第四节 电位移 有电介质时的高斯定理.docx

8-4 电位移 有电介质时的高斯定理在高斯面内不仅会有自由电荷，而且还会有极化电荷这时，高斯定理应有些什么变化呢？我们仍以在平行平板电容器中充满各向同性的均匀电介质为例来进行讨论在如下图所示的 情形中，取一闭合的正柱面作为高斯面，高斯面的两端面与极板平行，其中一个端面在电介质内， 端面的面积为S设极板上的自由电荷面密度为b 0，电介质表面上的极化电荷面密度为b'由高斯定理，有008-12)式中°和°'分别为Qo =boS和Q' = bS我们不希望在式（8-12）中出现极化电荷，利用前节讨论的结果，我们可以计算出Q0 - g Qo/ 88-13)把它代入（8-12）有E - dS = —8 80r现在不妨，令i 8 8 E ・ dS = Q0 r 0 s8-14)D = 8 8 E =8E0r8-15)其中 808r =8 叫做电介质的电容率那么式（8-14）可写成D・dS=Q08-16)if》（dS式中D称作电位移，而 D'd则是通过任意闭合曲面S的电位移通量D的单位为C ・ m -2讨论：证明:Q -Q'二群关于° £r的证明电介质中的电场强度 E 应为考虑到E'的方向与E0的方向相反，以及E与疋'的关系式（8-9），可得电介质中电场强度E的 值为E=E -E因为从而可得由于Q0 =O0SQ’=O’S ，故上式亦可写成£ -1E' = G‘/£ E =G / £0 ， 0 0 0f £ — 1O’ = r O£0rQ，匚Q£0rQ - Q’ = Q0£有r式（8-16）虽是从平行板电容器得出的，但可以证明在一般情况下它也是正确的。

故 电介质时的高斯定理可叙述如下：在静电场中，通过任意闭合曲面的电位移通量等于该闭合曲面内所包围的自由电荷的代数 和，其数学表达式为8-17)fD-dS =Z Q0is i =1可以看出，电位移通量只和自由电荷联系在一起电位移矢量D，电场强度E和电极化强度P之间的关系为8-18)讨论：E、D和P之间的关系下面简述一下电介质中电场强度E，电极化强度P和电位移D之间关系设平板电容器两极板间充满了相对电容率为£ r的均匀电介质，在电介质中，极化电荷面密度为L，由极化电荷产生的电场强度介质中的电场强度实验证实E = — E£0r由式（2），式（ 3 ）得E , = £r-—1E£0r将式（1）代入式（4）并利用P = b'（1）（ 2 ）（ 3 ）（ 4）可得电介质中电极化强度P与电场强度E之间的关系为P = G‘ =（£ — 1）£ Er0写成矢量有P=（£r —1）£0E （5）电位移矢量的定义式D=£ £ E0 r （ 6 ）由式（ 5）和式（ 6），可得D = P + £ E0 该式虽然是从各向同性电介质的情形得到的，但无论是各向同性的或是各向异性的电介质都适 用也就是说，在一般情况下，D是两个矢量之和。

可见，D是在考虑了电介质极化这个因 素的情形下，被用来简化对电场规律的表述而设定的一、例题 1例1 把一块相对电容率£r = 3的电介质，放在极板间相距d = 1mm的平行平板电容器的两极之间放入之前，两极板的电势差是1000V试求两极板间电介质内的电场强度E，电极化强度P，极板和电介质的电荷面密度，电介质内的电位移D解 放入电介质前，电容器中的电场强度为E = = V - m -i = 103 kV - m -10 d 10-3放入电介质后，由式（8-9）知电介质中的电场强度为E 10 6E = —o = V - m-i = 3.33 x 102kV - m-1£ 3r由式 8-15 可得电介质中的电位移为D = ££ E = £ E =Q = 8.85x 10-6C-m-20 r 0 0 0由式 8-18 可得电介质的电极化强度为P = D-£ E = 5.89x 10-6C • m-20 无论两极板间是否放入电介质，两极板自由电荷面密度的值为q0 = £0E0 = 8.85 x 10T2 x 106C • m-2 = 8.85 x 10-6C • m-2由式（8-11），电介质中极化电荷面密度的值为q ' = P = 5.89 x 10-6 C • m-2二、例题2一平行平板电容器充满两层厚度为〃1和〃2的电介质（图示），它们的相对电容率分别为£「1和£ r2，极板面积为S。

求（1）电容器的电容；（2）当极板上的自由电荷密度的值为Q 0时， 两介质分界面上的极化电荷面密度解 （1）设两极板上电荷面密度分别为+ Q 0和-Q 0，两电介质中的电场强度分别为E1和E2S在图中，选上、下底面积为 1的正柱面为高斯面，上底面在导体极板内，下底面在相对电容率 为* r1的电介质内，侧面的法线与电场强度E1垂直柱面内自由电荷为Q0 =Q 0 S1根据电介质 中的高斯定理，有I D • dS =q S01得D=qa 0—880 rl两极板的电势差为由电容定义，此电容器的电容为E=2880 r2a 0—880 r2a=-0 （-1 +8r1d ）8r2Q zd d= 百（厂+ 曰8 S 8 80 r1 r 2C = Q0 =U880 rl r28 d + 8 dr1 2 r2 12）由式（8-11），（8-18），可得分界面处第一层电介质的极化电荷面密度为（8--1） a0T1—8rl8由式（8-15）可得相对电容率为rl的电介质中的电场强度为E亠l 8 80 rl仿此可得第二层电介质的极化电荷面密度为三、例题3（8 - 1）a0rz8r2求充有介质的圆柱形电容器的电容常用的圆柱形电容器，是由半径为R1的长直圆柱导体和同轴的半径为R2的薄导体圆筒组成, 并在直导体与圆筒之间充以相对电容率为 8r 的电介质（ 图示）。

设直导体和圆筒单位长度上 的电荷分别为+九和-九求（1）电介质中的电场强度、电位移和极化强度；（2）电介质内、 外表面的极化电荷面密度；（3）此圆柱形电容器的电容解 （ 1 ）由于电荷分布是均匀对称的，所以电介质中的电场也是柱对称的，电场强度的方 向沿柱面的径矢方向作一与圆柱导体同轴的柱形高斯面，其半径为r（Ri< r < R2）、长为1因 为电介质中的电位移D与柱形高斯面的两底面的法线垂直，所以通过这两底面的电位移通量为 零 根据电介质中的高斯定理，有* D -岀即 D2nrl = Xls，得九2nr由已=D /£o£r，得电介质中的电场强度为(R < r < R )121）入2n£ £ r0r电介质中的极化强度为P = D-£ E =(£r _ D 九0 2ne rr2）由式（1）可知电介质两表面处的电场强度分别为入2n£ £ R0 r 1入2n£ £ R0 r 2(r = R2)-1)入2n£ Rr1所以，电介质两表面极化电荷面密度（参阅第 8-4节）的值分别为G，=(£ - 1)£ E =(£1 r 0 1 rg' =(£2r-1)£ E = (£0 2 r-1)入2n£ Rdr - [ R= In 2r 2n£ £ R0 r 1r23）由式（1）可得圆柱形电容器两极间电势差为U = J E - dr 小 2 -R 2n£ £1 0 r把式（2）代入电容器电容定义，可得圆柱形电容器的电容为小 Q 九l 2ns e lC — — —U 九 I R ln(R / R )ln 2 2 i2ne e R0 r i单位长度的电容为C 2ns e— ^-r l ln(R /R )2i由前面已知，真空圆柱形电容器的单位长度电容为2 n0—ln(R /R )21两式相比较，可见C =£ r C 0。

四、思考题1. 一般情况下D、E、p分别由什么决定？2. 已知介质中的 D、 E ，如何确定介质表面的极化电荷？。