水面折射成的像在哪里.docx

水面折射成的像在哪里？平静水面下的发光点射向水面的光，经水面折射后的光线的反向 延长线并不相交于一点因此，严格地讲，平静水面下的发光点不会 因水面处的光的折射而成像然而，在实际中却又实实在在地能够观 察到一个因光在水面处发生折射而成的虚像仔细观察还会发现，虚 像的位置还会随观察角度而改变为什么会这样呢？像的位置又是如 何随观察角度而改变的呢？本文利用光的折射定律简要地探讨这一 问题之所以会实实在在地看到一个虚像，主要是由于人的瞳孔很小和 人眼的分辨率不高造成的因为瞳孔很小，所以由发光点射出的经水 面折射后进入人眼的折射光束的张角很小；因为张角很小，所以这一 束折射光线的反向延长线的交点所组成的区域很小（这一点可从本文 中的（9）、（10）两式看出）；由于人眼的分辨率不高，因此看起来这 一束折射光线好像是从一个点射出来的下面再来看看虚像的位置随观察角度改变的规律为简明起见，—H）,由S射到水面的光线SA的入射角为a ; AB为SA的折射光 线，折射角为B现若逆着折射光线AB看发光点S,则其视位置或 者说虚像的位置在哪里呢？设入射角为（a + Aa）的入射光线SA,的折射光线A, B,（其对 应的折射角为（p+AP））射入了瞳孔，则A，B，与AB的反向延长线的 交点S，即为所看到的虚像所在的位置。

由几何知识不难得出，上图中A、C、A,、C，四点的坐标依次为tg a H， 0 )、( 0， — tgac tgP H)、 [ tg(a + Aa) H， 0] 和 [0 ，tg（a + Aa）ctgP+AP）H］，其中C、C，分别为AB与A，B，的反向延长线(1)(2)(3)与 Y 轴的交点a= tg a Hb=— tgactgP Hc=tg(a + Aa) Hd=— tg(a +Aa)ctg(P +AP)H(4)则AB、A，B，所在的直线的方程分别为y = _ b X+bay = _ dX+dc联立（5）、（6）两式即可得S，的坐标(5)(6)x=(d - b)acad - bc y= (a - c)bdad - bc(7)(8)(9)x=[堆(a+Aa)+爲為)-cggpctg p ]Hy=爲爲)-為 ctgP 陀(P+AP)H(10)又・・・ n sin a = sin P （ n 为水相对于空气的折射率）・：P是a的函数，且Aa T0时Aa = cos P AP n cos a(11)tg (a + Aa) - tga sin 2 p cos Pctg (卩 + Ap)-ctgP(12)ncos3 a将上式代入（9）、（10）两式，整理可得AaT0时x=(n2 - 1)tg3aH =(n2 - 1)sin3 P H(n2 -sin2 P)2(13)3y=— (1 -n2 sin2a)2 h=— n2 cos3 p hncos3a 3(n2 -sin2 P)2(14)上式即逆着折射光线AB所看到的虚像的位置，也即虚像的位置随观察角度改变的规律。

由上述的推导过程不难看出，将（13）、（14 ）两式中的n改为发光点所在介质相对于观察者所在介质的相对折射率，即可得一般情形下平整界面折射成像的位置结果讨论：1）、若两种介质的相对折射率为1，则上述两式不难看出发光点的视位置与发光点的实际位置相同，且不随观察角度而改变这显然是光沿直线传播的必然结果2) 、由于水相对于空气的折射率n〉1,故由(14)式不难看出，在观察的角度由与水面垂直逐渐向与水面平行趋近的过程中，入 射角«由0逐渐向arcsin1趋近，观察到的虚像的位置逐渐升高并且渐 n渐趋近水面，即y由一H逐渐向0趋近；再结合(13)式可知，在发 n光点的右上方观察时，观察到的虚像的位置在发光点的右上方，并且 在观察的角度由与水面垂直逐渐向与水面平行趋近时的过程中， x 由 0逐渐向(n2 -1)-1H趋近这一结论可用实验来验证，验证时可借助 水面反射成像的特点确定折射成像的位置若仅需定性的验证，那只 需取一大满盆水，从各个角度观察一下即可实际观测时，还会观察 到色散现象3) 、由于空气相对于水的折射率n VI，故由(13)、(14)两 式可知，若在水面下观察水面上右上方的发光点(即在发光点的左下 方观察发光点)时，则观察到的虚像的位置在发光点的右上方，且在 观察角度由与水面垂直向与水面成(90°- arcsin n )角趋近的过程中，虚 像的位置由在发光点的正上方向发光点的右上方的无穷远处趋近。

4) 、因为将n=-1代入光的折射定律的数学表达式中，即可得 光的反射定律，所以若将n =-1代入上述两式，应当即可得平面镜 成像的规律事实上将n =-1代入上述两式，确实当即可得平面镜 成像的规律后记： 大学毕业后第二年在教学中就遇到要画水面折射成像光路图的 问题，虽然只是要画草图，但画时总觉得心里很没底，于是决定认真 分析一下折射成像问题列出方程后发现计算量很大，耐着性子求解， 导出了结论后结合实际观察的现象想想，特别是将n二土 1代入公式讨 论后才敢肯定最终的结果没有问题到深圳后，有一次逛书城，因为 大学所用的光学教材弄丢了，就买了一本华东师大编的《光学教程》 （第三版）翻阅此书，无意中发现书中也有有关平面折射成像的分 析乍一看，书中的结论与我所导出的结论好像有点不一样难道我 弄错了？仔细看了其推导过程后才发现，尽管书中所用的方法与我当 初所用的方法有点不同，但所导出的结论实质上却是一样的，只是因 为所采用的符号的含义有点不同才最终导致结果在形式上有点不同 而已书中的分析很简洁，在导出相关的公式后也没有对公式进行讨 论也许正是因为有的师范类教材与我读书时所用的教材一样没有导 出水面折射成像公式，或者即使有介绍，也像华东师大版那样没有相 关的讨论或者说拓展等原因，许多中学物理教师、习题资料、甚至有 的教学参考书在画相关的光路图时都很随意，有的甚至画错讲错。

虽 然在实际画水面折射成像的光路图时不要求也几乎不可能严格作图， 但出现原则上的错误仍是不应该的实际作图中如何避免犯原则上的 错误呢？作图时可先按文中的讨论大致确定像点，然后再由像点确定 折射光线及其反向沿长线这样画，不仅避免了原则性的错误，而且 画出来的图也特别简洁明了最近在翻阅希尔伯特与康福森所著的《直观几何》（王联芳译 江 泽涵校，高等教育出版社）第一章附录时，突然感觉本文中所用到的 确定像点位置的分析方法也可用在书中所谈的“圆锥曲线的垂足点作 图”之中拿直线上的垂足点作图一试，果然很容易就得到了一条抛 物线当然要导出求解一般曲线上的垂足点作图的微分方程，则不是 那么容易。