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2010年高考试题——理数(北京卷)(解析版).doc

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    • 2010年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理)(北京卷)解析本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页,共150分考试时长120分钟考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效,考试结束后,将本试卷和答题卡第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1) 集合,则= (A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x≤3}1,B.解析:,,因此(2)在等比数列中,,公比.若,则m=(A)9 (B)10 (C)11 (D)122,C.解析:,因此有(3)一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示,则该几何体的俯视图为 3,C.解析:很容易看出这是一个面向我们的左上角缺了一小块长方体的图形,不难选出答案4)8名学生和2位第师站成一排合影,2位老师不相邻的排法种数为(A) (B) (C) (D) 4,A.解析:基本的插空法解决的排列组合问题,将所有学生先排列,有种排法,然后将两位老师插入9个空中,共有种排法,因此一共有种排法。

      5)极坐标方程(-1)()=0(0)表示的图形是(A)两个圆 (B)两条直线(C)一个圆和一条射线 (D)一条直线和一条射线5,C.解析:原方程等价于或,前者是半径为1的圆,后者是一条射线6)若,是非零向量,“⊥”是“函数为一次函数”的(A)充分而不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件6,B.解析:,如,则有,如果同时有,则函数恒为0,不是一次函数,因此不充分,而如果为一次函数,则,因此可得,故该条件必要7)设不等式组 表示的平面区域为D,若指数函数y=的图像上存在区域D上的点,则a 的取值范围是 (A)(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, ]7,A.解析:这是一道略微灵活的线性规划问题,作出区域D的图象,联系指数函数的图象,能够看出,当图象经过区域的边界点(2,9)时,a可以取到最大值3,而显然只要a大于1,图象必然经过区域内的点。

      8)如图,正方体ABCD-的棱长为2,动点E、F在棱上,动点P,Q分别在棱AD,CD上,若EF=1,E=x,DQ=y,DP=z(x,y,z大于零),则四面体PEFQ的体积                           (A)与x,y,z都有关   (B)与x有关,与y,z无关   (C)与y有关,与x,z无关   (D)与z有关,与x,y无关8,D.解析:这道题目延续了北京高考近年8,14,20的风格,即在变化中寻找不变,从图中可以分析出,的面积永远不变,为面面积的,而当点变化时,它到面的距离是变化的,因此会导致四面体体积的变化第II卷(共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分9)在复平面内,复数对应的点的坐标为 9,(-1,1).解析:(10)在△ABC中,若b = 1,c =,,则a = 10, 1解析:,因此,故(11)从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)由图中数据可知a= 若要从身高在[ 120 , 130),[130 ,140) , [140 , 150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140 ,150]内的学生中选取的人数应为 。

      11,0.030, 3解析:由所有小矩形面积为1不难得到,而三组身高区间的人数比为3:2:1,由分层抽样的原理不难得到140-150区间内的人数为3人12)如图,的弦ED,CB的延长线交于点A若BDAE,AB=4, BC=2, AD=3,则DE= ;CE= 12,5,解析:首先由割线定理不难知道,于是,又,故为直径,因此,由勾股定理可知,故(13)已知双曲线的离心率为2,焦点与椭圆的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为 ;渐近线方程为 13,,解析:双曲线焦点即为椭圆焦点,不难算出为,又双曲线离心率为2,即,故,渐近线为(14)如图放置的边长为1的正方形PABC沿轴滚动设顶点P(,y)的轨迹方程是,则的最小正周期为 ;在其两个相邻零点间的图像与轴所围区域的面积为 说明:“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转,当顶点B落在轴上时,再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续类似地,正方形PABC可以沿轴负方向滚动14, 4,解析:不难想象,从某一个顶点(比如A)落在x轴上的时候开始计算,到下一次A点落在x轴上,这个过程中四个顶点依次落在了x轴上,而每两个顶点间距离为正方形的边长1,因此该函数的周期为4。

      下面考察P点的运动轨迹,不妨考察正方形向右滚动,P点从x轴上开始运动的时候,首先是围绕A点运动个圆,该圆半径为1,然后以B点为中心,滚动到C点落地,其间是以BP为半径,旋转90°,然后以C为圆心,再旋转90°,这时候以CP为半径,因此最终构成图象如下:P A B C PPP因此不难算出这块的面积为三、解答题:本大题共6小题,共80分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程15)(本小题共13分) 已知函数Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的最大值和最小值15(I)(2) 因为所以当时,取最大值6;当时,取最小值16)(本小题共14分) 如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.(Ⅰ)求证:AF∥平面BDE;(Ⅱ)求证:CF⊥平面BDE;(Ⅲ)求二面角A-BE-D的大小16证明:(I)设AC与BD交于点G,因为EF∥AG,且EF=1,AG=AC=1,所以四边形AGEF为平行四边形所以AF∥EG因为EGP平面BDE,AF平面BDE,所以AF∥平面BDE。

      II)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,且CE⊥AC,所以CE⊥AC,所以CE⊥平面ABCD如图,以C为原点,建立空间直角坐标系C-xyz则C(0, 0, 0),A(,,0),D(,0, 0),E(0, 0, 1),F(,,1)所以=(,,1),=(0,-,1),=(-,0,1)所以·= 0-1+1=0,·=-1+0+1=0所以CF⊥BE,CF⊥DE,所以CF⊥平面BDE(III)由(II)知,=(,,1),是平面BDE的一个法向量,设平面ABE的法向量=(x,y,z),则·=0,·=0即所以x=0,且z=y令y=1,则z=所以n=(),从而cos(,)=因为二面角A-BE-D为锐角,所以二面角A-BE-D为 (17)(本小题共13分)某同学参加3门课程的考试假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为,(>),且不同课程是否取得优秀成绩相互独立记ξ为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为ξ0123Pb(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率;(Ⅱ)求,的值;(Ⅲ)求数学期望ξ17解:事件A,表示“该生第i门课程取得优异成绩”,i=1,2,3。

      由题意可知(I)由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件“”是对立的,所以该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是(II)由题意可知,整理得pq=III)由题意知, (18)(本小题共13分)已知函数(Ⅰ)当=2时,求曲线=()在点(1,)处的切线方程;(Ⅱ)求()的单调区间18解:(I)当时, 由于所以曲线处的切线方程为即(II) 当时, 因此在区间上,;在区间上,; 所以的单调递增区间为,单调递减区间为; 当时,,得; 因此,在区间和上,;在区间上,; 即函数 的单调递增区间为和,单调递减区间为; 当时,.的递增区间为 当时,由,得; 因此,在区间和上,,在区间上,; 即函数 的单调递增区间为和,单调递减区间为19)(本小题共14分)在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于.(Ⅰ)求动点P的轨迹方程;(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问:是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由19,解:(1)因点B与(-1,1)关于原点对称,得B点坐标为(1,-1)。

      设P点坐标为,则,由题意得, 化简得: 即P点轨迹为: (2)因,可得, 又, 若,则有, 即 设P点坐标为,则有: 解得:,又因,解得 故存在点P使得与的面积相等,此时P点坐标为或(20)(本小题共13分)已知集合对于,,定义A与B的差为A与B之间的距离为(Ⅰ)证明:,且;(Ⅱ)证明:三个数中至少有一个是偶数(Ⅲ) 设P,P中有m(m≥2)个元素,记P中所有两元素间距离的平均值为. 证明:≤.20,【分析】:这道题目的难点主要出现在读题上,这里简要分析一下 题目所给的条件其实包含两个定义,第一个是关于的,其实中的元素就是一个n维的坐标,其中每个坐标值都是0或者1, 也可以这样理解,就是一个n位数字的数组,每个数字都只能是0和1, 第二个定义叫距离,距离定义在两者之间,如果直观理解就是看两个数组有多少位不同,因为只有0和1才能产生一个单位的距离,因此这个大题最核心的就是处理数组上的每一位数,然后将处理的结果综合起来,就能看到整体的性质了 第一问,因为每个数位上都是0或者1,取差的绝对值仍然是0或者1,符合的要求然后是减去C的数位,不管减去的是0还是1, 每一个a和每一个b都是同时减去的,因此不影响他们原先的差。

      第二问,先比较A和B有几个不同(因为距离就是不同的有几个),然后比较A和C有几个不同,这两者重复的(就是某一位上A和B不同,A和C不同,那么这一位上B和C就相同)去掉两次(因为在前两次比较中各计算了一次),剩下的就是B和C的不同数目,很容易得到这样的关系式:,从而三者不可能同为奇数 第三问,首先理解P中会出现个距离,所以平均距离就是距离总和再除以,而距离的总和仍然可以分解到每个数位上,第一位一共产生了多少个不同,第二位一共产生了多少个不同,如此下去,直到第n位然后思考,第一位一共m个数,只有0和1会产生一个单位距离,因此只要分开0和1的数目即可,等算出来一切就水到渠成了。

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