（浙江专用）高考数学一轮复习第八章立体几何第1讲空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积练习.doc

创新设计】（浙江专用）2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积练习基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.一个简单几何体的正视图、侧视图分别为如图所示的矩形、正方形，则其俯视图不可能为(　　)A.矩形 B.直角三角形C.椭圆 D.等腰三角形解析　依题意，题中的几何体的俯视图的长为3、宽为2，因此结合题中选项知，其俯视图不可能是等腰三角形，故选D.答案　D2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)A.＋2π B. C. D.解析　由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱和底面半径为1，高为1的半圆锥拼成的组合体.所以该几何体的体积为π121＋π122＝，故选B.答案　B3.(2014新课标全国Ⅱ卷)正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为(　　)A.3 B. C.1 D.解析　如图，在正△ABC中，D为BC中点，则有AD＝AB＝，又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，AD⊥BC，AD⊂平面ABC，由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面BB1C1C，即AD为三棱锥A－B1DC1的底面B1DC1上的高.∴VA－B1DC1＝S△B1DC1AD＝2＝1，故选C.答案　C4.(2015全国Ⅱ卷)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)A.36π B.64π C.144π D.256π解析　如图，要使三棱锥O－ABC即C－OAB的体积最大，当且仅当点C到平面OAB的距离，即三棱锥C－OAB底面OAB上的高最大，其最大值为球O的半径R，则VO－ABC最大＝VC－OAB最大＝S△OABR＝R2R＝R3＝36，所以R＝6，得S球O＝4πR2＝4π62＝144π，选C.答案　C5.(2015全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　)A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛解析　由题意知：米堆的底面半径为(尺)，体积V＝πR2h≈(立方尺).所以堆放的米大约为≈22(斛).答案　B二、填空题6.如图所示，E，F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________(填序号).解析　由正投影的定义，四边形BFD1E在面AA1D1D与面BB1C1C上的正投影是图③；其在面ABB1A1与面DCC1D1上的正投影是图②；其在面ABCD与面A1B1C1D1上的正投影也是②，故①④错误.答案　②③7.(2016哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)如图，半球内有一内接正四棱锥S－ABCD，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为________.解析　设所给半球的半径为R，则棱锥的高h＝R，底面正方形中有AB＝BC＝CD＝DA＝R，∴其体积为R3＝，则R3＝2，于是所求半球的体积为V＝πR3＝π.答案　π8.(2016舟山高三检测)在三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1，P－ABC的体积为V2，则＝________.解析　如图，设点C到平面PAB的距离为h，△PAB的面积为S，则V2＝Sh，V1＝VE－ADB＝Sh＝Sh，所以＝.答案　三、解答题9.如图是一个几何体的正视图和俯视图.(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积；(3)求出该几何体的体积.解　(1)正六棱锥.(2)其侧视图如图：其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BC＝a，AD的长是正六棱锥的高，即AD＝a，∴该平面图形的面积S＝ aa＝a2.(3)V＝6a2a＝a3.10.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.解　(1)交线围成的正方形EHGF如图：(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因为EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6.故S四边形A1EHA＝(4＋10)8＝56，S四边形EB1BH＝(12＋6)8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为(也正确).能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2016杭州模拟)如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为(　　)A.8π B.16π C.32π D.64π解析　由三视图可知此几何体为一横放的四棱锥，其底为边长为4的正方形，高为2，其中平面SAB⊥平面ABCD，易知SA＝SB＝2，故可补全为以DA、SA、SB为棱的长方体，故2R＝＝＝4，∴R＝2，∴S表＝4πR2＝32π.答案　C12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为(　　)A.6 B.4C.6 D.4解析　如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A－BCD，最长的棱为AD＝＝6，选C.答案　C13.已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30，则棱锥S－ABC的体积为________.解析　由题意知，如图所示，在棱锥S－ABC中，△SAC，△SBC都是有一个角为30的直角三角形，其中SC＝4，所以SA＝SB＝2，AC＝BC＝2，作BD⊥SC于D点，连接AD，易证SC⊥平面ABD，又易得AD＝BD＝，由已知AB＝，因此VS－ABC＝()24＝.答案　14.如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A－MBC的体积.法一　(1)证明　∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CD⊥平面ABD.(2)解　由AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，得AB⊥BD，∵AB＝BD＝1，∴S△ABD＝.∵M是AD的中点，∴S△ABM＝S△ABD＝.由(1)知，CD⊥平面ABD，∴三棱锥C－ABM的高h＝CD＝1，因此三棱锥A－MBC的体积VA－MBC＝VC－ABM＝S△ABMh＝.法二　(1)证明　同法一.(2)解　由AB⊥平面BCD且AB⊂平面ABD知，平面ABD⊥平面BCD，又平面ABD∩平面BCD＝BD，如图，过点M作MN⊥BD交BD于点N，则MN⊥平面BCD，且MN＝AB＝，又CD⊥BD，BD＝CD＝1，∴S△BCD＝.∴三棱锥A－MBC的体积VA－MBC＝VA－BCD－VM－BCD＝ABS△BCD－MNS△BCD＝.6。