第六届全国大学生数学竞赛非数学类试题.docx

    第六届全国大学生数学竞赛非数学类试题    第六届全国大学生数学竞赛非数学类试题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2014年全国大学生数学竞赛预赛试题非数学类一、 填空题(共有5小题，每题6分，共30分)1. 已知x e y =1和x xe y =1是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是____________________________________2. 设有曲面222:y x z S +=和平面022:=++z y x L 则与L 平行的S 的切平面方程是_______________________________3. 设函数)(x y y =由方程?-??? ??=x y dt t x 124sin π所确定求==0x dx dy _______________ 4. 设∑=+=n k n k k x 1)!1(则=∞→n n x lim ______________________ 5. 已知310)(1lim e x x f x xx =??? ??++→。

则=→20)(lim x x f x ____________________二、 （本题12分）设n 为正整数，计算?-??? ??=121ln cos πn e dx x dx d I 三、 （本题14分）设函数)(x f 在]1,0[上有二阶导数，且有正常数B A ,使得B x f ≤|)("|证明：对任意]1,0[∈x ，有22|)('|B A x f +≤四、 （本题14分）（1）设一球缺高为h ，所在球半径为R 证明该球缺体积为2)3(3h h R -π球冠面积为Rh π2；（2）设球体12)1()1()1(222≤-+-+-z y x 被平面6:=++z y x P 所截得小球缺为Ω，记球冠为∑，方向指向球外求第二型曲面积分??∑++=zdxdy ydzdx xdydz I五、 （本题15分）设f 在],[b a 上非负连续，严格单增，且存在],[b a x n ∈，使得?-=b a n n n dx x f ab x f )]([1)]([求n n x ∞→lim六、 （本题15分）设2222221n n n n n n n A n ++++++=Λ求??? ??-∞→n n A n 4lim π  -全文完-。