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与圆有关的计算导学案 基础知识 知识点一、弧长的计算公式 1． 圆周长公式：C＝2πr 或 C＝πD． 2. 弧长公式：在半径为 r 的圆中，n°圆心角所对的弧长计算公式：1802360rnrnl. 知识点二、扇形及其面积计算 1. 扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形叫做扇形． 扇形的周长：扇形的周长等于弧长与两条半径的长之和． 2. 圆面积公式：2rS圆（r 为圆的半径）． 3. 扇形的面积计算公式： ①36036022rnrnS扇形，其中 r 为半径，n 为扇形的圆心角度数. ②lrS21扇形，其中为扇形的弧长，r 为半径． 知识点三、圆锥的侧面积和全面积 1. 圆锥的侧面展开图：沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平，其侧面展开图是一个扇形，这个立体图形转化为平面图形的过程中，有三个不变的关系，需要关注： ① 扇形的半径等于圆锥的母线长； ② 扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长； ③ 扇形的面积等于圆锥的侧面积． 2. 圆锥的表面积：设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l， 则它的侧面积lrrlS221侧 全面积分别为2rlrSSS底侧全． 典型例题解析 例 1. （广元）半径为 R，圆心角为 300°的扇形的周长为（ ） A.253R B.53R C.(513)R D.(523)R 答案：D 解析：本题考查了扇形弧长的计算，解题的关键是掌握扇形的弧长公式．根据扇形的圆心角 和半径大小求出弧长，再加上 两条半径得周长. 故选择 D .  1510180n，解得n＝120，故该圆锥的侧面展开图的圆心角是 120 度．故选择 A． 例 5．(南充) 如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是( ) A．25π2 B．13π C．25π D．25 2 例 6 （牡丹江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=23， 则阴影S =（ ） A．π B． 2π C．332 D．32 答案： D 解析：本题考查了了垂径定理、扇形面积的计算，解题的关键是图形的转化．连接 OD、BC 容易发现 BC∥OD， 例 7. （吉林）如图，将半径为 3 的圆形纸片，按下列顺序折叠，若⌒AB和⌒BC都经过圆心O， 则阴影部分的面积是 (结果保留 π). 例 8. (襄阳) 如图，在正方形ABCD中，AD＝2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处.再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG． (1)求证：EF∥CG； (2)求点C，点A在旋转过程中形成的⌒AC，⌒AG与线段CG所围成的阴影部分的面积． 答案 (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，   ＝425(或410)． 巩固训练 1. （自贡）一个扇形的半径为 8cm，弧长为163cm，则扇形的圆心角为（ ） A．60 B．120 C．150 D．180 2（内蒙古）如图，三个小正方形的边长都为 1，则图中阴影部分面积的和是（ ） A．34 B．38 C．32 D．316 3. （黄冈）已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为（ ） A．π B．4π C．π或 4π D．2π或 4π 4. （辽宁）用圆心角为 120°，半径为 6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（ ） A．2 cm B．3 2cm C．4 2cm D．4cm 5. （莱芜） 如图，AB为半圆的直径， 且AB＝4,半圆绕点B顺时针旋转 45°， 点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（ ） A.  B. 2 C. 2 D. 4  6. （郴州） 圆锥的全面积为 10cm2， 底面圆的半径为 2cm， 则这个圆锥的母线长为 cm 7.（威海）如图，⊙A与⊙B外切于⊙O的圆心O，⊙O的半径为 1，则阴影部分的面积是______________． 8. （杭州）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是 . 9. （福州）如图，由 7 个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点成为格点．已知每个正六边形的边长为 1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是____________． 10. （吉林）图①是电子屏幕的局部示意图，4×4 网格的每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形顶点叫做格点，点A，B，C，D在格点上，光点P从AD的中点出发，按图②的程序移动. (1)请在图①中用圆规画出光点P经过的路径； (2)在图①中，所画图形是 图形(填“轴对称”或“中心对称”)，所画图形的周长是 (结果保留 π).  (图①) (图②) 11. （本溪）如图，己知在 Rt△ABC 中，∠B=30°， ∠ACB=90°．延长 CA 到 O，使 AO=AC ，以 O 为圆心 OA 为半径作⊙O 交 BA 延长线于点 D，连接 CD. (1） 求证：CD 也是⊙O 的切线： (2）若 AB=4，求图中阴影部分的面积． 中考预测 1. 已知圆锥的母线长为 3，底面的半径为 2，则圆锥的侧面积是( ) A．4π B．6π C．10π D．12π 2. 如图，用两根等长的金属丝， 各自首尾相接， 分别围成正方形ABCD和扇形A1D1C1，使A1D1 = AD，D1C1 = DC，正方形面积为P，扇形面积为Q，那么P和Q的关系是（ ） A．P＜Q B．P = Q C．P＞Q D．无法确定  3.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为( ) A．256π B．2562π C．2566π D．2568π 4.如图，正六边形ABCDEF是边长为 2cm 的螺母，点P是FA延长线上的点，在A、P之间拉一条长为 12cm 的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上（缠绕时螺母不动），则点P运动的路径长为（ ） A．13πcm B．14πcm C．15πcm D．16πcm 5. 用一个圆心角为 120°，半径为 3 的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的侧面积为 . 6. 如图，在□ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙A相交于点F．若EF的长为2，则图中阴影部分的面积为 ．  7. 如图所示，有一直径是2米的圆形铁皮,现从中剪出一个圆周角是90的最大扇形ABC.则(1)AB的长为 米； (2)用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为 米. 8. 如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为 90°的扇形DEF，点C恰在EF上，则图中阴影部分的面积为 . 9. 如图，在边长为 1 的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中 A(5,4),B(1,3)，将△AOB绕点O逆时针旋转 90°后得到△A1OB1. （1）画出△A1OB1； （2）在旋转过程中点B所经过的路径长为________； （3）求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和. （第 9 题图）  10. 如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为 D，AD交⊙O于E，连接CE。

（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若E是AC的中点，⊙O的半径为 1，求图中阴影部分的面积 。