第二章-因次分析与定理课件.ppt

第一节第一节 物理量的因次、量度单位和因次式物理量的因次、量度单位和因次式 Ø1 因次、量纲的概念因次、量纲的概念因因次次及及量量纲纲：：表表征征物物理理量量，，除除了了有有量量的的数数值值外外，，还还有有量量的的种种类类（（或或类类别别）），，如如长长度度、、时时间间、、质质量量、、力力等等，，人人们们把把表表征征物物理理量量的的种种类类通通称称为为“因因次次”（（Dimension）或称为）或称为“量纲量纲”国际单位国际单位国际单位国际单位单单位位：：度度量量各各物物理理量量数数值值大大小小的的标标准准，，称称为为单单位位 市市制制、、公公制制、、英英制制、、美制美制 1 1）长度）长度）长度）长度————米米米米3 3）质量）质量）质量）质量————千克千克千克千克2 2）时间）时间）时间）时间————秒秒秒秒4 4）力）力）力）力 ————牛顿牛顿牛顿牛顿第一节第一节 物理量的因次、量度单位和因次式物理量的因次、量度单位和因次式 Ø2 物理量分类物理量分类 物理量可分为两大类物理量可分为两大类物理量物理量物理量物理量1 1））））有有有有因因因因次次次次的的的的: :如如如如长长长长度度度度、、、、时时时时间间间间、、、、速速速速度度度度、、、、加加加加速速速速度度度度、、、、质质质质量量量量、、、、力力力力等等等等，，，，这这这这类类类类物物物物理理理理量量量量要要要要以以以以人人人人为为为为的的的的单单单单位位位位来来来来表表表表示示示示，，，，其其其其数数数数值值值值大大大大小小小小随随随随着着着着单单单单位位位位的的的的更更更更换换换换而而而而改改改改变变变变；；；；1m=100cm1m=100cm2 2））））无无无无因因因因次次次次的的的的: :如如如如坡坡坡坡度度度度、、、、佛佛佛佛汝汝汝汝德德德德数数数数、、、、雷雷雷雷诺诺诺诺数数数数等等等等，，，，这这这这些些些些量量量量是是是是一一一一个个个个纯纯纯纯数数数数或或或或比比比比值值值值，，，，其其其其数数数数值值值值大大大大小小小小不不不不受受受受量度单位更换的影响。

量度单位更换的影响量度单位更换的影响量度单位更换的影响Ø2、物理量的因次分类、物理量的因次分类 物理量的因次可分为两大类物理量的因次可分为两大类因因因因 次次次次1 1））））基基基基本本本本因因因因次次次次：：：：它它它它们们们们彼彼彼彼此此此此是是是是相相相相互互互互独独独独立立立立的的的的，，，，即即即即它它它它们们们们中中中中的的的的任任任任何何何何一个因次不能从其它基本因次推导出来一个因次不能从其它基本因次推导出来一个因次不能从其它基本因次推导出来一个因次不能从其它基本因次推导出来2 2）导出因次：这类因次可由基本因次推导出来导出因次：这类因次可由基本因次推导出来导出因次：这类因次可由基本因次推导出来导出因次：这类因次可由基本因次推导出来若选择若选择若选择若选择[M[M、、、、L L、、、、T T] ] ] ]为基本因次，为基本因次，为基本因次，为基本因次，则速度因次可表示为：则速度因次可表示为：则速度因次可表示为：则速度因次可表示为： [V]=[L]/[T]=[LT[V]=[L]/[T]=[LT[V]=[L]/[T]=[LT[V]=[L]/[T]=[LT-1-1-1-1] ] ] ] 加速度的因次为：加速度的因次为：加速度的因次为：加速度的因次为：[a]=[V]/[T]=[LT[a]=[V]/[T]=[LT[a]=[V]/[T]=[LT[a]=[V]/[T]=[LT-2-2-2-2] ] ] ] 力的因次为：力的因次为：力的因次为：力的因次为： [F]=[[F]=[[F]=[[F]=[MM][a]=[][a]=[][a]=[][a]=[M M LTLTLTLT-2-2-2-2] ] ] ] 力力力力学学学学上上上上通通通通常常常常选选选选择择择择长长长长度度度度（（（（以以以以[L][L]表表表表示示示示））））、、、、时时时时间间间间（（（（以以以以[T][T]表表表表示示示示））））和和和和质质质质量量量量（（（（以以以以[M][M]表表表表示示示示））））作作作作为为为为基基基基本本本本因因因因次次次次，，，，显显显显然然然然它它它它们们们们是是是是相相相相互互互互独独独独立立立立的的的的。

它它它它们们们们中中中中任任任任一一一一个个个个不不不不能能能能从从从从另另另另外外外外二二二二个个个个推推推推导导导导出出出出来来来来 （（（（例例例例如如如如[L][L]不不不不可能由可能由可能由可能由[M][M]、、、、[T][T]来组成）来组成）来组成）来组成）第一节第一节 物理量的因次、量度单位和因次式物理量的因次、量度单位和因次式  可可见见某某一一物物理理量量的的因因次次总总可可以以由由基基本本因因次次推推导导出出来来，，而而且且是是基基本本因因次次幂幂指指数数的的乘积乘积，即：，即： 该式称为因次关系式该式称为因次关系式该式称为因次关系式该式称为因次关系式 证明过程：见书证明过程：见书证明过程：见书证明过程：见书P32P32页 　　物物理理量量ｙｙ的的性性质质可可由由指指数数αβγ来来反反映映，，如如均均为为0，，则则y为为一一次次无无因因次次纯纯数数，，指数指数αβγ中有一个不等于中有一个不等于0，就可以说ｙ是一个有因次的物理量就可以说ｙ是一个有因次的物理量 y为一运动学量为一运动学量 y为一几何学量为一几何学量 y为一动力学量为一动力学量 　从上式可以导出常见的有因次的物理量　从上式可以导出常见的有因次的物理量 如面积是由两个长度的乘积组成的，则它们的因次为长度因次如面积是由两个长度的乘积组成的，则它们的因次为长度因次如面积是由两个长度的乘积组成的，则它们的因次为长度因次如面积是由两个长度的乘积组成的，则它们的因次为长度因次的平方的平方的平方的平方,[A]=[L,[A]=[L,[A]=[L,[A]=[L2 2 2 2] ] ] ]或写成或写成或写成或写成[A]=[[A]=[[A]=[[A]=[MM0 0 0 0L L L L2 2 2 2T T T T0 0 0 0] ] ] ]。

流速因次为流速因次为流速因次为流速因次为[V]= [LT[V]= [LT[V]= [LT[V]= [LT-1-1-1-1] = [] = [] = [] = [MM0 0 0 0LTLTLTLT-1-1-1-1] ] ] ]；；；； 力的因次为力的因次为力的因次为力的因次为[F]=[[F]=[[F]=[[F]=[MM][a]=[][a]=[][a]=[][a]=[M M LTLTLTLT-2-2-2-2] ] ] ] 物理量物理量物理量物理量 无因次量无因次量无因次量无因次量 有因次量有因次量有因次量有因次量 基本量基本量基本量基本量导出量导出量导出量导出量 常见因次关系详见常见因次关系详见P34页表页表2－－1第一节第一节 物理量的因次、量度单位和因次式物理量的因次、量度单位和因次式 第二节第二节 因次和谐原理和因次分析方法因次和谐原理和因次分析方法Ø1、因次和谐原理、因次和谐原理 凡是正确反映某一物理现象变化规律的完整的物理方程，凡是正确反映某一物理现象变化规律的完整的物理方程，凡是正确反映某一物理现象变化规律的完整的物理方程，凡是正确反映某一物理现象变化规律的完整的物理方程，其各项因次都必须是一致的，这称为因次和谐原理。

其各项因次都必须是一致的，这称为因次和谐原理其各项因次都必须是一致的，这称为因次和谐原理其各项因次都必须是一致的，这称为因次和谐原理 只有类型相同的物理量才能相加减，即因次相同的物理只有类型相同的物理量才能相加减，即因次相同的物理只有类型相同的物理量才能相加减，即因次相同的物理只有类型相同的物理量才能相加减，即因次相同的物理量才能相加减，两个不同类型的物理量相加减是没有意义的量才能相加减，两个不同类型的物理量相加减是没有意义的量才能相加减，两个不同类型的物理量相加减是没有意义的量才能相加减，两个不同类型的物理量相加减是没有意义的比如，比如，比如，比如，1m+1kg1m+1kg1m+1kg1m+1kg是没有意义的所以，方程中各项因次都必须是没有意义的所以，方程中各项因次都必须是没有意义的所以，方程中各项因次都必须是没有意义的所以，方程中各项因次都必须是一致的是一致的是一致的是一致的利用方程因次和谐特征：（利用方程因次和谐特征：（利用方程因次和谐特征：（利用方程因次和谐特征：（1 1 1 1）可以探求物理方程的结构形）可以探求物理方程的结构形）可以探求物理方程的结构形）可以探求物理方程的结构形式，（式，（式，（式，（2 2 2 2）检验复杂方程式的正确性，（）检验复杂方程式的正确性，（）检验复杂方程式的正确性，（）检验复杂方程式的正确性，（3 3 3 3）还可以用来导出）还可以用来导出）还可以用来导出）还可以用来导出模型试验中必须遵循的相似准则。

因此，这一原理是因次分模型试验中必须遵循的相似准则因此，这一原理是因次分模型试验中必须遵循的相似准则因此，这一原理是因次分模型试验中必须遵循的相似准则因此，这一原理是因次分析的重要依据析的重要依据析的重要依据析的重要依据 Ø2、因次和谐原理的重要性、因次和谐原理的重要性1. 一一个个物物理理方方程程式式在在因因次次上上是是和和谐谐的的，，则则方方程程的的文文字字结结构构形形式式不不随随量量度度单单位位的的更更换换而而变变化化因因此此因因次次和和谐谐原原理理可可以以用用以以检检验验新新建建方方程程式式或或经经验验公公式式的的正确性和完整性正确性和完整性 伯努利方程伯努利方程伯努利方程伯努利方程上上上上式式式式中中中中各各各各项项项项的的的的因因因因次次次次都都都都是是是是长长长长度度度度[ [L L] ]，，，，所所所所以以以以因因因因次次次次是是是是和和和和谐谐谐谐的的的的不不不不管管管管方方方方程程程程中中中中各各各各项项项项采采采采用用用用的的的的单单单单位位位位是是是是什什什什么么么么，，，，方方方方程程程程的的的的形形形形式式式式都都都都不不不不会会会会改改改改变变变变，，，，若若若若同同同同除除除除以以以以任任任任一一一一项项项项变变变变为为为为无无无无量量量量纲纲纲纲方方方方程程程程式式式式，，，，其形式仍然不会改变。

其形式仍然不会改变其形式仍然不会改变其形式仍然不会改变如如如如果果果果一一一一个个个个方方方方程程程程在在在在因因因因次次次次上上上上不不不不和和和和谐谐谐谐，，，，则则则则要要要要检检检检查查查查方方方方程程程程式式式式是是是是否否否否完完完完整整整整，，，，采采采采用用用用度度度度量量量量单单单单位位位位是是是是否一致，数学分析过程是否严谨否一致，数学分析过程是否严谨否一致，数学分析过程是否严谨否一致，数学分析过程是否严谨Ø2、因次和谐原理的重要性、因次和谐原理的重要性2. 用因次和谐原理确定物理方程中各物理量的指数用因次和谐原理确定物理方程中各物理量的指数Ø2、因次和谐原理的重要性、因次和谐原理的重要性质量为质量为质量为质量为M M M M、以速度、以速度、以速度、以速度v v v v沿半径为沿半径为沿半径为沿半径为R R R R的圆周运动时其关系式为：的圆周运动时其关系式为：的圆周运动时其关系式为：的圆周运动时其关系式为：利用因次和谐原理可以证明利用因次和谐原理可以证明利用因次和谐原理可以证明利用因次和谐原理可以证明关系式的关系式的关系式的关系式的合理合理合理合理性性性性 左侧左侧左侧左侧 [F]=[MLT[F]=[MLT[F]=[MLT[F]=[MLT-2-2-2-2] ] ] ]右侧右侧右侧右侧显然左侧与右侧的因次相同，即可证得：显然左侧与右侧的因次相同，即可证得：显然左侧与右侧的因次相同，即可证得：显然左侧与右侧的因次相同，即可证得：各物理量的量纲为：各物理量的量纲为：各物理量的量纲为：各物理量的量纲为： [F]=[MLT[F]=[MLT[F]=[MLT[F]=[MLT-2-2-2-2] ] ] ]、、、、[m]=[M][m]=[M][m]=[M][m]=[M]、、、、[v]=[MLT[v]=[MLT-1-1] ]、、、、[R]=[L][R]=[L]根据因次和谐原理，左右两侧的量纲应该和谐根据因次和谐原理，左右两侧的量纲应该和谐根据因次和谐原理，左右两侧的量纲应该和谐根据因次和谐原理，左右两侧的量纲应该和谐 ：：：：  3.用因次和谐原理建立某些物理方程。

用因次和谐原理建立某些物理方程 实实际际工工程程中中有有许许多多自自然然现现象象，，直直至至目目前前仍仍尚尚未未找找出出具具体体形形式式的的物物理理方方程程通通过过观观察察和和试试验验等等只只知知道道有有哪哪些些物物理理量量参参与与作作用用，，那那么么，，利利用因次和谐原理往往可以确定方程式的结构模式用因次和谐原理往往可以确定方程式的结构模式 举例：水平圆管中层流流量举例：水平圆管中层流流量Q的计算式的确定的计算式的确定通过试验知道它通过试验知道它通过试验知道它通过试验知道它与如下参数有关：与如下参数有关：与如下参数有关：与如下参数有关： 圆管半径圆管半径圆管半径圆管半径 单位管长的压差单位管长的压差单位管长的压差单位管长的压差 流体流体流体流体动力动力动力动力粘滞粘滞粘滞粘滞系数系数系数系数写出函数关系式：写出函数关系式：写出函数关系式：写出函数关系式：假设：假设：假设：假设：Ø2、因次和谐原理的重要性、因次和谐原理的重要性其因次其因次其因次其因次式为：式为：式为：式为：选择选择选择选择[M,L,T][M,L,T][M,L,T][M,L,T]为基本量纲，则写出两边的量纲表达式：为基本量纲，则写出两边的量纲表达式：为基本量纲，则写出两边的量纲表达式：为基本量纲，则写出两边的量纲表达式：根据因次和谐原理，方程两侧同类因次的指数必须相同，即：根据因次和谐原理，方程两侧同类因次的指数必须相同，即：根据因次和谐原理，方程两侧同类因次的指数必须相同，即：根据因次和谐原理，方程两侧同类因次的指数必须相同，即： 联解上列联解上列联解上列联解上列3 3 3 3式得：式得：式得：式得： 从而有从而有从而有从而有 写成函数关系式为写成函数关系式为写成函数关系式为写成函数关系式为 其中，其中，其中，其中，k k k k为无因次系数，由试验结果分析得：为无因次系数，由试验结果分析得：为无因次系数，由试验结果分析得：为无因次系数，由试验结果分析得： 于是圆管中层流流量公式为：于是圆管中层流流量公式为：于是圆管中层流流量公式为：于是圆管中层流流量公式为： 第二节第二节 因次和谐原理和因次分析方法因次和谐原理和因次分析方法Ø二、因次分析方法二、因次分析方法 由因次和用因次和谐原理，可以得到如下认识：由因次和用因次和谐原理，可以得到如下认识：• 1 、、自自然然界界中中某某一一物物理理现现象象的的变变化化规规律律，，可可以以用用一一个个完完整整的的物物理理方程方程来描述；来描述；• 2 、一个完整的物理方程式、一个完整的物理方程式必须符合因次和谐原理必须符合因次和谐原理；； • 3 、、一一个个完完整整的的物物理理方方程程式式其其文文字字结结构构不不随随人人为为确确定定的的量量度度单单位位的更换而改变的更换而改变；； • 4 、、 因因次次和和谐谐的的条条件件是是方方程程式式中中各各个个变变量量的的基基本本因因次次的的指指数数在在方方程式两侧彼此相等程式两侧彼此相等。

因次分析方法就是建立在上述结论基础上，是用于探求因次分析方法就是建立在上述结论基础上，是用于探求因次分析方法就是建立在上述结论基础上，是用于探求因次分析方法就是建立在上述结论基础上，是用于探求物理现象的函数关系式的一种数学分析方法物理现象的函数关系式的一种数学分析方法物理现象的函数关系式的一种数学分析方法物理现象的函数关系式的一种数学分析方法 第二节第二节 因次和谐原理和因次分析方法因次和谐原理和因次分析方法Ø二、因次分析方法二、因次分析方法 因次分析方法有因次分析方法有因次分析方法有因次分析方法有二种二种二种二种：：：： 瑞利（瑞利（瑞利（瑞利（RayleighRayleighRayleighRayleigh）法）法）法）法————适用于解决较简单问题适用于解决较简单问题适用于解决较简单问题适用于解决较简单问题 ππππ定理定理定理定理————具有普遍性的方法具有普遍性的方法具有普遍性的方法具有普遍性的方法 瑞利方法的实质是应用因次和谐原理来建立物理现象的瑞利方法的实质是应用因次和谐原理来建立物理现象的瑞利方法的实质是应用因次和谐原理来建立物理现象的瑞利方法的实质是应用因次和谐原理来建立物理现象的函数关系。

函数关系函数关系函数关系 第二节第二节 因次和谐原理和因次分析方法因次和谐原理和因次分析方法 例：例：例：例： 一弦长为一弦长为一弦长为一弦长为L L L L的单摆的单摆的单摆的单摆, , , ,摆端有质量为摆端有质量为摆端有质量为摆端有质量为m m m m的摆球，要求用瑞利法求单摆的摆球，要求用瑞利法求单摆的摆球，要求用瑞利法求单摆的摆球，要求用瑞利法求单摆的摆动周期的摆动周期的摆动周期的摆动周期t t t t的表达式的表达式的表达式的表达式 根据单摆现象观测，周期根据单摆现象观测，周期根据单摆现象观测，周期根据单摆现象观测，周期t t t t与弦长与弦长与弦长与弦长l l l l、、、、摆球质摆球质摆球质摆球质量量量量m m m m为及重力加速度为及重力加速度为及重力加速度为及重力加速度g g g g有关，即：有关，即：有关，即：有关，即： 用幂指数乘积来表示这一函数关系，即：用幂指数乘积来表示这一函数关系，即：用幂指数乘积来表示这一函数关系，即：用幂指数乘积来表示这一函数关系，即： 式中：式中：式中：式中： 为待定常数。

将上式写成因次式得：为待定常数将上式写成因次式得：为待定常数将上式写成因次式得：为待定常数将上式写成因次式得： Ø二、二、 因次分析方法因次分析方法第二节第二节 因次和谐原理和因次分析方法因次和谐原理和因次分析方法 选择选择选择选择 为基本因次，根据因次和谐原理，则上式可写成：为基本因次，根据因次和谐原理，则上式可写成：为基本因次，根据因次和谐原理，则上式可写成：为基本因次，根据因次和谐原理，则上式可写成：联立求得上列联立求得上列联立求得上列联立求得上列3 3 3 3式求解得：式求解得：式求解得：式求解得： 根据因次和谐：根据因次和谐：Ø二、二、 因次分析方法因次分析方法第二节第二节 因次和谐原理和因次分析方法因次和谐原理和因次分析方法这与理论分析结果完全相同这与理论分析结果完全相同这与理论分析结果完全相同这与理论分析结果完全相同 由单摆试验得到由单摆试验得到由单摆试验得到由单摆试验得到 常数等于常数等于常数等于常数等于2π2π2π2π，，，，则单摆周期的表达式为：则单摆周期的表达式为：则单摆周期的表达式为：则单摆周期的表达式为： Ø二、二、 因次分析方法因次分析方法应用瑞利因次分析法探求物理方程式的步骤如下：应用瑞利因次分析法探求物理方程式的步骤如下：应用瑞利因次分析法探求物理方程式的步骤如下：应用瑞利因次分析法探求物理方程式的步骤如下： 1、、 找出物理过程的参变量，找出物理过程的参变量，建立函数关系式建立函数关系式（一般采用幂指数乘积形式）；（一般采用幂指数乘积形式）； 2 、写出函数的、写出函数的因次关系式因次关系式；； 3、、 选选定定3个个基基本本因因次次（（一一般般为为：：M ,L,T ）），，按按选选定定的的基基本本因因次次整整理理、、归归并得出函数的并得出函数的因次关系式因次关系式；； 4、根据因次和谐原理列出、根据因次和谐原理列出因次和谐方程因次和谐方程，，联立求解出各参变量指数值联立求解出各参变量指数值；； 5、将解得的指数值回代到原假定的函数关系式，并加以整理、化简；、将解得的指数值回代到原假定的函数关系式，并加以整理、化简； 6、、通通过过模模型型试试验验或或现现场场观观测测，，验验证证所所得得的的函函数数表表达达式式的的完完整整性性和和正正确确性性，，并并确确定定表表达达式式中中的的待待定定系系数数或或指指数数，，最最后后获获得得描描述述该该物物理理现现象象的的完完整整的的表表达达式式。

第二节第二节 因次和谐原理和因次分析方法因次和谐原理和因次分析方法Ø二、二、 因次分析方法因次分析方法 用用瑞瑞利利因因次次分分析析法法建建立立物物理理现现象象的的函函数数表表达达式式，，最最大大的的优优点点就就是是简简单单易行，但有一定局限性：易行，但有一定局限性：• 1、只能假定物理方程式的模式是、只能假定物理方程式的模式是参变量幂指数的乘积参变量幂指数的乘积；；• 2、、所所建建立立的的方方程程式式正正确确与与否否，，很很大大程程度度取取决决于于参参变变量量的的选选择择是是否否正正确确、、完整；完整； • 3、、方方程程式式中中的的待待定定系系数数或或某某些些指指数数，，一一般般需需由由模模型型试试验验或或理理论论分分析析（比较简单的物理过程）求得；（比较简单的物理过程）求得； • 4、、只只有有当当参参变变量量不不大大于于3个个时时，，方方能能求求解解由由3个个基基本本因因次次构构成成的的因因次次和和谐方程组，求得不大于谐方程组，求得不大于3个的待定指数，从而建立方程的具体形式个的待定指数，从而建立方程的具体形式第二节第二节 因次和谐原理和因次分析方法因次和谐原理和因次分析方法Ø二、二、 因次分析方法因次分析方法当待求的物理方程中包含的参变量大于当待求的物理方程中包含的参变量大于当待求的物理方程中包含的参变量大于当待求的物理方程中包含的参变量大于3 3 3 3个时，瑞利法就无能为个时，瑞利法就无能为个时，瑞利法就无能为个时，瑞利法就无能为力了。

这时需采用因次分析的普遍方法力了这时需采用因次分析的普遍方法力了这时需采用因次分析的普遍方法力了这时需采用因次分析的普遍方法————ππππ定理，找出复合定理，找出复合定理，找出复合定理，找出复合无因次项，方能建立完整的物理方程式无因次项，方能建立完整的物理方程式无因次项，方能建立完整的物理方程式无因次项，方能建立完整的物理方程式第三节第三节 ππ定理及其应用定理及其应用Ø一、一、 π定理的基本概念定理的基本概念π定理的全部含意是：定理的全部含意是： 某某一一物物理理进进程程，，若若有有ｎｎ个个物物理理量量参参与与作作用用，，其其中中有有ｍｍ个个具具有有因因次次独独立立的的基基本本物物理理量量，，则则经经过过处处理理，，这这一一物物理理过过程程可可由由包包含含ｎｎ-ｍｍ个个由由这这些些物物理理量量组成的无因次准数组成的无因次准数π π的函数关系式来表示的函数关系式来表示因次独立的基本物理量的含义：因次独立的基本物理量的含义：指指任任何何一一个个基基本本物物理理量量的的因因次次不不能能由由其其它它基基本本物物理理量量诱诱导导出出来来，，或或者者更更严严格格的的讲讲，，由由基基本本物物理理量量不不可可能能组组成成一一个个无无因因次次的的量量。

例例如如用用质质量量ｍｍ，，长长度度l，时间，时间t三个基本物理量，不管怎样组合均不可能组成一个无因次量三个基本物理量，不管怎样组合均不可能组成一个无因次量则它们是因次独立的则它们是因次独立的则它们是因次独立的则它们是因次独立的( ( ( (即不能组成无因次量即不能组成无因次量即不能组成无因次量即不能组成无因次量) ) ) )的条件是上的条件是上的条件是上的条件是上列因次式中的指数行列式不等于零列因次式中的指数行列式不等于零列因次式中的指数行列式不等于零列因次式中的指数行列式不等于零假设假设假设假设x1, x2 ,x3x1, x2 ,x3x1, x2 ,x3x1, x2 ,x3————是基本量，它们的因次式表示如下：是基本量，它们的因次式表示如下：是基本量，它们的因次式表示如下：是基本量，它们的因次式表示如下：第三节第三节 ππ定理及其应用定理及其应用Ø一、一、 π定理的基本概念定理的基本概念π定理的数学解释：定理的数学解释： 设某一物理过程包含设某一物理过程包含设某一物理过程包含设某一物理过程包含n n n n个物理量个物理量个物理量个物理量x1, x2 ,x1, x2 ,x1, x2 ,x1, x2 ,……，，，，xnxnxnxn，则这一物理过，则这一物理过，则这一物理过，则这一物理过程可用这些参变量的函数关系式表示：程可用这些参变量的函数关系式表示：程可用这些参变量的函数关系式表示：程可用这些参变量的函数关系式表示：若若若若n n n n个参变量中有个参变量中有个参变量中有个参变量中有m m m m个因次独立（个因次独立（个因次独立（个因次独立（m

如果两个物理量的因次之比等于大小随单位的改变而改变如果两个物理量的因次之比等于大小随单位的改变而改变如果两个物理量的因次之比等于大小随单位的改变而改变如果两个物理量的因次之比等于1 1 1 1，，，，那么他们的物理量因次相同，则其数值之比是一个无因次数那么他们的物理量因次相同，则其数值之比是一个无因次数那么他们的物理量因次相同，则其数值之比是一个无因次数那么他们的物理量因次相同，则其数值之比是一个无因次数比如：比如：比如：比如：均为无因次数均为无因次数均为无因次数均为无因次数则：则：则：则：n-mn-mn-mn-m个参变量均可用它们同个参变量均可用它们同个参变量均可用它们同个参变量均可用它们同m m m m个基本参变量的复合量表个基本参变量的复合量表个基本参变量的复合量表个基本参变量的复合量表示，并转换为示，并转换为示，并转换为示，并转换为n-mn-mn-mn-m个无因次数，这些数称为个无因次数，这些数称为个无因次数，这些数称为个无因次数，这些数称为ππππ而对于基本参变量：而对于基本参变量：而对于基本参变量：而对于基本参变量：不但因次之比等于不但因次之比等于不但因次之比等于不但因次之比等于1 1 1 1，其数值之比也等于，其数值之比也等于，其数值之比也等于，其数值之比也等于1 1 1 1由此，各参变量组成的函数关系式可以表示为：由此，各参变量组成的函数关系式可以表示为：由此，各参变量组成的函数关系式可以表示为：由此，各参变量组成的函数关系式可以表示为：基本量，共基本量，共基本量，共基本量，共m m m m项项项项或者写为或者写为或者写为或者写为上式物理意义：一个有上式物理意义：一个有上式物理意义：一个有上式物理意义：一个有n n n n个参变量参与作用的物理过程的函数式可个参变量参与作用的物理过程的函数式可个参变量参与作用的物理过程的函数式可个参变量参与作用的物理过程的函数式可以转换为仅包含若干个无因次数的函数式。

以转换为仅包含若干个无因次数的函数式以转换为仅包含若干个无因次数的函数式以转换为仅包含若干个无因次数的函数式第三节第三节 ππ定理及其应用定理及其应用Ø二、二、π定理在因次分析中的应用定理在因次分析中的应用例例例例1 1 1 1 利用利用利用利用ππππ定理建立圆球的粘滞力公式定理建立圆球的粘滞力公式定理建立圆球的粘滞力公式定理建立圆球的粘滞力公式 设影响圆球在流体中运动设影响圆球在流体中运动设影响圆球在流体中运动设影响圆球在流体中运动( ( ( (或流体绕圆球运动或流体绕圆球运动或流体绕圆球运动或流体绕圆球运动) ) ) )时引起的时引起的时引起的时引起的粘滞阻力粘滞阻力粘滞阻力粘滞阻力F F F FD D D D 与流体的密度与流体的密度与流体的密度与流体的密度ρρρρ，动力粘滞系数，动力粘滞系数，动力粘滞系数，动力粘滞系数μμμμ，球体与流体，球体与流体，球体与流体，球体与流体的相对速度以及表征球体的特征面积的相对速度以及表征球体的特征面积的相对速度以及表征球体的特征面积的相对速度以及表征球体的特征面积A A A A有关于是粘滞阻力有关。

于是粘滞阻力有关于是粘滞阻力有关于是粘滞阻力的函数关系式可写成：的函数关系式可写成：的函数关系式可写成：的函数关系式可写成：上式可改写成：上式可改写成：第三节第三节 ππ定理及其应用定理及其应用Ø二、二、π定理在因次分析中的应用定理在因次分析中的应用 上式共上式共上式共上式共5 5 5 5个变量，选择个变量，选择个变量，选择个变量，选择d d d d 、、、、 V V V V、、、、ρρρρ作为基本变量：作为基本变量：作为基本变量：作为基本变量： 基本因次的指数基本因次的指数基本因次的指数基本因次的指数行列式为行列式为行列式为行列式为 故故所所选选的的基基本本量量是是因因次次独独立立的的，，根根据据π定定理理，，其其它它两两个个参参变变量量可可用用无无因因次次的的π项表示，可得：项表示，可得：第三节第三节 ππ定理及其应用定理及其应用Ø二、二、π定理在因次分析中的应用定理在因次分析中的应用第三节第三节 ππ定理及其应用定理及其应用由以上推导可知由以上推导可知π定理的涵义：定理的涵义： 1、、π定定理理的的主主要要理理论论依依据据是是一一个个完完整整的的物物理理方方程程式式必必须须遵遵循循因因次和谐原理。

次和谐原理 2 、、包包含含有有n个个变变量量参参与与作作用用的的某某一一物物理理现现象象，，可可用用一一个个由由(n-m)个个无无因因次次项项组组成成的的函函数数关关系系式式来来表表达达，，其其中中m为为n个个参参变变量量中中具具有因次独立的基本参变量有因次独立的基本参变量( )；； 3 、、基基本本参参变变量量可可任任意意从从全全部部参参变变量量中中选选择择，，它它们们必必须须是是因因次次独独立立的的(因因次次中中的的指指数数行行列列式式不不等等于于零零)，，而而且且它它们们包包含含的的基基本本因因次次应能包括应能包括n个参变量中所有基本因次个参变量中所有基本因次第三节第三节 ππ定理及其应用定理及其应用 4、、 每每一一个个无无因因次次π项项均均可可由由m个个基基本本量量指指数数乘乘积积与与某某一一个个变变量量的的商商或或积积组组合合而而成成，，组组合合的的要要求求是是各各个个基基本本量量的的指指数数得得到到合合理理的的确确定定，，最最终终使所得的各个使所得的各个π项均为无因次量项均为无因次量 5 、某些无因次物理量，本身也可作为、某些无因次物理量，本身也可作为π项。

项 6 、、各各个个π项项的的自自乘乘及及它它们们之之间间相相互互乘乘除除其其物物理理意意义义不不变变因因而而在在组组合合π项项时时，，用用于于和和基基本本量量指指数数乘乘积积或或相相除除的的某某一一个个变变量量，，其其指指数数可可以以任意选择任意选择由以上推导可知由以上推导可知π定理的涵义：定理的涵义：第三节第三节 ππ定理及其应用定理及其应用Ø三、三、π定理的应用步骤定理的应用步骤1、、 根根据据对对研研究究对对象象物物理理现现象象的的认认识识，，找找出出影影响响这这一一物物理理现现象象的的主主要要参参变变量量2、、从从正正确确选选定定的的几几个个参参变变量量中中，，选选出出m个个基基本本参参变变量量（（必必须须是是因因次次独独立立的的））3、将由、将由n个因变量的函数关系转换为个因变量的函数关系转换为4、、根根据据各各π项项必必须须为为无无因因次次量量的的条条件件，，由由因因次次和和谐谐原原理理求求解解得得出出各各π相相应应的待定指数，并代回各的待定指数，并代回各π项得出其表达式项得出其表达式5、尽量将方程式中各、尽量将方程式中各π项转换为常用的相似准数或通用的纯数项转换为常用的相似准数或通用的纯数。

6、、将将各各个个π项项代代回回到到（（n-m））个个π项项的的无无因因次次函函数数关关系系式式，，并并整整理理成成表表示示某一现象的函数关系式某一现象的函数关系式7、、根根据据函函数数表表达达式式拟拟定定实实验验方方案案，，用用实实验验结结果果检检验验所所选选参参变变量量及及表表达达式式，，并确定有关待定系数并确定有关待定系数精品课件精品课件！精品课件精品课件！第三节第三节 ππ定理及其应用定理及其应用本本章章完完！！。