符号表达式及其应用符号表达式及其应用微积分基本运算微积分基本运算Taylor级数展开级数展开常微分方程求解常微分方程求解第第4章章 高等数学计算高等数学计算 MATLAB的的符号计算符号计算符号计算相对于数值计算而存在符号计算相对于数值计算而存在,数值计算的特点是数值计算的特点是“近似近似”, 符号计算的特点是符号计算的特点是“准确准确”. 早期的早期的MATLAB不能实现符号计算不能实现符号计算,1993年年MathWorks公司购买软件公司购买软件MAPLE的使用权的使用权,并开发实现符号计算的工具箱并开发实现符号计算的工具箱——Symbolic Math Toolbox. MATLAB符号计算能实现微积分计算、线性代数计算、符号计算能实现微积分计算、线性代数计算、方程求解、积分变换等在符号计算中方程求解、积分变换等在符号计算中, 符号表达式符号表达式是主要操作对象是主要操作对象.符号表达式符号表达式——符号变量、运算符、函数、数字组成符号变量、运算符、函数、数字组成表达式中的符号变量必须事先创建表达式中的符号变量必须事先创建.创建的常方法是用创建的常方法是用关键词关键词syms 空格后跟空格后跟符号变量符号变量。
2/16 例例1. 用符号表达式定义用符号表达式定义 f = e – 0.2x sin (0.5x)并绘并绘图图.syms x ; f = exp(-0.2*x)*sin(0.5*x); ezplot(f,[0,2*pi])3/16syms 符号变量符号变量1 符号变量符号变量2 …f = exp(-1/5*x) * sin(1/2*x)ezplot( f )绘表达式绘表达式f=f(x)的图的图绘图区域绘图区域 -2*pia时的极限时的极限Øsymsum(f,k,m,n) — 求求级数级数7/16 例例5.绘绘函数函数 的图形的图形,并分别计算并分别计算 一阶和二阶导数一阶和二阶导数syms xf=3*x^2+6*x-1;g=x^2+x-3;R=f/g;ezplot(R,[-10,10])R1=diff(R,x);simplify(R1)[f1,g1]=numden(R1)R2=diff(R,x,2);simplify(R2)[f2,g2]=numden(R2)8/16 X=double(solve(f1,x));X = -1.4648 -3.8685例例6. 求例求例5中函数的极值点与拐点中函数的极值点与拐点x1=X(1);x2=X(2);y1=subs(R,x,x1);y2=subs(R,x,x2); ezplot(R,[-10,10]),hold onplot(x1,y1,'ro',x2,y2,'ro')9/16极值点极值点分布分布 XX=double(solve(f2))XX = -5.2635 -1.3682 - 0.8511i -1.3682 + 0.8511ix0=XX(1)y0=subs(R,x,x0)ezplot(R,[-10,10]),hold onplot(x0,y0,'ro')求例求例5 5中函数的拐点中函数的拐点10/16拐点分布拐点分布 例例7. 计算不定积分计算不定积分syms a b xf=exp(a*x)*sin(b*x); int(f,x);pretty(ans)11/16 b exp(a x) cos(b x) a exp(a x) sin(b x) - ------------------------ + ----------------------- 2 2 2 2 a + b a + bg=simplify(ans) g = exp(a*x)*(-b*cos(b*x)+a*sin(b*x))/(a^2+b^2) S2=symsum(k^2,k,1,n); factor(S2) ans = 1/6*n*(n+1)*(2*n+1)例例8.计算级数计算级数syms k nS1=symsum(k,k,1,n);factor(S1) ans = 1/2*n*(n+1)S3=symsum(1/k^2,k,1,inf) S3= 1/6*pi^212/16 taylor(f,n,x) —n-1次麦克劳林多项式展开次麦克劳林多项式展开taylor(f,n,x,a) —a点的点的n-1次泰勒多项式展开次泰勒多项式展开. 例例9. 麦克劳林展开函数麦克劳林展开函数syms xf=1/(5+4*cos(x))T=taylor(f,8)Pretty(T) 2 4 49 6 1/9 + 2/81 x + 5/1458 x + --------- x 13122013/16 命令格式命令格式：：dsolve(‘eq1’,···,’con1’,···,’x’)y的一阶导数的一阶导数—— Dy, y的二阶导数的二阶导数—— D2y例例10.解微分方程解微分方程14/16y = dsolve('Dy=1/(1+x^2)-2*y^2','y(0) = 0','x')y = 2*x/(2*x^2+2)符号解符号解：： y(x)= x / (1 + x 2) 练习题与思考题练习题与思考题15/161.用用MATLAB求极限求极限2.用用MATLAB求导数求导数3.用用MATLAB求定求定积分积分4.用用MATLAB求求级数和级数和 5.计算曲线段计算曲线段 f(x)=exp(a x)sin(b x), 绕绕X轴旋转的旋转曲面面积轴旋转的旋转曲面面积6. 编写一个函数文件，用于计算椭圆周长，要求输编写一个函数文件，用于计算椭圆周长，要求输入变量是椭圆的长半轴和短半轴。
入变量是椭圆的长半轴和短半轴7. 符号变量与数值型变量有何区别？符号变量与数值型变量有何区别？8. 用两个窗口绘下列函数图形用两个窗口绘下列函数图形,分析函数性质分析函数性质16/16 。
