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05.01 简谐近似和简正坐标 05.02 一维单原子链 05.03 一维双原子链 声学波 光学波 05.04 三维晶格振动 05.05 离子晶体的长光学波 05.06 确定晶格振动的实验方法 05.07 晶格热容的量子理论 05.08 晶格振动的模式密度 05.09 晶格的状态方程和热膨胀 05.10 热传导,第五章 声子,—— 晶格振动与晶体的热学性质,晶格振动的研究 —— 晶体的热学性质 固体热容量 —— 热运动是晶体宏观性质的表现,杜隆－珀替经验规律,—— 一摩尔固体有N个原子，有3N个振动自由度，按能 量均分定律，每个自由度平均热能为kT,摩尔热容量,总的内能,05.00 引言,晶格振动 —— 研究固体宏观性质和微观过程的重要基础,晶格振动 —— 晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超 导电性、磁性、结构相变有密切关系,—— 实验表明较低温度下，热容量随着温度的降低而下降,摩尔热容量,—— 与温度无关,—— 杜隆－珀替经验规律,原子的振动 —— 晶格振动在晶体中形成了各种模式的波,—— 简谐近似下，系统哈密顿量是相互独立简谐振动哈密 顿量之和,—— 这些谐振子的能量量子，称为声子 —— 晶格振动的总体可看作是声子的系综,—— 用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的 振 动模式,—— 这些模式是相互独立的，模式所取的能量值是分立的,,§5.1 简谐近似和简正坐标,简谐近似 —— 只考虑最近邻原子之间的相互作用,研究对象 —— 由N个质量为m的原子组成的晶体,偏离平衡位置的位移矢量,原子的位置,第n个原子的平衡位置,3个方向上的分量,原子位移宗量,,,,N个原子的位移矢量,—— 体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开,取,平衡位置,—— 不计高阶项,系统的势能函数,系统的哈密顿量,系统的势能函数,系统的动能函数,—— 含有坐标的交叉项,引入简正坐标,—— 原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来,假设存性变换,系统的哈密顿量,拉格朗日函数,正则动量,系统的哈密顿量,正则方程,—— 3N个独立无关的方程,简正坐标方程解,简正振动 —— 所有原子参与的振动，振动频率相同,振动模 —— 简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动,正则动量,,,只考察某一个振动模,系统能量本征值计算,正则动量算符,系统薛定谔方程,任意一个简正坐标,—— 谐振子方程,能量本征值,本征态函数,— 厄密多项式,系统能量本征值,系统本征态函数,N个原子组成的晶体,系统薛定谔方程,§5.2 一维单原子链,绝热近似 —— 用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来 描述电子对离子运动的影响,晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波,格波的研究 —— 先计算原子之间的相互作用力 —— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程,—— 将电子的运动和离子的运动分开,一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a,—— 原子之间的作用力,—— 第n个原子离开平 衡位置的位移,—— 第n个原子和第n＋1个 原子间的相对位移,第n个原子和第n＋1个原子间的距离,,平衡位置时，两个原子间的互作用势能,发生相对位移 后，相互作用势能,—— 常数,—— 平衡条件,,,简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项,相邻原子间的作用力,—— 恢复力常数,原子的运动方程,—— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力,第n个原子的运动方程,—— 每一个原子运动方程类似,—— 方程的数目和原子数相同,方程解和振动频率,设方程组的解,naq — 第n个原子振动相位因子,得到,,应用三角公式,连续介质中的机械波,波数,格波方程,格波的意义,晶体中的格波,—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式,—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动,波长,—— 格波的波形图,—— 简谐近似下，格波是简谐平面波,—— 向上的箭头代表原子沿X轴向右振动,—— 向下的箭头代表原子沿X轴向左振动,格波波长,格波波矢,格波相速度,不同原子间相位差,格波方程,相邻原子的相位差,波矢的取值和布里渊区,格波,相邻原子相位差,—— 原子的振动状态相同,格波1的波矢,相邻原子相位差,格波,格波2的波矢,相邻原子的位相差,—— 两种波矢q1和q2的格波中，原子的振动完全相同,波矢的取值,—— 相邻原子的相位差取值,—— 第一布里渊区,—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容,玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件,—— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每 个原子的振动形式都一样,—— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头 的原子不能用中间原子的运动方程来描述,—— N个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点,—— 处理问题时考虑 到环链的循环性,—— N很大，原子运动近似为直线运动,设第n个原子的位移,再增加N个原子之后 第N+n个原子的位移,则有,要求,—— h为整数,波矢的取值范围,h — N个整数值，波矢q —— 取N个不同的分立值,—— 第一布里渊区包含N个状态,每个波矢在第一布里渊区占的线度,第一布里渊区的线度,第一布里渊区状态数,波矢,格波的色散关系, 频率是波数的偶函数,格波相速度,— 不同波长的格波传播速度不同, 色散关系,—— q空间的周期,频率极小值,频率极大值,只有频率在 之间的格波才能在晶体中传播，其它频率的格波被强烈衰减,—— 低通滤波器,色散关系,格波 —— 长波极限情况,当,—— 格波的色散关系与连续介质中弹性波的一致,格波 —— 短波极限情况,—— 格波的色散关系与连续介质中弹性波的不一致,—— 不同频率的格波传播速度不同,长波极限下,短波极限下,相邻两个原子振动相位差,—— 晶格可看作是连续介质,—— 相邻原子的振动相位相反,原子位移和简正坐标的关系,第q个格波引起第n个原子位移,第n个原子总的位移,令,,,原子坐标和简正坐标的变换,—— 线性变换为么正变换,—— 有3N个取值,动能和势能的形式,—— N项独立的模式,动能的正则坐标表示,势能的正则坐标表示,原子位移 为实数 ——,正交性,,势能,,将 代入得到,哈密顿量,—— 系统复数形式的简正坐标,系统势能,—— 实数形式的简正坐标,令,哈密顿量,能量本征值,声子 —— 晶格振动的能量量子；或格波的能量量子,当这种振动模处于 时，说明有 个声子,本征态函数,—— 一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正 坐标为宗量的谐振子波函数,—— 声子是一种元激发，可与电子或光子发生作用,—— 晶格振动的问题  声子系统问题的研究,—— 每个振动模式在简谐近似条件下都是独立的,—— 声子系综是无相互作用的声子气组成的系统,—— 声子具有能量_动量，看作是准粒子,晶格振动 —— 声子体系,§5.3 一维双原子链 声学波和光学波,一维复式格子的情形 —— 一维无限长链,—— 两种原子m和M _( M m) ____ 构成一维复式格子 —— M原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 …… —— m原子位于2n， 2n+2， 2n+4 …… —— 同种原子间的距离2a____晶格常数,—— 系统有N个原胞,—— N个原胞，有2N个独立的方程,—— 两种原子振动的振幅A和B一般来说是不同的,第2n+1个M原子的方程,第2n个m原子的方程,方程解的形式,,—— A、B有非零的解，系数行列式为零,第2n+1个M原子,第2n个m原子,方程的解,,,—— 一维复式晶格中存在两种独立的格波,—— 与q之间存在着两 种不同的色散关系,—— 一维复式格子存在 两种独立的格波,—— 光学波,—— 声学波,两种格波的振幅,—— 光学波,—— 声学波,,相邻原胞相位差,M和m原子方程,q的取值,波矢q的值,—— 第一布里渊区 布里渊区大小,周期性边界条件,—— h为整数,每个波矢在第一布里渊区占的线度,第一布里渊区允许的q值的数目,—— 晶体中的原胞数目,—— 对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波,—— 总的格波数目为2N ： 原子的数目: 2N,q的取值,色散关系的特点,短波极限,两种格波的频率,因为 M＞m,—— 不存在格波,—— 频率间隙,—— 一维双原子晶格 叫做带通滤波器, 两种格波中m和M原子振动振幅之比,—— 光学波,—— 声学波,—— m原子静止不动，相邻原子振动的相位相反,—— 时m和M原子振动的振幅, 声学波, 光学波,—— M原子静止不动，相邻原子振动的相位相反,长波极限,声学波,—— 声学波的色散关系与一 维布喇菲格子形式相同,—— 长声学波中相邻原子的振动,—— 原胞中的两个原子振动的振幅相同，振动方向一致,—— 代表原胞质心的振动,,光学波,长波极限,—— 长光学波同种原子振动相位一致，相邻原子振动相反,—— 原胞质心保持不变的振动，原胞中原子之间相对运动, 两种格波中m和M原子振动振幅之比, 长光学波与电磁波的作用,—— 在长波极限下，对于典型的和值,—— 对应于远红外的光波,—— 远红外光波激发离子 晶体，可引起晶体中 长光学波的共振吸收,光波的频率,—— 波矢远远小于一般格波的波矢，只有 的长光学 波可以与远红外的光波发生共振吸收,—— 将可以与光波作 用的长光学波声 子称为电磁声子, 例题 一维复式格子中，如果 计算 光学波频率的最大值 和最小值 ，声学波频率 的最大值 ； 2) 相应声子的能量 , 和 ； 3) 在 下，三种声子数目各为多少？ 4) 如果用电磁波激发光学波，要激发的声子所用的电磁波 波长在什么波段？, 1) 声学波的最大频率,光学波的最大频率,光学波的最小频率,2）相应声子的能量,根据归一化条件,归一化常数,,频率为谐振子的平均能量,,,频率为谐振子的能量,第i个q态的平均数声子,频率为谐振子的平均能量,光学波频率的声子数目,,,声学波频率的声子数目,,4）如果用电磁波激发光学波，要激发 的声子所用的电磁波波长在什么波段？,对应电磁波的能量和波长,—— 要激发的声子所用的电磁波波长在近红外线波段 （Near Infrared）(NIR),§5.4 三维晶格的振动,三维复式格子,各原子偏离格点的位移,晶体的原胞数目,原子的质量,第l个原胞的位置,原胞中各原子的位置,—— 一个原胞中有n个原子,第k个原子运动方程,—— 原子在三个方向上的位移分量,—— 一个原胞中有3n个类似的方程,原子位移方程的解,—— 将方程解代回3n个运动方程,,—— 3n个线性齐次方程,—— 系数行列式为零条件，得到3n个,—— 3n个线性齐次方程,长波极限,3个,—— 趋于一致,—— 三个频率对应的格波描述不同原胞之间的相对运动 —— 3支声学波,—— 3n－3支长波极限的格波描述一个原胞中各原子间的相 对运动 —— 3n－3支光学波,结论 —— 晶体中一个原胞中有n个原子组成 有3支声学波和3n－3支光学波,波矢,—— 波矢空间的3个基矢,三维晶格中的波矢,—— 倒格子基矢,—— 3个系数,采用波恩－卡曼边界条件,波矢,波矢空间一个点占据的体积,—— 倒格子原胞体积,状态密度,波矢的取值_ h1h2h3,—— 原子振动波函数,波矢改变一个倒格矢,—— 不同原胞之间相位联系,—— 原子振动状态一样,k的取值限制在一个倒格子原胞中,—— 第一布里渊区,—— 个取值,对应于一个波矢q 3支声学波和3n－3支光学波,总的格波数目,—— 晶体中原子的坐标数目,晶格振动总的能量,—— 晶格振动能量量子 —— 声子_Phonon,二维布里渊区 —— 。