八年级(上)培优专题三：全等三角形辅助线作法.doc

八年级(上)培优专题三：全等三角形协助线作法精选文档专题三全等三角形协助线作法一、“三线合一”法：等腰三角形底边上的高、中线、顶角的角均分线三线合一.碰到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题注意：有一个内角为60°的三角形必定是等边三角形二、倍长中线法：碰到三角形的中线，倍长中线，即延伸中线使延伸线段与原中线长相等，结构全等三角形例1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.AAEFBDCBDC例1图例2图例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD均分∠BAE.ABDEC三、角均分线结构全等法：即利用角均分线结构全等三角形法碰到角均分线有三种添协助线的方法，（1）能够自角均分线上的某一点向角的两边作垂线，形成一对全等三角形所考知识点经常是角均分线的性质定理或逆定理．（2）能够在角均分线上的一点作该角均分线的垂线与角的两边订交，形成一对全等三角形3）能够在该角的两边上，距离角的极点相等长度的地点上截取二点，而后从这两点再向角均分线上的某点作边线，结构一对全等三角形。

精选文档（一）角分线上点向角两边作垂线构全等1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角均分线AD,CE订交于点O，求证：OE=ODAAEAODDEFBCBBCDEC图2-2图2-1例1．如图2-1，已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC求证：∠ADC+∠B=180剖析：可由C向∠BAD的两边作垂线近而证∠ADC与∠B之和为平角例2．如图2-2，在△ABC中，∠A=90，AB=AC，∠ABD=∠CBD求证：BC=AB+AD剖析：过D作DE⊥BC于E，则AD=DE=CE，则结构出全等三角形，进而得证本题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法二）：作角均分线的垂线构等腰三角形从角的一边上的一点作角均分线的垂线，使之与角的两边订交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角均分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质假如题目中有垂直于角均分线的线段，则延伸该线段与角的另一边订交）例1．已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中点1求证：DH=（AB-AC）2剖析：延伸CD交AB于点E，则可得全等三角形。

问题可证AFADDCEBEBHC图示3-1图3-2.精选文档例2．已知：如图3-2，AB=AC，∠BAC=90，AD为∠ABC的均分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE剖析：给出了角均分线给出了边上的一点作角均分线的垂线，可延伸此垂线与此外一边订交，近而结构出等腰三角形三）、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角均分线时，常过角均分线上的一点作角的一边的平行线，进而结构等腰三角形或经过一边上的点作角均分线的平行线与此外一边的反向延伸线订交，进而也结构等腰三角形如图4-1和图4-2所示CAHDIFEBCGAB图4-2图4-1例5如图，BC>BA，BD均分∠ABC，且AD=CD，求证：∠A+∠C=180ADCBDECAB例5图例6图例6如图，AB∥CD，AE、DE分别均分∠BAD各∠ADE，求证：AD=AB+CD四）截取构全等能够在该角的两边上，距离角的极点相等长度的地点上截取二点，而后从这两点再向角均分线上的某点作边线，结构一对全等三角形例8已知：如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC剖析：本题仍是利用角均分线来结构全等三角形结构的方法仍是截取线段相等其余问题自已证明。

精选文档AAECEDBCDB图1-3图1-4例9已知：如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD均分∠BAC，求证：AB-AC=CD剖析：本题的条件中还有角的均分线，在证明中还要用到结构全等三角形，本题仍是证明线段的和差倍分问题用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明试一试看能否把短的延伸来证明呢？四、截长法与补短法：详细做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延伸，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的相关性质加以说明．这类作法，合适于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．（一）截长在长线段中截取一段等于另两条中的一条，而后证明剩下部分等于另一条；1.已知：如图，△ABC中，AD均分∠BAC，若∠C=2∠B,证明：AB=AC+CD.ABDC2. 已知：如图，△ABC中，∠A=60°，∠B与∠C的均分线BE,CF交于点I，求证：BC=BF+CE.AFIEBC（二）补短将一条短线段延伸，延伸部分等于另一条短线段，而后证明新线段等于长线段3.已知：如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF均分∠CBE交CD于F，求证：BE=CF+AE..精选文档AEDFBC4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，∠ABD=60°，AB=BD+DC，求证：∠ACD=60°.ADBC5. 已知：如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，求证：BC+DC=AC.ABDC五、中垂线法：已知某线段的垂直均分线，那么能够在垂直均分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

例1、如图，△ABC中，AD均分∠BAC，DG⊥BC且均分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）说明BE=CF的原因；（2）假如AB=a，AC=b，求AE、BE的长.AEGBCFD.精选文档注意：作平行线、作垂线、作中位线是三角形问题中最常有的协助线作法（一）作平行线1、如图，ABCD和CEFG是两个正方形，AB=a，CE=b，则△BDF的面积是ADGFBCE2、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D点在AB边上，E在AC边的延伸线上，DE交BC于点F，BD=CE，求证：DF=EF.ADCBFE（二）作垂线3、如图，已知OP均分∠AOB，C，D分别在OA、OB上，若∠PCO+∠PDO=180°，求证：PC=PD.CAPODB4、已知：如图，在△ABC中，AB=2AC，∠1=∠2，AD=BD，求证：CD⊥AC.A12CBD5、已知：如图，△ABC中，AB=AC，AB⊥AC，BM是AC边上的中线，AD⊥BM，分别交BC、BM于D、E，求证：∠CMD=∠AMB..精选文档AMEBCD（三）结构中位线6. 如图，在△ABC中，D是BC上的凑近B点的三均分点，E是AB的中点，直线AC与DE交于点F，求证：EF=3DE.FAEBDC7. 在△ABC中，∠B=2∠C,M为BC的中点，AD⊥BC，求证：DM=1/2AB.ABDMC8. 在正方形ABCD中，对角线AC,BD订交于点O,∠CAB的均分线交BD于点F，交BC于点G，求证：CG=2OF.ADOFBGC全等三角形协助线的作法一、遇三角形中线常有协助线若碰到三角形的中线，可倍长中线，使延伸线段与原中线长相等，结构全等三角形，利用的思想模式是全等变换中的“旋转”。

二、角均分线常有协助线1、角分线上点向角两边作垂线构全等：过角均分线上一点向角两边作垂线，利用角均分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题2、截取构全等如图，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连结DE、DF，则有△OED≌△OFD，进而为我们证明线段、角相等创建了条件.精选文档3、延伸垂线段碰到垂直于角均分线的线段，则延伸该线段与角的另一边订交，组成等腰三角形4、作平行线①、以角均分线上一点做角的另一边的平行线，结构等腰三角形②、经过一边上的点作角均分线的平行线与此外一边的反向延伸线订交，进而也结构等腰三角形三、等腰三角形的“三线合一”性质的逆定理“三线合一”性质：等腰三角形的顶角均分线、底边上的中线、底边上的高相互重合逆定理：①、假如三角形中任一角的角均分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形②、假如三角形中任一角的角均分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形③、假如三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形简言之】：三角形中随意两线合一，必能推导出它是一个等腰三角形。