2017-2018学年高中数学第一章坐标系本讲知识归纳与达标验收教学案新人教A版选修4-4.pdf

第一章坐标系【本讲知识归纳与达标验收对应学生用书P13 考情分析通过对近几年新课标区高考试题的分析可知，高考对本讲的考查集在考查极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等 . 预计今后的高考中，仍以考查圆、直线的极坐标方程为主. 真题体验1. （安徽高考）在极坐标系中，圆p = 2cos 0的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）A. 0= 0（p? R）和p cos 0 = 2 n 十B. 0= 2（P ? R）和P cos 0 = 2 n c. 0 =2（p ? R）和P cos 0 = 1 D. 0 = 0（p? R）和p cos 0 = 1 . . 2 2 解析：由题意可知，圆p = 2cos 0可化为普通方程为（x 1） + y = 1.所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x= 0 和x= 2, 再将两条切线方程化为极坐n 标方程分别为0 = （p ? R?和p cos 0 = 2，故选 B.答案： Bn 2. （安徽高考）在极坐标系中，圆p = 4sin 0的圆心到直线0 =6（p ? R）的距离是2x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为_ . 2 解析：T p = 2sin 0 + 4cos 0， p = 2 p sin 0 + 4 p cos 0 ,2 2 2 2 ? x + y = 2y + 4x, 即卩x + y 4x 2y= 0.答案：x2+ y2 4x 2y = 0.高频土 例析对应学生用书P13用解析法解决几何问题利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴（对称中心）正好是坐标系中的x轴，y轴（坐标原点）. 坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单. 例 1已知正三角形ABC的边长为a, 在平面上求一点P, 使|PA2+ |PB2+ | P（f2最 小，并求出此最小值 . x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图, y 一a 2+ a a，当且仅当x= 0, y=-a时，等号成立 . a2, 此时P点的坐标为P0, fa，即为正三角形ABC的中心 .解以BC所在直线为B 2, 2 设P(x, y)，则 I PA + 0丿, 股，0丿n 2 _ 2 2 j 3 I PB +1 PC = x + iy- 亍aj + +刃+y + j-2)+y2=3x2+ 3y2 3ay + 罟=3x2+ 3 y?所求的最小值为3平面直角坐标系中的伸缩变换4x，=入? x 入0 设点P(x, y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换0 :, 门y = ? y 卩U 的作用下，点P(x, y)对应点P (x , y )，称0为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换. x = 2x例 2在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换， 后，曲线C变为曲线y = 2y(x 5)2+ (y + 6)2= 1, 求曲线C的方程，并判断其形状. J 八 ? 2 2解 将 , 代入(x 5) + (y + 6) = 1 中, y = 2y 得(2x 5)2+ (2y + 6)2= 1. 5 o 1 化简，得(X+ (y+ 3)= 4.该曲线是以(|, 3)为圆心，半径为2 的圆.LIU极坐标方程在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F( P , 0 ) = 0如果曲线C是由极坐标(P , 0 )满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F( P , 0 )=0 为曲线C的极坐标方程 . 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程. 求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标P, 0的关系 . 1 例 3 ABC底边BC= 10,/ A= 2/ B,以B为极点，BC为极轴，建立极坐标系，求顶点A的轨迹的极坐标方程. 解如图：令A p , 0 ), 0 ABC内，设 / B=0,/ Ap, 又 | BQ = 10, | AB = p .510 . 30 0 、丨I n 2sin 化简，得A点轨迹的极坐标方程为p = 10 + 20cos 0 .极坐标与直角坐标的互化“* 1系下取相同的单位长度. y代替较为方便，常常两端同乘以p即可达到目的，但要注意变形的等价性. 例 4(天津高考)在以O为极点的极坐标系中，圆p = 4sin 0和直线p sin 0 = a相交于A, B两点. 若 AOB是等边三角形，则a的值为解析 由于圆和直线的直角坐标方程分别为x2+ y2= 4y和y= a,它们相交于A, 点， AOB为等边三角形，所以不妨取直线OB的方程为y= 3x, 联立去y, 得x = . ：3x，解得x=g3 或x = 0, 所以y=“.：3x= 3，即a= 3.答案 3 例 5在极坐标系中，点M坐标是 (2 , y), 曲线C的方程为p = 2 2sin( 0 +专)；极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线I经过点M和极点 . 写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程 ; 直线l和曲线C相交于两点A、B, 求线段AB的长 . n 解(1) ?直线l过点M2 , )和极点 , 由正弦定理，得互化的前提依x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标直角坐标方程化极坐标方程可直接将x= p cos0 , y=p sin 0代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为p cos 0 , p sin 0的整体形式，然后用X, ? 2 | 2x + y = 4y, y = . 3x,互化公式为6?直线l的直角坐标方程是0 =亍p ? R). ynp= 2 2sin( 0 + )即p = 2(sin 0 + cos 0 ), 两边同乘以p得p = 2( p sin 0 + p cos 0 ), ?曲线C的直角坐标方程为x2+ y2 2x 2y= 0.(2)点M的直角坐标为 (1 , 3)，直线l过点M和原点，?直线l的直角坐标方程为y= 3x.曲线C的圆心坐标为 (1,1)，半径r = 2，圆心到直线I的距离为d = ? | AB|=.3 + 1. 阶段貝艺检测对应学生用书P35 (时间： 90 分钟，总分120 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题5 分，满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 点M的极坐标为 (1 , n )，则它的直角坐标是()A. (1,0) B. ( 1,0) C. (0,1) D. (0， 1) 解析：x = 1 X cos n = 1 , y = 1 X sin n = 0, 即直角坐标是(一 1,0). 答案： Bn 2. 已知曲线C的极坐标方程p = 2cos 20 , 给定两点P(0 , 亍) ，Q2 , n )，则有()A. P在曲线C上, Q不在曲线C上B. P、Q都不在曲线C上C. P不在曲线C上，Q在曲线C上7D. P、Q都在曲线C上n , 解析：当0 =时，p = 2cos n = 2 工 0, 故点P不在曲线上；当0 = n时，p =82cos 2 n = 2，故点Q在曲线上 . 答案： C3. 点P的柱坐标为 |16, -3, 5，则其直角坐标为()A.( 5, 8, 83) B.( 8, 8 3, 5) C.( 8 3，8，5) D.( 4, 8 3，5) n 解析：T p = 16, 0 = , z = 5, x= p cos 0 = 8, y = p sin 0 = 8 3, z= 5, ?点P的直角坐标是 (8,8 3, 5). 答案： B4. 在同一坐标系中，将曲线y = 2sin 3 x变为曲线y= sin x的伸缩变换是（）x = 3x =3xA. J1 ,B,1y=2y-=2yC.x= 3x D.-=3xy= 2y fy=2y入xx=3x, 答案： BA. 1 个C. 4 个D.无数个解析：由极坐标的定义易知有无数个. 解析：将y代入y= sin x, y得卩y= sin 即y Jsin 入x, 1 与y= 2sin 3 x 比较，得 = ?, =3, 即变换公式为1 = 2y. 5 . 曲线p = 5 与0=n的交点的极坐标写法可以有B. 2 个9答案： D6. 在极坐标系中，过点A（6 , n ）作圆p = 4cos 0的切线，则切线长为（）1 0A. 2 C. 2 3 D. 2 15 解析：圆P =- 4cos 0化为（x + 2）2+ y2= 4，点（6 , n ）化为（一 6,0 ），所以切线长 = 42- 22= 12= 2 3.答案： C一 1 7. 极坐标方程p = cos 0与p cos 0 =二的图形是（）1 1 解析：把p cos 0 = 2 化为直角坐标方程，得x= 2 , 把p = cos 0代为直角坐标方程，得X2+ y2-x= 0, 即其圆心为 , 0，半径为2，故选项 B 正确. 答案： B一n2 &极坐标方程0 =亍，0 = 3 n （p 0）和p = 4 所表示的曲线围成的图形面积是（）A 16 A?亍n4 C?3n解析：三条曲线围成一个扇形, 2 n n n 半径为 4，圆心角为 - =-.B. 6 8 BPn2 D. 1 1答案： B?扇形面积为: 1 n-X4X X 4 = 2 3 1 2n 9?在极坐标系中，曲线p = 4sin（0 -3）关于（）A.线0=宁轴对称B.线0 轴对称3 6 n C. （2 , -3）中心对称D.极点中心对称解析：n 5 n 5 n p = 4sin( 0 3 )可化为p = 4cos( 0 )，可知此曲线是以 (2 , )为圆心的圆，故圆关于0 =鉴对称 . 6 答案： B10. 在极坐标系中有如下三个结论：点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线Cn 的极坐标方程； tan 0 = 1 与0 =表示同一条曲线； p = 3 与p = 3 表示同一条曲线. 在这三个结论中正确的是（）A.B.C.D解析：在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，曲线上所有点的坐标不一定适合方程，故是错误的；tan 0 = 1 不仅表示0 =子这条射线，41 3它的球坐标为j6, 3, 3 .解析：由直线I的方程可知直线I过点（1,0）且与极轴垂直，设A 是点A关于I的对称点，贝U 四边OBA A是正方形， / BOA =才，且OA答案： 2 2, n 14. _ 从极点作圆p = 2acos 0的弦，则各条弦中点的轨迹方程为_ . 解析：数形结合，易知所求轨迹是以a, 0 为圆心，专为半径的圆，求得方程是p = acos 2 12十宀 n n 答案：p = acos 0 i w 0 w 三、解答题（本大题共 4 个小题，满分50 分?解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. （本小题满分 12 分）（ 辽宁高考改编）将圆x2+ y2= 1 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2 倍，得曲线C设直线l : 2x + y 2= 0 与C的交点为P , R,以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.tan 9= 3 3，9213. 在极坐标系中，点A2, 于关于直线I : p cos 0 = 1 的对称点的一个极坐标为=2 2，故 A的解析 : cos9答案: 1 4解：设(X1, yi)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x, y)，依题意，得 %1，|Y = 2yi. 2 即曲线C的方程为X2+鲁=1.不妨设P(1,0) , F2(O,2) ，则线段RF2的中点坐标为弓, 1，所求直线斜率为k=, 于化为极坐标方程，并整理得2 p cos 0 4 p sin 0 = 3, n . 16. (本小题满分12 分)极坐标方程p = 2cos 0与p cos( 0 + y) = 1 表示的两个图形的位置关系是什么。