线性代数习题三答案详解.doc

习题三（A类）1. 设α1＝(1，1，0)，α2＝(0，1，1)，α3＝(3，4，0).求α1-α2与3α1+2α2-α3.解：α1-α2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),3α1+2α2-α3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2)2. 设3(α1-α)+2(α2+α)＝5(α3+α)，其中α1＝(2，5，1，3)，α2＝(10，1，5，10)，α3＝(4，1，-1，1).求α.解：由3（α1-α）+2(α2+α)=5(α3+α)整理得：α=(3α1+2α2-5α3),即α= (6,12,18,24)=(1,2,3,4)3.（1） （2） （3）√ （4） （5）4. 判别下列向量组的线性相关性.（1）α1=(2,5),α2=(-1,3);(2) α1=(1,2),α2=(2,3),α3=(4,3);(3) α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,-3,2),α3=(1,0,-1,2);(4) α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,-1),α3=(2,0,3,-1,3),α4=(1,1,0,4,-1).解：（1）线性无关；（2）线性相关；（3）线性无关；（4）线性相关.5. 设α１,α２,α3线性无关，证明：α１，α１+α２，α１+α２+α3也线性无关.证明：设即由线性无关，有所以即线性无关.6.问a为何值时，向量组线性相关，并将用线性表示.解：当a=5时，7. 作一个以(1，0，1，0)和(1，-1，0，0)为行向量的秩为4的方阵.解：因向量(1,0,0,0)与（1,0,1,0）和(1,-1,0,0)线性无关,所以(1,0,0,0)可作为方阵的一个行向量，因（1,0,0,1）与(1,0,1,0)，（1，-1，0，0），（1，0，0，0）线性无关，所以(1,0,0,1)可作为方阵的一个行向量.所以方阵可为.8. 设的秩为r且其中每个向量都可经线性表出.证明：为的一个极大线性无关组.【证明】若 (1)线性相关，且不妨设 (t