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新)曹广福版实变函数第二章习题解答实变函数其次章习题参考解答1：证明：有理数全体是R 中可测集，且测度为0.证：〔1〕先证单点集的测度为0. x R ，令E {x}. 0, n N In (x 2n 1,x 2n 1)，因为m*E inf{ |In| In E，In为开区间} n 1n 1 |In| n 1n 1 2n .故m*E 0.所以E可测且mE 0. 〔2〕再证：R 中全体有理数全体Q测度为0.设{rn}n 1是R 中全体有理数， n N，令En {rn}.那么{En}是两两不相交的可测集 列，由可测的可加性有：m*Q m( En) mEn 0 0. n 1n 1n 1 方法二：设Q {rn}n 1， n N，令In (rn 2,rn n 1 2n 1( )i)，其中 是预先给定|i 1的与n无关的正常数，那么：m*Q inf{随意性，m*Q 0. |In| Ii Q} |I n 1i 1i 1 2n .由 得 2.证明：假设E是R有界集，那么m*E .n证明：假设E是R有界.那么 常数M 0，使 x (x1,x2, xn) E，有E nnn (x i 1i 0) 2 x i 12i M，即 i(1 i n)，有xi M，从而 E [xi M,xi M].i 1n nm*E m*[x M,x M] 2M (2M) 所以 iii 1i 1nn3.至少含有一个内点的集合的外测度能否为零？n解：不能.事实上，设E R，E中有一个内点 x (x1, xn) E. 0,使得 共9页: 上一页123456789下一页实变函数 O(x, ) (xi ,xi ) E.那么m*E m*[ (xi ,xi )] n 02222i 1i 1所以m*E 0.4.在[a,b]上能否作一个测度为b a，但又异于[a,b]的闭集？ 解：不能够事实上，假如有闭集F [a,b]使得mF b a.不失一般性，可设a F且b F.n n 事实上，假设a F，那么可作F* {a} F，F* [a,b].且mF* m{a} mF mF.这样，我们可记F*为新的F，从而[a,b] F (a,b) F (a,b) F (a,b).假如[a,b] F ，即 x [a,b] F (a,b) F，而(a,b) F是开集，故x是[a,b] F的一个内点，由3题，m*([a,b] F) m([a,b] F) m(a,b) mF 0.这与mF b a冲突. 故不存在闭集F [a,b]且mF b a5.假设将§1定理6中条件m( En) 去掉，等式 m(limEn) limmEn是否仍n k0nn成立？解答：§1定理6中条件m( En) 是不行去掉的.n k0事实上， n N，令En [n 1,n)，那么{En}n 1是两两相交的可测集列，由习题一得nn 15题：limEn limEn .故m(limEn) 0，但 n N，mEn m[n 1,n) 1.所以nlimmEn 1.从而limmEn m(limEn).nnn 6.设E1，E2, 是[0,1)中具有下述性质的可测集列： 0， k N使mEk 1 ， 证明：m( Ei) 1i 1 证明：事实上， 0，因为 k N，mEk 1 1 m[0,1] m( Ei) mEk 1i 1 7.证明：对随意可测集A,B，下式恒成立.m(A B) m(A B) mA mB.证明：A B (A B A) A且(A B A) A 共9页: 上一页123456789下一页实变函数 故 m(A B) m(A B A) mA.即m(A B) mA m(A B A) m(B A)又因为B (B A) (B A).且(B A) (B A) ，所以mBm(B A) m(B A) 故m(A B) mA mB m(A B)，从而m(A B) m(A B) mA mB 8.设是A1，A2是[0,1]中的两个可测集且满意mA1 mA2 1，证明：m(A1 A2) 0. 证明：m(A1 A2) m(A1 A2) mA1 mA2.又因为m(A1 A2) m([0,1]) 1所以m(A1 A2) mA1 mA2 m(A1 A2) mA1 mA2 1 09.设A1，A2，A3是[0,1]中的两个可测集，且mA1 mA2 mA3 2，证明：m(A1 A2 A3) 0 证明：m(A1 A2 A3) m[(A1 A2) A3] m(A1 A2) mA3=m(A1) m(A2) m(A3) m(A1 A2). 所以m(A1 A2) m[(A1 A2 A3)] m(A1) m(A2) m(A3) m(A1 A2 A3)又因为m[(A1 A2) (A2 A3) (A3 A1)]=m[(A1 A2) (A1 A2 A3)]=m(A1 A2) m[(A1 A2 A3)] m[(A1 A2) [(A1 A2 A3)]=m(A1 A2)+ m[(A1 A2) A3] m[(A1 A2 A3].所以m(A1 A2 A3) m(A1 A2) m[(A1 A2 A3)] m[(A1 A2) (A2 A3) (A3 A1)]=m(A1) m(A2) m(A3) m(A1 A2 A3) m[(A1 A2) (A2 A3) (A3 A1)] 又因为m(A1 A2 A3) m[0,1] 1m[(A1 A2) (A2 A3) (A3 A1)] m[0,1] 1.所以m(A1 A2 A3) m(A1) m(A2) m(A3) 1 1 m(A1) m(A2) m(A3) 2 0. 10.证明：存在开集G，使mG mG证明：设{rn}n 1是[0,1]闭区间的一切有理数，对于 n N，令 共9页: 上一页123456789下一页实变函数 In (rn12n 2,rn12n 2)，并且G In是R 中开集n 1 1 2111mG mIn n 1 .而，G [0,1]，故mG m[0,1] 1 mG. 122n 1n 121 211.设E是R 中的不行测集，A是R 中的零测集，证明：E CA不行测. 证明：假设E CA可测.因为E A A，所以m*(E A) m*A 0.即m*(E A) 0.故E A可测.从而E (E A) (E CA)可测，这与E不行测冲突.故E CA不行测.12.假设E是[0,1]中的零测集，假设闭集E是否也是零测集. 解：不必须，例如： E是[0,1]中的有理数的全体.E [0,1].mE 0,但mE m[0,1] 1. 13.证明：假设E是可测集，那么 0，存在G 型集G E，F 型集F E，使m(E F) ，m(G F) 证明：由P51的定理2，对于E R，存在G 型集G E，使得mG m*E.由En得可测性，m(G F) . m*E mE.那么 0.m(G E) mG mE 0.即 0，再由定理3，有F 型集F使得F E.且m(E F) mE mF 015.证明：有界集E可测当且仅当 0，存在开集G E，闭集F E，使得m(G F) . 证明：( ) n N，由确定，存在开集Gn E，闭集Fn E使得m(Gn Fn) 1. n令G Gn，那么G E. n N，m*(G E) m*(Gn E) m*(Gn Fn)n 1 1 0(n ).所以，m*(G E) 0.即G E是零测集，可测. n 从而，E G (G E)可测( )设E是有界可测集因为m*E inf{ |I n 1 n|n 1 In E，In为开长方体} .故， 0，存在开长 共9页: 上一页123456789下一页实变函数 方体序列{I} nn 1，使得n 1 In E.有m*E |In| m*E n 1n 2. 另一方面，由E得有界性，存在R中闭长方体I E.记S I E，那么S是Rn中有界可测集.并且mS mI mE.由S得有界可测性，存在开集G S有m(G* S)* 2.因为I E，故G I S.*因此 2 m(G* I S) m(G* I) mS=m(G* I) (mI mE) mE (mI m(G* I)) mE m(I G* I) 令，F I G I，那么F是一个闭集，并且由G I S I E，有**E I G* I F.因此m(E F) mE mF mE m(I G* I) 2，从而，存在开集G E，闭集F E.有m(G F) m((G E) (E F)) m(G E) m(E F) 2 2 . 由 的随意性知，m*(R {0}) 0.即R {0}是零测集.从而，位于ox轴上的随意集E R {0}，因此，E为零测集. 16.证明：假设Em R是单调增加集列〔不必须可测〕且 Em，那么n 1 n m*( Em) limm*Emn 1m 证明：E Em，即，E有界并且E1 E2 E3 En En 1 故m*E1 m*E2 m*E3 m*En m*E ，即{m*Em}m 1单调递增有上界.所以，limm*Em存在并且limm*Em m*Emm 下证：limm*Em m*E.m 由于E有界，可作一个开长方体 ( , )，有 n N，E iii 1nn E . 0,因为m*En inf{ |Ii| i 1n 1 Ii En，Ii为开长方体}.故，存在开长方体序列 {Ii}使得 Ii En，且m*En m*( Ii) m*Ii |Ii| m*En .n 1n 1i 1i 1 共9页: 上一页123456789下一页实变函数 因为m*( E) inf{ |I i 1 i 对于开长方体序列{In}i 1，| Ii E，Ii为开长方体}， i 1假设 Ii E，那么i 1 1i 1 Ii E， 1i 1 Ii E也是开长方体序列，且m*E |i 1 1 Ii|=。