小学奥数-几何五大模型(燕尾模型).doc

燕尾定理例题精讲燕尾定理：在三角形 ABC 中， AD ， BE ， CF 相交于同一点 O ，那么，S ABO :S ACO BD : DCAEFOB D C上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为 ABO 和 ACO 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径 .通过一道例题 证明燕尾定理：如右图， D 是 BC 上任意一点，请你说明： S1 : S4 S2 : S3 BD : DCAS2E S3S1S4BCD【解析】 三角形 BED 与三角形 CED 同高，分别以 BD 、 DC 为底，所以有S1:S4 BD:DC ；三角形 ABE 与三角形 EBD 同高， S1 : S2ED:EA；三角形 ACE 与三角形 CED 同高， S4 : S3ED :EA，所以 S1 :S4S2 :S3；综上可得， S1 :S4 S2 :S3 BD :DC .精选.【例 1】 （ 2009 年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是 1 ，是AC的中点，点D在BCE上，且 BD : DC1: 2 ， AD 与 BE 交于点 F ．则四边形 DFEC 的面积等于．AAA33EEF23FB1CBDD C【解析】 方法一：连接 CF ，EFB CD根据燕尾定理，S△ ABFBD1， S△ABFAE1,S△ ACFDC2S△ CBFEC设 S△ BDF1 份，则 S△ DCF2 份， S△ ABF3 份， S△ AEFS△ EFC 3 份，如图所标所以 SDCEF55S△ ABC1212方法二：连接 DE ，由题目条件可得到S△ ABD1 S△ ABC1 ，33S△ ADE1 S△ ADC12 S△ ABC1 ，所以 BFS△ ABD1 ，2233FES△ ADE1S△ DEF1S△ DEB11S△BEC111S△ ABC1 ，22323212而 S△ CDE21S△ ABC1 ．所以则四边形DFEC 的面积等于5 ．32312【巩固】如图，已知BDDC，EC2AE ，三角形ABC 的面积是 30，求阴影部分面积 .AAAEEEFFFB D C B D C B D C【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积 . 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，(法一 )连接 CF ，因为 BD DC ， EC2 AE ，三角形 ABC 的面积是 30，所以 S△ ABE110， S△ ABD115 ．S△ ABCS△ ABC32S△ ABFAE1S△ ABFBD根据燕尾定理，EC，S△ ACF1 ,S△ CBF2CD所以 S△ ABF1 S△ ABC7.5 ， S△ BFD157.57.5 ，4所以阴影部分面积是30107.512.5．(法二 )连接 DE ，由题目条件可得到S△ ABE1S△ ABC 10 ，311210 ，所以AFS△ ABE1S△ BDES△ BECS△ ABCFDS△ BDE，22311S△ DEA11S△ ADC111S△ ABC2.5 ，S△ DEF232322精选.而 S△ CDE2110 ．所以阴影部分的面积为12.5．3S△ ABC2【巩固】 如图，三角形 ABC 的面积是200 cm2 ，E在 AC 上，点 D在 BC上，且 AE :EC3:5 ,BD :DC2:3 ，AD与BE交于点 F ．则四边形 DFEC 的面积等于．AAAEFEFEFBBCBCDCDD【解析】 连接 CF ，根据燕尾定理，S△ ABFBD26 ， S△ABFAE36,S△ ACFDC39S△CBFEC510设 S△ ABF6 份，则 S△ ACF9 份, S△BCF10 份， S△ EFC93545 份， S△ CDF1036份，所5823以 SDCFE200(6910)( 456) 8( 456)93 (cm 2 )88【巩固】如图，已知 BD3DC ，EC2 AE ，BE 与 CD 相交于点 O ,则 △ABC 被分成的4部分面积各占 △ ABC面积的几分之几？AA1E91EOO 2213.54.5BDCB3D1 C【解析】 连接 CO ,设 S△ AEO1 份，则其他部分的面积如图所示，所以S△ ABC1 2 918 30 份，所以四部分按从小到大各占△ABC 面积的 1 , 24.513,93 ,13.5930306030103020【巩固】 ( 2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在 △ ABC 中，11CPCB，CQCA， BQ 与 AP相交于点 X ，若 △ ABC 的面积为6，则 △ABX 的面积等于23．CCCQ1PPP4X 41XXABABAB【解析】 方法一：连接PQ ．由于 CP112SV ABC ， SV BPQ11．CB，CQCA ，所。