克勒尼希彭尼模型与近自由电子.ppt

7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子第 7 章 能带固体物理导论1克勒尼希-彭尼模型 一维方形势井阵列周期势1. 0

如果某一波矢 k 出现在 f 中，则 f 的展开式出现的其余波矢都将具有 k+G 的形式7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子第 7 章 能带固体物理导论6可以把包含傅里叶分量 k 的波函数记为 fk， 则同样也可记为 fk+G，因为如果 k 出现在傅里叶 级数中，则 k+G 也会出现遍及 G 的那些波矢 k+G 是波矢集合 2np/L 中的一个限制型子集7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子第 7 章 能带固体物理导论7从上式可以得到所谓的中心方程因此用一组代数方程取代了原来的微分方程该 方程组的方程数目巨大，看起来难以求解，但实 际上常常只要解少数几个就足够了将波函数的傅里叶展开式代入波动方程，得7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子第 7 章 能带固体物理导论8一旦解出了 C(k)，则电子波函数就可以写为7.4. 1 关于布洛赫定理的另一种表述形式T 任意格矢等于1满足布洛赫定理7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子第 7 章 能带固体物理导论97.4. 2 电子的晶体动量略7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子第 7 章 能带固体物理导论10我们讨论一个具体的问题：令 g 表示最短的倒格 矢，并假定势能仅含有一个傅里叶分量 Ug=U-g， 记为 U，于是上述方程组的一部分方程7.4. 3 关于中心方程的解7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子第 7 章 能带固体物理导论11系数行列式的一部分行列式的维度是无限的，但令这部分为 0 就足够除了重根外，对于一个给定的 k，每个根都处在不同的能带上7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子第 7 章 能带固体物理导论12周期性 d 函数势场中的克勒尼希-彭尼模型7.4. 4 倒易空间中的克勒尼希-彭尼模型其中 G 为倒格矢7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子第 7 章 能带固体物理导论13中心方程变为定义于是因此7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子第 7 章 能带固体物理导论14利用因此以及三角函数公式，上式求和部分变为此即克勒尼希-彭尼的结果7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子第 7 章 能带固体物理导论15自由电子的能量7.4. 5 空格点近似位于第一布里渊区各合适的倒格矢7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子第 7 章 能带固体物理导论16例：简单立方晶格的低能态自由电子能带已令7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子第 7 章 能带固体物理导论17假定势能的傅里叶分量 UG 与布里渊区边界上的自由电子的动能相比是小的。

首先考虑一波 矢更好在布里渊区边界 G/2 处7.4. 6 在布里渊区边界附近的近似解因此布里渊区边界上的两个组分波 的动 能相等7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子第 7 章 能带固体物理导论18若 C(G/2) 是波函数在布里渊区边界上的一重要系数，则 C(-G/2) 也是，仅保留中心方程中包含这两系数的两方程非零解条件7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子第 7 章 能带固体物理导论19在布里渊区边界处导致宽度为 2U 的能隙两系数之比因此 f(x) 在布里渊区边界有两个解这两个解分别对应能隙底部和顶部的波函数，具 体哪个具有较低的能量取决于 U 的符号7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子第 7 章 能带固体物理导论20布里渊区边界附近的轨道，同样二分量近似据中心方程列出下面一对方程非零解条件7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子第 7 章 能带固体物理导论21令 ，该量在布里渊区边界处为小量两个能量孰高孰低 取决于 U 的符号7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子第 7 章 能带固体物理导论22能带系数比。