(完整版)平面向量数量积运算专题(附答案解析).pdf

平面向量数量积运算 题型一 平面向量数量积的基本运算 例 1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD的边长为 2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若AE→·AF→＝1，则λ的值为________. (2)已知圆O的半径为 1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么PA→·PB→的最小值为( ) A.－4＋2 B.－3＋2 C.－4＋22 D.－3＋22 变式训练 1 (2015·湖北)已知向量OA→⊥AB→，|OA→|＝3，则OA→·OB→＝________. 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例 2 (1)(2015·重庆)若非零向量a，b满足|a|＝223|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π (2)若平面向量a与平面向量b的夹角等于π3，|a|＝2，|b|＝3，则 2a－b与a＋2b的夹角的余弦值等于( ) A.126 B.－126 C.112 D.－112 变式训练 2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO→＝12(AB→＋AC→)，则AB→ 与AC→的夹角为________. 题型三 利用数量积求向量的模 例 3 (1)已知平面向量a和b， |a|＝1， |b|＝2， 且a与b的夹角为 120°， 则|2a＋b|等于( ) A.2 B.4 C.25 D.6 (2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC， ∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA→＋3PB→|的最小值为________. 变式训练 3 (2015·浙江)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝12.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________. 高考题型精练 1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a，∠ABC＝60°，则BD→·CD→等于( ) A.－32a2 B.－34a2 C.34a2 D.32a2  2.(2014·浙江)记 max{x，y}＝ x，x≥y，y，x|a－b|，此时，|a＋b|2>|a|2＋|b|2；当a，b夹角为钝角时，|a＋b|<|a－b|，此时，|a－b|2>|a|2＋|b|2；当a⊥b时，|a＋b|2＝|a－b|2＝|a|2＋|b|2，故选 D. 3.(2015·湖南)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1 上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|PA→＋PB→＋PC→|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9  答案 B 解析 ∵A，B，C在圆x2＋y2＝1 上，且AB⊥BC， ∴AC为圆直径，故PA→＋PC→＝2PO→＝(－4,0)，设B(x，y)，则x2＋y2＝1 且x∈[－1,1]，PB→＝(x－2，y)， ∴PA→＋PB→＋PC→＝(x－6，y).故|PA→＋PB→＋PC→|＝－12x＋37，∴x＝－1 时有最大值49＝7，故选 B. 4.如图，在等腰直角△ABO中，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，设OA→＝a，OB→＝b，OP→＝p，则p·(b－a)等于( ) A.－12 B.12 C.－32 D.32 答案 A 解析 以OA，OB所在直线分别作为x轴，y轴， O为坐标原点建立平面直角坐标系， 则A(1,0)，B(0,1)，C(34，14)， 直线l的方程为y－14＝x－34， 即x－y－12＝0. 设P(x，x－12)，则p＝(x，x－12)，  而b－a＝(－1,1)， 所以p·(b－a)＝－x＋(x－12)＝－12. 5.在平面上，AB1→⊥AB2→，|OB1→|＝|OB2→|＝1，AP→＝AB1→＋AB2→.若|OP→|<12，则|OA→|的取值范围是( ) A.(0，52] B.(52，72] C.(52，2] D.(72，2] 答案 D 解析 由题意，知B1，B2在以O为圆心的单位圆上，点P在以O为圆心，12为半径的圆的内部. 又AB1→⊥AB2→，AP→＝AB1→＋AB2→， 所以点A在以B1B2为直径的圆上， 当P与O点重合时，|OA→|取得最大值2， 当P在半径为12的圆周上时，|OA→|取得最小值72， 故选 D. 6.如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°且AC＝BC＝4，点M满足BM→＝3MA→，则CM→·CB→等于( ) A.2 B.3 C.4 D.6  答案 C 解析 在△ABC中，因为∠ACB＝90°且AC＝BC＝4，所以AB＝42，且B＝A＝45°.因为BM→＝3MA→，所以BM→＝34BA→.所以CM→·CB→＝(CB→＋BM→)·CB→＝CB→2＋BM→·CB→＝CB→2＋34BA→·CB→＝16＋34×42×4cos 135°＝4. 7.(2014·安徽)设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成.若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为( ) A.2π3 B.π3 C.π6 D.0 答案 B 解析 设a与b的夹角为θ， 由于xi，yi(i＝1,2,3,4)均由2个a和2个b排列而成， 记S＝i＝14 (xi·yi)，则S有以下三种情况： ①S＝2a2＋2b2；②S＝4a·b；③S＝|a|2＋2a·b＋|b|2. ∵|b|＝2|a|，∴①中S＝10|a|2，②中S＝8|a|2cos θ，③中S＝5|a|2＋4|a|2cos θ. 易知②最小，即 8|a|2cos θ＝4|a|2，∴cos θ＝12，可求θ＝π3，故选 B. 8.(2014·江苏)如图， 在平行四边形ABCD中， 已知AB＝8，AD＝5，CP→＝3PD→，AP→·BP→＝2，则AB→·AD→的值是________. 答案 22 解析 由CP→＝3PD→， 得DP→＝14DC→＝14AB→，AP→＝AD→＋DP→＝AD→＋14AB→，BP→＝AP→－AB→＝AD→＋14AB→ －AB→＝AD→－34AB→.因为AP→·BP→＝2， 所以(AD→＋14AB→)·(AD→－34AB→)＝2， 即AD→2－12AD→·AB→－316AB→2＝2.又因为AD→2＝25，AB→2＝64，所以AB→·AD→＝22. 9.设非零向量a，b的夹角为θ，记f(a，b)＝acos θ－bsin θ.若e1，e2均为单位向量，且e1·e2＝32，则向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为________. 答案 π2 解析 由e1·e2＝32，可得 cos〈e1，e2〉＝e1·e2|e1||e2|＝32， 故〈e1，e2〉＝π6， 〈e2，－e1〉＝π－〈e2，e1〉＝5π6. f(e1，e2)＝e1cos π6－e2sin π6＝32e1－12e2， f(e2，－e1)＝e2cos 5π6－(－e1)sin 5π6＝12e1－32e2. f(e1，e2)·f(e2，－e1)＝(32e1－12e2)·(12e1－32e2)＝32－e1·e2＝0， 所以f(e1，e2)⊥f(e2，－e1). 故向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为π2. 10.如图， 在△ABC中，O为BC中点， 若AB＝1，AC＝3，〈AB→，AC→〉 ＝60°， 则|OA→|＝________. 答案 132 解析 因为〈AB→，AC→〉＝60°，所以AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|cos 60°＝1×3×12＝32，又AO→＝ 12(AB→＋AC→)，所以AO→2＝14(AB→＋AC→)2＝14(AB→2＋2AB→·AC→＋AC→2)，即AO→2＝14(1＋3＋9)＝134，所以|OA→|＝132. 11.已知向量a＝(sin x，34)，b＝(cos x，－1). (1)当a∥b时，求 cos2x－sin 2x的值； (2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b， 已知在△ABC中， 内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若a＝3，b＝2，sin B＝63，求f(x)＋4cos(2A＋π6)(x∈[0，π3])的取值范围. 解 (1)因为a∥b，所以34cos x＋sin x＝0. 所以 tan x＝－34. 故 cos2x－sin 2x＝cos2x－2sin xcos xsin2x＋cos2x ＝1－2tan x1＋tan2x＝85. (2)f(x)＝2(a＋b)·b ＝2(sin x＋cos x，－14)·(cos x，－1) ＝sin 2x＋cos 2x＋32 ＝2sin(2x＋π4)＋32. 由正弦定理，得asin A＝bsin B， 所以 sin A＝asin Bb＝3×632＝22.  所以A＝π4或A＝3π4.因为b>a，所以A＝π4. 所以f(x)＋4cos(2A＋π6)＝2sin(2x＋π4)－12. 因为x∈[0，π3]，所以 2x＋π4∈[π4，11π12]. 所以32－1≤f(x)＋4cos(2A＋π6)≤2－12. 所以f(x)＋4cos(2A＋π6)的取值范围为[32－1，2－12]. 12.在△ABC中，AC＝10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD＝5，且满足AD→＝511DB→. (1)求|AB→－AC→|； (2)存在实数t≥1，使得向量x＝AB→＋tAC→，y＝tAB→＋AC→，令k＝x·y，求k的最小值. 解 (1)由AD→＝511DB→，且A，B，D三点共线， 可知|AD→|＝511|DB→|.又AD＝5，所以DB＝11. 在 Rt△ADC中，CD2＝AC2－AD2＝75， 在 Rt△BDC中，BC2＝DB2＋CD2＝196， 所以BC＝14. 所以|AB→－AC→|＝|CB→|＝14. (2)由(1)，知|AB→|＝16，|AC→|＝10，|BC→|＝14. 由余弦定理，得 cos A＝102＋162－1422×10×16＝12. 由x＝AB→＋tAC→，y＝tAB→＋AC→， 知k＝x·y ＝(AB→＋tAC→)·(tAB→＋AC→)  ＝t|AB→|2＋(t2＋1)AC→·AB→＋t|AC→|2 ＝256t＋(t2＋1)×16×10×12＋100t ＝80t2＋356t＋80. 由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增， 所以当t＝1 时，k取得最小值 516. 。