高等数学基础例题讲解.docx
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第1章函数的极限与连续lim.例1.求.Xxlim—=lini—=lim1=解：当x>0时，-4|3+1・X「Xr/八tlim—=hm——=lim(—1)=-1当x<0时，535re,lim二由极限定义可知，田不存在（如图）.sinmxInn例2.求fx（加是非零常数）.解：令"!¥=〃，显然当X一°时〃一°,于是sinmx,・sinmx「sinulim=limm-=inUm=m.1)X3fJJXdulim(l+-)x例3.求I0x_x解：令5,当X-8时，有，-8,=lim(1+2).=lim[(1+1)丁=[lim(l+-/]2=/原式13cx18tTRt].Jl+「-71+XInn例4.求I)x解：limktO2一一5..厂7=lim3X(y/\+X2+VT+7)lim,—ji+-+7mlim-一-例5.求x.解：令，-1=J则X=】Oga(l+，)，X-0时0,于是lim —d x°处的可导性在其定义域=lim=lim=Inailogn(l+r)itIna第2章一元函数微分及其应用例1.讨论函数/（工）=2,在X：与连续性.解：fW=2^为初等函数，（-8,+8）上连续，所以在X=0处连续.又八。
)=出3(°+—八°)=殛ahit)hZztOI]一・1=2lim—==■=-H=oJ疥/'(0)不存在.所以函数，(幻=2五在x=0处连续，但不可导.事实上，曲线/(x)=2正在(0,0)点的切线斜率趋于无穷大，在原点处具有垂直于x轴的切线x=°(如图).例2.求)'=$皿工的各阶导数.，•✓丸\y=cosx=sin(x+—)解：2y"=cos(x+—)=sin[(x+—)+—]=sin(x+2-—)2222=cos(x+2-—)=siii[(x+2- )+—]=sin(x+3-—)2222,，0°=sin(x+〃-q)(sinx)⑺=sin(x+n--)所以：2.y/x+2(3-X)，y=：例3.求*+1)$的导数.解：此函数直接求导比较侵杂，先取对数再求导可筒化运算.此函数的定义域为[-2,7)=(-1,48)当工＞一1时，＞,＞0,函数式两边取对数得：Iny=,ln(x+2)+4ln(3-x)-5ln(x+1)11i1c1—=f45因此上式两边对》求导，得)'2x+2x-3x+\,7772(3-x)\1451y=x——t-+1整理后得，(“+1》2(x+2)x-3x+\当一2cx<-1时可得同样结论.r11lim-例4.x-1.0解：这是“8-8”型，通分即可化为“6”型... 1 1 - x-1-lnxlim - = Inn x-l I (x-l)lnx1-1=limI,x-1Inx+xrX-1「11=lim=lim=-fxlnx+x—1iInx+1+12.例5.求内接于半径为R的球内的圆柱体的是大体积.图 2-20解：设圆柱的底半径为，,，高为/?则体积口=4/〃，而v（h）=^h（R2-h2/4）=爪R/-h"4）（0
>0）.0/犬一(Tseer=-tan/=vsec*/-l=恒等式)有从而：Idx=ln(x+ylx2-a2)+C次一〃当时，令X=TJ则〃>〃，由上，我们有：[r-一!—:dx=-[du\lx2-(r"―苏=一如(〃+5一苏)+[=-ln(-x++C,综合以上结论得，r sinx f dx例 2.求」1+ sinx + cosx=dx = \n K + & -(1 +CXtan — = rr sinx . 2 r dx钮.J 1 + sinx + cosx 'HIT -2tdt1 + t2 +\)dt = - In 11 + /1 +gln 11 + / I +arctanZ+ cr x X=--In I sin —+ cos — I +cr-Ldx例3.讨论积分J1/ 的收敛性._[ f —dx = Inlxll =-H>o解：当〃"时，J】x ,发散；当〃工1时,L 1 1——dx =Ji /1. rb I . = lim —!— 出2cL 6公……b=lim (/J)1 - p「+8 1 1当…时，有网所以L广义积分收敛;,[ lim bl~p =8 当时，有〜桢例4.求曲线V+x'O,从而“x和 x+y = -2+8 |—dx是发散的.围成的图形的面积.y2+x=0解：由卜+)'=一2得交点(TT),(-4,2)选x为积分变量，把面积分成两部分A=|(\[x-[~x-2))tZx-4-j=3另解：选)‘为积分变是，积分区间「L2],A=J：(-y2-(-y-2))力=J二(-y2+y+2)dy显然选>'为积分变是计算较简单.y=-ln(l+r)八，例5.计算曲线x=arctan，，’2从，=°到，=1的弧长.tanmrt.4secuau=Vi+r=ln(l+V2)dyy例1.求齐次方程dxdyz=解：原方程变形为分高变呈积分有：J7~^dl1=J1+ir-..2\^Zarclanir+c即：x(1+h)=e■第4章常微分方程x+yx-y的通解.i+2x_I yydydudyx+yX,设X，则公"x,代入方程"xx-y有:du1+wchi1+w2II +X—=A——=dx—=>dxj,f11—dxarctanw-—ln(l+w")=In1x1+qJxn2,=>X+y=e(这里c=-2q),y、2arcUB-+c所以，原方程的通解为厂+厂=edy2例2.求解微分方程八x+1虫—解：对应齐次方程为：心y=c(x+Y)2.dy设y=c(x)(x+i)2,代入方程公Xy=(x+if2八y=0v+1,分离变曷后积分，可得其通解为:—y=U+i)3X+1有：(x)(x+1)2+2c(x)(x+l)-——・c(x)(x+1)2=(x+1)3c解得：c'(x)=x+l=>y所以原方程的通解为：CX-例3,求微分方程，解法一：原方程化为(x)=—(x+I)2+C2,=[|(x+l)2+c](x+l)2■ly—=xsinx-y卜'的通解.dy1—+—y=s\nx:dxx,对应齐次方程为：dy1—+-v=dxx0,cy=—分离变呈积分得对应齐次方程的通解为：X；c(x)dy1.y=——+—y=sinx设’x,代入方程dx尸有：c(x)x-c(x)-11c(x).；+=sinxrxx解得.c\x)=xsin(x)=>c(x)=-xcosx+sinx+c-xcosx+sinx+cy=所以原方程的通解为：X解法二：直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式求解，有:y =Pi.xydx-(P(x)dvf.I-女f、T-杰dx+c)-eJ=(sinxe*xdx+c)-ex=l(-xcosx+sinx+c)X例4.求)严=x"的通解解：连续积分三次得：=Jxexdx=^xdex=xex—Jexdx=xex—ex+q/=|[(x-lX'+1]}dx=^[x-\)dex+=(x-l)e，-Jexdx+crv=(x-2)el+c}x+c2一,y=(x-3)ex+-c1x2+c2x+c32一般将通解写成：y=C"3H+i+"例5.求微分方程冲的通解.解：这是一个不显含y的二阶微分方程，令y'=〃（x）,则）'"=p'（x）,代入原方程得:dp_dx邛'=P,这是一个可分离变量方程，分离变量：Px,积分得：lnl〃l=lnlxl+c=>p=±，x=>）/=C]X（这里4=±'）,r;12y=c.xax=—c.x+c,_、所以原方程的通解为：J2，一般写成：y=c/+G.故原方程的通解为：第5章空间解析几何例1.设点41，。
一1）,网=1°,而的方向角60“，夕=45°,求：（1）7的值；（2）点8的坐标.解：⑴由cos%+cos"+cosV=*cos2y=1-cos260"-cos2450=-4cos/=±l=>/=60°on（）所以2或v=i20.x-1=10cos600
