含参数的一元二次不等式的解法以和含参不等式恒成立问题[专题].doc

...wd...含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么若何讨论呢对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按项的系数的符号分类，即;例1解不等式：分析：此题二次项系数含有参数，，故只需对二次项系数进展分类讨论解：∵解得方程两根∴当时,解集为当时，不等式为,解集为当时,解集为例2 解不等式分析 因为，，所以我们只要讨论二次项系数的正负解当时，解集为；当时，解集为二、按判别式的符号分类，即；例3解不等式分析此题中由于的系数大于0,故只需考虑与根的情况解：∵∴当即时，解集为；当即Δ＝0时，解集为；当或即,此时两根分别为，，显然,∴不等式的解集为 例4 解不等式 解因所以当，即时，解集为；当，即时，解集为；当，即时，解集为R三、按方程的根的大小来分类，即；例5解不等式分析：此不等式可以分解为：，故对应的方程必有两解此题只需讨论两根的大小即可解：原不等式可化为：，令，可得：∴当或时， ，故原不等式的解集为；当或时，,可得其解集为；当或时, ,解集为。

例6 解不等式， 分析 此不等式，又不等式可分解为，故只需对比两根与的大小.解 原不等式可化为：，对应方程的两根为，当时，即，解集为；当时，即，解集为含参不等式恒成立问题的求解策略“含参不等式恒成立问题〞把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程〞、“化归与转化〞、“数形结合〞、“分类讨论〞等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略一、判别式法假设所求问题可转化为二次不等式，那么可考虑应用判别式法解题一般地，对于二次函数,有1〕对恒成立; 2〕对恒成立例1：假设不等式的解集是R，求m的范围解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0〔1〕当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；〔2〕时，只需，所以，例2．函数的定义域为R，求实数的取值范围解：由题设可将问题转化为不等式对恒成立，即有解得所以实数的取值范围为假设二次不等式中的取值范围有限制，那么可利用根的分布解决问题。

二、最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1〕恒成立2〕恒成立例3、假设时，不等式恒成立，求的取值范围解：设，那么问题转化为当时，的最小值非负1） 当即：时，又所以不存在；（2） 当即：时， 又（3） 当 即：时，又综上所得：例4．函数，假设对任意，恒成立，求实数的取值范围解：假设对任意，恒成立，即对，恒成立，考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得而抛物线在的最小值得注：此题还可将变形为，讨论其单调性从而求出最小值例5：在ABC中，恒成立，求实数m的范围解析：由，，恒成立，，即恒成立，例6：求使不等式恒成立的实数a的范围解析：由于函，显然函数有最大值，三、别离变量法假设所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元别离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强一般地有：1〕恒成立2〕恒成立例7、时，不等式恒成立，求的取值范围解：令， 所以原不等式可化为：，要使上式在上恒成立，只须求出在上的最小值即可例8、函数，假设对任意恒有，试确定的取值范围解：根据题意得：在上恒成立，即：在上恒成立，设，那么当时， 所以例9．函数时恒成立，求实数的取值范围。

解： 将问题转化为对恒成立令，那么由可知在上为减函数，故∴即的取值范围为注：别离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决四、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，假设能适时的把主元变量和参数变量进展“换位〞思考，往往会使问题降次、简化例10．对任意，不等式恒成立，求的取值范围分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但假设把看成主元，那么问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题解：令，那么原问题转化为恒成立〔〕 当时，可得，不合题意当时，应有解之得故的取值范围为注：一般地，一次函数在上恒有的充要条件为例11、假设不等式对满足的所有都成立，求的取值范围解：设，对满足的，恒成立， 解得：五、数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微〞，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1〕函数图象恒在函数图象上方；2〕函数图象恒在函数图象下上方x-2-4yO-4例12．设 , ,假设恒有成立,求实数的取值范围. 分析：在同一直角坐标系中作出及 的图象 如以以下图，的图象是半圆的图象是平行的直线系。

要使恒成立，那么圆心到直线的距离满足 解得〔舍去)由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变〞，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结例13：，求实数a的取值范围解析：由，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，那么由得到a分别等于2和0.5，并作出函数的图象，所以，要想使函数在区间中恒成立，只须在区间对应的图象在在区间对应图象的上面即可当才能保证，而才可以，所以例14、假设不等式在内恒成立，求实数的取值范围解：由题意知：在内恒成立，在同一坐标系内，分别作出函数和观察两函数图象，当时，假设函数的图象显然在函数图象的下方，所以不成立；当时，由图可知，的图象必须过点或在这个点的上方，那么，综上得：例15．设，当时，恒成立，求实数的取值范围解：设，那么当时，恒成立Oxyx-1当时，显然成立；当时，如图，恒成立的充要条件为：解得综上可得实数的取值范围为。