投影的步骤为:（1〕过点的保留投影作直线垂直于新轴，得一垂足 （2〕自垂足在所作垂线上截取线段等于被替换投影到旧轴的距离，截得的点即为所求新投影 直线或平面的变换，可归结为直线上的两点或平面上三点的变换，其方法、步骤与上述相同 2.二次换面 图2-53表示更换两次投影面时求作点的新投影的方法，其作图原理与更换一次投影面相同2.6 2.6 换面法换面法 在在V.HV.H体系中，先用体系中，先用V1 V1 替换替换V V，，V1 ⊥HV1 ⊥H，组成，组成V1/HV1/H投影面体系〔投影面体系〔H H为保留为保留投影面），求出投影面），求出a1′a1′ 再把再把V1/HV1/H当作原投影面体系，用新投影面当作原投影面体系，用新投影面H1 H1 替换替换H H，，H1⊥V1 H1⊥V1 ，组成新，组成新的的V1/H1 V1/H1 投影面体系，求出新投影投影面体系，求出新投影a1 a1 。

此时此时V1 V1 面为保留投影面，被替换投面为保留投影面，被替换投影面则指影面则指H H面V1 V1 、、H1 H1 面的交线为新轴面的交线为新轴X2 X2 ，而，而X1 X1 在第二次换面时被称为旧在第二次换面时被称为旧轴 二次换面时，点的投影变换规律仍适用，即二次换面时，点的投影变换规律仍适用，即a1′a1⊥X2;a1 aX2 =aaX1 a1′a1⊥X2;a1 aX2 =aaX1 ，，如图如图2-532-53〔〔b b）在换面顺序上可以有两种方案，即）在换面顺序上可以有两种方案，即V/H→V1/H→V1/H1 V/H→V1/H→V1/H1 或或V/H→V/H1 →V1/H1 V/H→V/H1 →V1/H1 ，由需要而定由需要而定 图图2-53 2-53 点的二次变换点的二次变换2.6 2.6 换面法换面法 2.6.3 2.6.3 基本作图问题基本作图问题 用换面法解答各类定位与度量问题时，均可归结为下列四个基本作图问题用换面法解答各类定位与度量问题时，均可归结为下列四个基本作图问题 1. 1.把一般位置直线变换成新投影面平行线把一般位置直线变换成新投影面平行线 由前述规则可知，要把一般位置直线变换成新投影面平行线，所选新投影面由前述规则可知，要把一般位置直线变换成新投影面平行线，所选新投影面应与直线平行，同时又垂直于保留的原投影面，从而新轴应平行于直线的保留投应与直线平行，同时又垂直于保留的原投影面，从而新轴应平行于直线的保留投影。

影 如图2-54〔a〕所示，AB为V/H体系中的一般位置直线若更换V面，把AB变换成V1 面的平行线，则新投影面V1 应平行于AB且垂直于H此时新轴X1 应平行于AB的水平投影ab新轴确定后，可按点的新投影的作法作出直线AB的新投影a 1 ˊ b 1 ˊ，AB变换成V 1 / H体系内的平行线 图图2 2- -5 54 4 把把一一般般位位置置直直线线变变换换成成V V1 1 面面平平行行线线2.6 2.6 换面法换面法 作图作图 如图如图2-542-54〔〔b b〕所示，作新轴〕所示，作新轴X1∥abX1∥ab，作出点，作出点A A及点及点B B在在V1 V1 面上的面上的新投影新投影a1′b1′a1′b1′ a1′b1′ a1′b1′反映线段反映线段ABAB的实长，它与的实长，它与X1 X1 轴的夹角轴的夹角αα为直线为直线ABAB对对H H面的倾面的倾角 若更换若更换H H面，可将面，可将ABAB变换成变换成H1 H1 面的平行线面的平行线, ,如图如图2-552-55所示此时所示此时X1∥ab′X1∥ab′，，a1b1a1b1反映反映AB AB 的实长，的实长，a1b1a1b1与与X1X1轴的夹角轴的夹角ββ即为即为ABAB对对V V 面的倾角。

面的倾角图图2 2- -5 55 5 一一般般位位置置直直线线变变H H1 1 面面平平行行线线 2.6 2.6 换面法换面法 2. 2.把一般位置直线变换成新投影面垂直线把一般位置直线变换成新投影面垂直线 要把一般位置直线变换成新投影面垂直线，只更换一个投影面显然不行要把一般位置直线变换成新投影面垂直线，只更换一个投影面显然不行因为找不到一个新投影面，既与一般位置直线垂直，又与一个原投影面垂直因为找不到一个新投影面，既与一般位置直线垂直，又与一个原投影面垂直但如果所给直线是投影面平行线，要将其变换成新投影面垂直线，更换一次投但如果所给直线是投影面平行线，要将其变换成新投影面垂直线，更换一次投影面即可完成如图影面即可完成如图2-562-56〔〔a a〕所示，〕所示，ABAB为为V/HV/H体系内的正平线，若将其变换成体系内的正平线，若将其变换成新投影面垂直线新投影面垂直线, ,需设新投影面需设新投影面H1⊥ABH1⊥AB又因为AB∥VAB∥V，所以，所以H1H1必定垂直于必定垂直于V V面ABAB变换为变换为V/H1V/H1体系内的垂直线体系内的垂直线 作图作图 作新轴作新轴X1⊥a′b′X1⊥a′b′，并作出，并作出ABAB在在H1H1面上的新投影面上的新投影a1b1 a1b1 。

a1a1、、b1 b1 重重影影为一点，图为一点，图2-562-56〔〔b b〕为其投影图〕为其投影图 图图 2 2- -5 56 6 平平 行行 线线 变变 新新 投投 影影 面面 垂垂 直直 线线2.6 2.6 换面法换面法 综上可知，要把一般位置直线变换为新投影面垂直线，必须两次更换投影面如图2-57〔a〕所示，把V/H体系内的一般位置直线AB先换成V1/H体系内的平行线，再换成V1/H1体系内的垂直线，作图过程如图2-57〔b〕所示图图2-57 一般位置直线变新投影面垂直线一般位置直线变新投影面垂直线2.6 2.6 换面法换面法 3. 3.把一般位置平面变换成新投影面垂直面把一般位置平面变换成新投影面垂直面 如图如图2-582-58〔〔a a〕所示，平面〕所示，平面△ABC△ABC在在V/HV/H体系内为一般位置平面若把它体系内为一般位置平面若把它变变换成新投影面垂直面，可设新投影面换成新投影面垂直面，可设新投影面V1 V1 替换原投影面替换原投影面V V，并使，并使V1 V1 垂直垂直△ABC△ABC内的一直线内的一直线L L为保证V1 V1 同时垂直于同时垂直于H H面，应取面，应取L∥HL∥H，即，即L L为为△ABC△ABC内的水平内的水平线。

根据投影性质可知，新轴线根据投影性质可知，新轴X1 ⊥lX1 ⊥l图图 2 2 - - 5 5 8 8 一一 般般 位位 置置 平平 面面 变变V V 1 1 面面 的的 垂垂 直直2.6 2.6 换面法换面法 作图作图 在在△ABC△ABC内取水平线内取水平线L L〔〔l l、、l′l′）作X1⊥lX1⊥l，按点的新投影的作法，作，按点的新投影的作法，作出出△ABC△ABC各顶点在各顶点在V1V1面上的新投影面上的新投影a1′a1′、、b1′b1′、、c1′c1′由于L⊥V1△ABC⊥V1L⊥V1△ABC⊥V1，所以，所以a1′b1′c1′a1′b1′c1′成一直线成一直线a1′b1′c1′a1′b1′c1′与与X1X1轴的夹角轴的夹角αα为为△ABC△ABC对对H H面的倾角同理，面的倾角同理，也可以更换也可以更换H H面把面把△ABC△ABC变换为变换为V/H1V/H1体系内的垂直面，如图体系内的垂直面，如图2-592-59所示此时，所示此时，a1b1c1 a1b1c1 与与X1X1轴的夹角轴的夹角ββ为为△ABC △ABC 对对V V 面的倾角面的倾角图图2-59 2-59 一般位置平面变一般位置平面变H1 H1 面的垂直面面的垂直面 2.6 2.6 换面法换面法 4.把一般位置平面变换成新投影面平行面 要把一般位置平面变换成新投影面平行面，必须两次更换投影面。

第一次把一般位置平面变成新投影面垂直面，原理与作图方法如前所述第二次把垂直面再更换成新投影面平行面 如图2-60〔a〕所示，平面△ABC⊥V1 ，再设新投 影面 H1∥△ABC 且H1⊥V1根据平行面的投影性质，新轴X2∥a1′b1′c1′在H1面上作出△ABC顶点的新投影a1、b1、c1，△a1b1c1为△ABC的实形 如图2-60〔b〕所示为一般位置平面两次变换为新投影面平行面的作图过程 应当注意，两次或多次换面时，不能连续更换同一个投影面，而应两个投影面交替更换将上述四个基本作图问题综合运用，可以解决多种定位与度量问题如由垂直面变换为投影面的平行平面由一般位置平面变换为投影面的平行面等 2.6 2.6 换面法换面法 图图 2 2 - - 6 6 0 0 平平 面面 的的 两两 次次 变变 换换2.6 2.6 换面法换面法 2.6.4 2.6.4 解题举例解题举例【例【例2-142-14】】 试过点试过点A A作直线与已知直线作直线与已知直线BCBC垂直相交，如图垂直相交，如图2-612-61所示 分析分析 当直线当直线BCBC平行于某投影面时，由直角投影定理可知，与平行于某投影面时，由直角投影定理可知，与BCBC垂直的直垂直的直线在该投影面上的投影反映其垂直关系。

将直线线在该投影面上的投影反映其垂直关系将直线BCBC由一般位置变换为某投影面由一般位置变换为某投影面平行线，需更换一次投影面平行线，需更换一次投影面图图2-61 过过A作作直直线线与与BC垂垂直直相相交交2.6 2.6 换面法换面法 作图作图 （（1〕用〕用V1替换替换V〔也可以用〔也可以用H1替换替换H），将），将BC换成换成V1面的平行线面的平行线2〕点〕点A随同直线随同直线BC一起变换，得新投影一起变换，得新投影a1′3〕过〕过a1′向向b1′c1′作垂线，垂足为作垂线，垂足为e1′e1′即为两线垂直相交后的交即为两线垂直相交后的交点点E在在V1 面上的投影面上的投影 （（4〕将〕将e1′逆变换返回到逆变换返回到V/H体系，求出体系，求出e及及e1′连接ae、、a′e′即为即为所求 讨论讨论 此题也可以将点此题也可以将点A及直线及直线BC看成同一平面将平面看成同一平面将平面ABC变换成新投变换成新投影影面平行面，在反映实形的新投影上作出点面平行面，在反映实形的新投影上作出点A 到直线到直线BC的距离的距离AE，然后返回到，然后返回到原原投影面体系即可同样方法也可以求出两平行直线间的距离、两相交直线间的投影面体系即可。

同样方法也可以求出两平行直线间的距离、两相交直线间的夹角、作角平分线等因而，凡属同一平面内几何元素的定位、度量问题，均夹角、作角平分线等因而，凡属同一平面内几何元素的定位、度量问题，均可将此平面变换成新投影面平行面加以解决可将此平面变换成新投影面平行面加以解决2.6 2.6 换面法换面法【例2-15】 求点K到平面P〔ABCD〕的距离 分析 如图2-62〔a〕所示，若过点K向平面P引垂线，则点K到垂足L的距离就是K到平面P的距离如果平面P是某投影面垂直面，则垂线KL就是该投影面的平行线，距离可直接反映在投影图上 图图2 2- -6 62 2 求求点点到到平平面面的的距距离离2.6 2.6 换面法换面法 由于P平面属于一般位置平面，故本题需更换一次投影面，将其变换成新投影面垂直面 作图 （1〕更换V面，把平面P变换成V1面的垂直面作新轴X1⊥ad〔AD、BC为P内水平线） （2〕作出P在V1 面上的新投影p1′及点K的新投影k1′ （3〕过k1′向p1′作垂线，垂足为l1′k1′l1′即为点K到平面P的距离，见图2-62〔b） 讨论 如果需要作出KL的投影，可按照点的变换规则把l1′返回到V/H体系。

因KL是V 面的平行线，所以过k作kl∥X1 即可求出l再由l、l1′定l′ 2.6 2.6 换面法换面法【例2-16】 求交叉两直线AB、CD之间的距离及公垂线的投影 分析 交叉两直线间的距离即是它们之间公垂线的实长 如图2-63〔a〕所示，若使两交叉直线之一CD变换成新投影面H1的垂直线时，AB、CD的公垂线MN 必为该投影面的平行线，MN在H1面上的投影m1n1反映公垂线的实长;另一条直线AB虽为一般位置直线，但因MN⊥AB，由直角投影定理得a1b1⊥m1n1，由此可定出公垂线的位置 由于AB、CD 均为一般位置直线，故本题需两次更换投影面图图 2 2- -6 63 3 求求 交交 叉叉 二二 直直 线线 间间 的的 距距 离离 及及 公公 垂垂 线线 2.6 2.6 换面法换面法 作图作图 如图如图2-632-63〔〔b b〕所示1 1〕将一般位置直线〕将一般位置直线CDCD变换成新投影面垂直线直线变换成新投影面垂直线直线ABAB随同随同CDCD一起变换一起变换2 2〕过重影点〕过重影点c1c1〔〔n1n1、、d1d1〕向〕向a1b1a1b1作垂线，垂足为作垂线，垂足为m1m1。

m1n1m1n1即为即为ABAB、、CDCD间间公公垂线的实长垂线的实长3 3〕将〕将m1m1逆变换返回，可定出逆变换返回，可定出m1′m1′、、m m、、m′m′ （（4 4〕作〕作m1′n1′∥X2m1′n1′∥X2定出定出n1′n1′，再逆变换求出，再逆变换求出n n、、n′n′mnmn、、m′n′m′n′即为公即为公垂垂线线MNMN的投影将上述分析及作图进行类推，则可用来解答点到直线的距离、平的投影将上述分析及作图进行类推，则可用来解答点到直线的距离、平行二直线间的距离、平行的直线与平面间的距离等度量问题行二直线间的距离、平行的直线与平面间的距离等度量问题; ;也可以在给定距离也可以在给定距离时反过来解答某些定位问题，如补投影等时反过来解答某些定位问题，如补投影等 2.6 2.6 换面法换面法本节结束谢谢观看。