数列通项公式的完整求法-还有例题详解(共13页).doc

精选优质文档-----倾情为你奉上一． 观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2）（3）（4）解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为： （2） （3） （4）.点评：关键是找出各项与项数n的关系 二、公式法：当已知条件中有a和s的递推关系时，往往利用公式：a＝来求数列的通项公式例1： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；解：(1)∵a 1=f (d－1) = (d－2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，∴d=2，∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q－1)=(q－2)2，∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴bn=bqn－1=4(－2)n－1例2. 等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（ ）(A) (B) (C) (D) 解析：设等差数列的公差位d，由已知，解得，又是递减数列， ∴ ，，∴ ，故选(D)。

例3. 已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式解析：由题意，，又是等比数列，公比为∴，故数列是等比数列，，∴ 点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比例4: 已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？【解析】： ， ， ，又， .反思：利用相关数列与的关系：,与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.跟踪训练1.已知数列的前项和，满足关系.试证数列是等比数列.例5：已知数列前n项的和为s＝a－3，求这个数列的通项公式分析：用a替换s-s(n2)得到数列项与项的递推关系来求解： a=a-3, a=6 s＝a－3 （nN） ① s＝a－3 (n2且nN) ②① － ②得：a＝a－a a＝a，即＝3(n2且nN)数列是以a=6，公比q为3的等比数列. a＝aq＝63＝23例6：已知正项数列中，s＝（a+），求数列的通项公式.分析：用s-s(n2)替换a得到数列与的递推关系来求较易解 s＝（a+），a=( a+) a=1又a＝ s－s (n2且nN) s＝（s－s＋） 2s＝s－s＋ s＋s＝ s－s＝1 (n2且nN)数列是以a=1为首项，公差为1的等差数列。

s＝1＋（n－1）1＝n，即s＝，当n2时，s－s＝a＝－将n＝1代入上式得a＝－练习：数列前n项和为，已知＝5－3（）,求三.累加法：求形如=＋f(n)的递推数列的通项公式的基本方法其中f(n)能求前n 项和即可）利用求通项公式的方法称为累加法累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（可求前项和）.例1.已知数列中，,求这个数列的通项公式分析：由已知，得，注意到数列的递推公式的形式与等差数列的递推公式类似，因而，可累加法求数列的通项解：数列中，，可得：以上各式相加， 将n＝1代入上式得练习：已知数列中，，求例2：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项解 易知∵ ……各式相加得∴点评：一般地，对于型如类的通项公式，只要能进行求和，则宜采用此方法求解例3. 若在数列中，，，求通项解析：由得，所以，，…，，将以上各式相加得：，又所以 =例4 已知无穷数列的的通项公式是，若数列满足，，求数列的通项公式.【解析】：,,=1+++=.反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为.跟踪训练3.已知,,求数列通项公式.3.累乘法：求形如=的递推数列通项公式的基本方法其中可求前n项积即可）。

利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 的递推数列通项公式的基本方法(数列可求前项积).例1.若满足求这个数列的通项公式分析：由知数列不是等比数列，但其递推公式的形式与等比数列递推公式类似，因而，可累加法求数列的通项解： 以上各式相乘得： 将n＝1代入上式得变式练习：设是首项为1的正数组成的数列，且，则它的通项公式为　　　　．例2：在数列｛｝中， =1, (n+1)=n，求的表达式解：由(n+1)=n得，=…= 所以例3 已知数列中，，前项和与的关系是 ，试求通项公式解析：首先由易求的递推公式：将上面n—1个等式相乘得：点评：一般地，对于型如=(n)类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法例四 已知,,求数列通项公式.【解析】：,,又有=1=,当时，满足，.反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为.跟踪训练4.已知数列满足,.则的通项公式是.4.构造新数列：通过变换递推关系，可将非等差数列或等比数列转化为等差或等比数列而求得通项公式的方法待定系数法)例题5：已知数列中满足，,求数列的通项公式分析：将一阶线性递推关系形如可转化为的一个新的等比数列或消常数项转化为的一个等比数列。

解法1：数列中，　（n） 数列是以首项，公比为2的等比数列　　解法2：数列中，　　　　① 　　　　　　　　　　　　②　　　　②－①得　　　　　又 数列是以首项公比为2的等比数列 ，（再利用累加法可求数列的通项公式，以下解法略）可求得（倒数法）例题6:已知数列中满足，，求数列的通项.分析：可将形如一阶分式递推公式,(A、B、C为满足条件的常数)，等式两边取倒数得：,又可利用求形如(A’、B’为常数)的方法来求数列的通项 解：数列 中， ， ，即 数列是以公差为3的等差数列. 变式练习：知数列中满足，，求数列的通项.例题7：已知数列中满足，,求数列的通项公式分析：形如递推公式可转化为，若令，则转化为形如的方法来求数列的通项提示：将转化为，解法略) 另外，数列通项求法还有数学归纳猜想法，可以先求出数列的前n项，然后观察前n项的规律，再进行归纳、猜想出通项，最后予以证明，例如：数列满足a1=4，=4－（n≥2），求 （理科要求，解略）；还有对数变换法，例如：形如可转化为问题解决；当然还有特征方程法等等六、待定系数法： 例10：设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn解：设 例11. 已知数列中，，，其中b是与n无关的常数，且。

求出用n和b表示的an的关系式解析：递推公式一定可表示为的形式由待定系数法知： 故数列是首项为，公比为的等比数列，故点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列为等差数列：则，（b、ｃ为常数），若数列为等比数列，则，七、辅助数列法例12：已知数的递推关系为，且求通项解：∵ ∴令则辅助数列是公比为2的等比数列∴即 ∴例13：在数列中，，，，求解析：在两边减去，得∴ 是以为首项，以为公比的等比数列，∴，由累加法得= =…=== 例14： 已知数列｛｝中且（），，求数列的通项公式解：∵∴ ， 设，则故｛｝是以为首项，1为公差的等差数列 ∴ ∴点评：这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式五 构造新数列: 类型1 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解例1:已知数列满足，，求解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即 所以，类型2 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解例2:已知数列满足，，求解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，例3:已知， ，求。

解： 变式:（2004，全国I,）已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项 解：由已知，得，用此式减去已知式，得当时，，即，又，，将以上n个式子相乘，得类型3 （其中p，q均为常数，）解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解例4:已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.变式:（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_______________（key:）类型4 （其中p，q均为常数，） （或,其中p，q, r均为常数） 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决例5:已知数列中，,，求解：在两边乘以得：令，则,解之得：所以类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）解 (特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。

例6: 数列：， ,求解（特征根法）：的特征方程是：又由，于是 故练习:已知数列中，,,，求变式:（2006，福建,文,22）已知数列满足求数列的通项公式；（I）解： 类型6 递推公式为与的关系式或)解法：利用与消去 或与消去进行求解例7：数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.解：（1）由得：于是所以.（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以归纳法：专心---专注---专业。