复杂流体力学第二章.ppt

第二章 场论和张量初步§2－1 矢量和标量的区别一、概念的区别在选定测量单位以后，仅需用数字表示大小的量叫标量； 在选定测量单位后，除用数字表示其大小外，还需用一定的方向才能说 明性质，叫矢量 二、运算法则区别 标量运算服从代数运算法则 矢量的运算要遵循平行四边形法则或三角形法则矢量常用带有箭头 的直线段表示线段的长度代表矢量大小，箭头代表矢量的方向 三、正负号区别 矢量正负号：在选定一个正方向的前提下，矢量的正负号实质上表示矢 量的方向若矢量为正，表示该矢量跟选定正方向相同；矢量为负表示 跟选定正方向相反 标量正负号：虽然标量无方向，但有的标量也存在正、负号问题标 量常见的有以下几种类型： ①表示相对零点大小的正负号，如重力势能、电势能、电势、分子势能、 摄氏温度等这些物理量，它们的正负号，常表示大小的意义 ②表示相反的物理过程的正负号，例如功、热量、动能增量、势能增量、 内能增量和机械能增量等过程物理量，它们的正负号就表示某一物理过程 ，即能量增加（或减小）过程 ③表示物体特性的正负号，如电量、透镜焦距、像距等物理量的正负号， 表示物体的特性如电量q>0表示带正电，否则带负电；f>0表示该镜是凸 透镜，否则是凹透镜；像距v>0，表示成实像，否则成虚像。

四、矢量表达式与标量表达式的区别 矢量可采用有向线段、文字、单位矢量、分量表示等多种方式来描述 在标量表达式如动能定理、机械能守恒、功能关系、透镜成像公式等中， 计算时只需直接将物理量即大小及正负号代入公式计算即可 五、矢量的运算2．数量积标量3．矢量积大小其矢量表达式方向用右手规则确定1．求和与差作图法 遵循平行四边形法则和 分量法§2－2 场的定义、分类及几何表示一、场的定义设在空间的某个区域内定义标量函数或矢量函数，则称定义在此空 间区域内的函数为场二、场的分类1、根据所定义的函数标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述， 则该标量函数定出标量场例如物理系统中的温度、压力、密度等 可以用标量场来表示矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢 量函数定出矢量场例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示2、根据场内同一时刻各点函数值是否相等均匀场：定常场：非均匀场：3、根据场内函数值是否依赖于时间非定常场： 三、场的几何表示1、标量场的几何表示 空间内标量值相等的点集合形成的曲面称为等值面 其特点：（1）疏密程度看出标量函数的变 化状况，靠得近的地方函数变化 得快。

2）函数值的改变主要在等值面的法线方向，沿等值面的切线方向移动 时函数值并不改变大小和方向随空间坐标而变的场大小和方向与坐标无关的场被称为均匀场等温线温度云图2、矢量场的几何表示用一些有向曲线来形象表示矢量在空间的分布，称为 矢量线§2－3 梯度――标量场不均匀性的度量一、方向导数 给定一标量场 在某一固定时刻t＝t0研究标量场M1MM’ns过M点可以作无穷多个方向，每个方向 都有对应的方向导数，且都可以用过M 点的等位面法线方向n上的方向导数 及方向n，s来表示我们不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率（即偏导数），而且还要设法求 得函数在其他特定方向上的变化率而方向导数就是函数在其他特定方向上的 变化率证明：过M点作等位面M1MM’ns由此可证，二、梯度大小为 方向为n的矢量称为标量函数的梯度梯度描写了M点邻域内函数的变化状况，是标量场不均匀性的 量度在直角坐标系中的表达式为：三、梯度的主要性质1、梯度描写了场内任一点M邻域内函数的变化状况，它是 标量场不均匀性的量度；2、梯度的方向与等位面的法线方向重合，且指向函数增大的 方向，大小是n方向上的方向导数 ；3、梯度矢量在任一方向s上的投影等于该方向的方向导数；4、梯度的方向，即等位面的法线方向是函数变化最快的方向。

定理1 梯度 满足关系式反之，若 ，则a必为 定理2 若 ，且 矢径r的单值函数，则沿 任一封闭曲线L的线积分满足关系式反之，若矢量a沿任一封闭曲线L的线积分， 则a必 为某一标量函数的梯度，即例 题:计算仅与矢径大小r有关的标量函数 的梯度 1)利用性质,标量函数 的等位面是以坐标原点为心的 球面，而球面的法线方向，即矢径r的方向，故 的方 向就是矢径r的方向；其次 的大小是于是(2)表示成分量形式：因故于是(3)利用定理1，微分即于是根据定理1可推出——位势场 ——位势函数§2－3矢量a通过S的通量•矢量a的散 度•奥高定理一、通量an代表矢量a在法线方向的投影矢量a通过面积元dS的通量矢量a通过S面的通量通量，是表示物质分子移动量的大小，指某种物质在每秒内通过每平方厘米的假 想平面的摩尔或毫尔数。

定义面积矢量dS是大小为dS，方向为法线正方向n的量当S是封闭曲面时，矢量a通过S面的通量在场内任取一点M，以体积V包之，若V的界面为S，则――奥高定理的微分形式 Gauss公式此极限存在，定义为矢量a的散度散度是一个不依赖于坐标系选取的数量，其为一个标量 二、散度散度（divergence）可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上 ，散度的意义是场的有源性当div F>0 ，表示该点有散发通量的正源（ 发散源）；当div F<0 表示该点有吸收通量的负源（洞或汇）；当div F=0 ，表示该点无源三、奥高定理――散度在直角坐标系中的表达式这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα、cosβ、cosγ是Σ 上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦高斯定理：设空间闭区域Ω是分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数 P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有利用奥高定理，则有因体积分中的被积函数是连续的，根据中值公式，上式可 改写为当V向M点收缩时，Q点最后与M重合，――奥高定理的积分形式四、无源场及其性质diva＝0的矢量场称为无源场或管式场1、无源矢量a经过矢量管任一截面上的通量保持同一数值。

2、矢量管不能在场内发生或终止一般说来它只可能伸延至 无穷， 达到区域的边界上或自成封闭管路3、无源矢量a经过张于一已知周线L的所有曲面S上的通量均 相等，亦即此通量只依赖于周线而与所张曲面的形状无关§2－6矢量a沿回线的环量. 矢量a的 旋度. 斯托克斯定理一、环量 给定一矢量场a(r,t)，在场内取任意一曲线L，作线积分若是封闭曲线，则可表示为：称之为矢量a沿曲线L的环量环量（circulation）是流体的速度沿着一 条闭曲线的路径积分，通常用Γ来表示 绝参冯潮清 赵愉深 何浩法,矢量与张量分析,国防工业出版社,1986 年12月第1版二、旋度设M是场内一点，在M点附近取无限小封闭回线L，取定某一 方向为L的正方向 设张于周线L上的曲面是S，作S的法线方向n，其根据L的正方 向及右手螺旋定则来确定——矢量a的旋度矢量rota在n方向的投影三、斯托克斯公式斯托克斯公式（定理）：设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线， Σ是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与Σ的外侧符 合右手规则，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在包含曲面Σ在 内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有利用中值公式，有四、无旋场及其性质1、定义rota＝0的矢量场称为无旋场。

2、性质 无旋场和位势场(有势场)的等价性，即若a是位势场，则a必为无旋场，rota＝0反之，若rota＝0，则 3、证明设 ，则即反之，设rota＝0，则由斯托克斯公式有其中L是任意封闭周界，于是矢量a沿任意封闭回线L的线 积分为零，根据1.3中定理2可得§2－7 基本运算公式一、拉普拉斯算子二、哈密顿算子一个具有矢量和微分双重性质的符号，一方面它是一个矢量 ，另一方面它是一个微分算子，但必须是对其右边的量发生 微分作用§2－8 张量初步一、迪卡尔张量 (1)标量是只有数值大小而无方向的量，只需用一个实数来表示 (2)矢量则是既有大小，又有方向的量，（在三维空间中）有 三个分量，需要用三个实数来表示 (3)比标量和矢量更复杂的量，称为张量 在三维空间中，r阶张量具有3r个分量零阶张量（即标量）有30=1个分量； 一阶张量（即矢量）有31=3个分量； 二阶张量有32=9个分量； 三阶张量有33=27个分量； 在n维空间中，r阶张量具有nr个分量张起的平行四边形或平行六面体的对角线才能表示的量，所以叫做张量只不 过矢量是一阶张量，我们习惯上仍称之为矢量或向量，而通常把二阶张量及三 阶以上的高阶张量才称之为张量。

定义：在三维空间中，二阶迪卡尔张量A是由32个分量Aij组 成的量§2－9 张量表示法在张量表示法中，将坐标改写成x1，x2，x3一、指标记法把i，j，k分别写成i1，i2，i3，则的张量表示法为二、求和约定及哑标——略去了求和记号Σ求和约定：若某个指标在某一项中重复出现，而且仅重复出现 一次，则该项代表一个和式，按重复指标的取值范围求和 爱因斯坦） 例：哑标：表示求和的重复指标而哑标采用什么字母来表示对 结果没有影响例如：i是哑标，j不是哑标三、自由指标设有方程组自由指标：凡不属于哑标的指标在同一方程中，每一项的 自由指标必须相同例如：——没有意义四、克罗尼克尔符号(1)(2)(3)(4)(5) 五、置换符号（1）置换符号eijk的定义eijk共代表27个量，其中21个为零ijk123（2）置换符号eijk的作用利用置换符号eijk可将两矢量的矢积A×B表示成简单的分量形式 六、指标记法的运算特点(1)求和：凡自由指标完全相同的项才能相加（或减）——无意义(2)代入：(3)乘积：(4)因子分解：nj作为公因子提出来ni写成δijnj一、迪卡尔张量的代数运算 1、张量的和 定义：两个r阶张量的和仍是r阶张量，其分量是原来两张量 分量之和。

2、对称张量和反对称张量 设Tij为二阶张量，若Tij＝Tji，则称该张量为对称张量；若 Tij＝－Tji，则称该张量为反对称张量3、张量和矩阵矩阵与张量有许多相似的性 质，张量的一些运算法则可 通过矩阵来表示§2－10 张量运算4、张量的外积定义：一个r阶张量和一个s阶张量的外积是一个r+s阶张量 ，其分量由原来两个张量的各个分量的乘积组成5、张量的缩并 定义：使r（≥2）阶张量分量的两个指标相同，并对该重 复指标求和，这种运算称为缩并若将r（≥2）阶张量进行一次缩并，结果仍是张量，但将为 r-2阶张量的缩并可反复进行，直到运算结果降为一阶张量 （矢量）或零阶张量（标量）6、张量的内积定义：两个张量的内积就是将两个张量的外积进行缩并 如二阶张量Cij和Dmn，它们可构成四种内积，即7、对称张量场反对称张量场关于前两个指标对称二、迪卡尔张量的微分1、张量场标量场或矢量场由给定区域的点组成，并且在每一点上有 该标量或矢量的对应值 温度分布T(x1，x2，x3)是标量场（通常称为温度场）速度分布v(x1，x2，x3)是矢量场（通常称为速度场 ）任何一个r≥2的r阶张量均可分解为一个对称张量和一个反 对称张量之和。

应变率张量：描述变形的特征量给定区域的每一点上定义一个张量，就是张量场应力分布σ(x1，x2，x3)便是二阶张量场标量场和矢量场分别为零阶和一阶张量场2、张量场的表示方法标量场φ可写成φ(xk)或φ(xk，t) 矢量场A可写成Ai(xk)或Ai(xk，t) 二阶张阶张 量场。