高等数学上（修订版）黄立宏（复旦出版社） 习题三答案详解.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑高等数学上（修订版）黄立宏（复旦出版社） 习题三答案详解 高等数学上（修订版）黄立宏（复旦出版社） 习题三答案详解 1． 确定以下函数的单调区间： (1) y?2x3?6x2?18x?7； 解：所给函数在定义域(??,??)内连续、可导，且 y??6x2?12x?18?6(x?1)(x?3) 可得函数的两个驻点：x1??1,x2?3,在(??,?1),(?1,3),(3,??)内，y?分别取+，–，+号，故知函数在(??,?1],[3,??)内单调增加，在[?1,3]内单调裁减. (2) y?2x?8x (x?0)； 8x2解: 函数有一个休止点x?0在定义域外，在定义域内四处可导，且y??2?，那么函数 有驻点x?2，在片面区间(0,2]内，y??0；在[2,??)内y?>0，故知函数在[2,??)内单调增加，而在(0,2]内单调裁减. (3) y?ln(x?1?x)； 解: 函数定义域为(??,??)，y??11?x22?0,故函数在(??,??)上单调增加. (4) y?(x?1)(x?1)； 解: 函数定义域为(??,??),y??2(x?1)(2x?1)，那么函数有驻点: x??1,x?11(??,]内， y??0，函数单调裁减；在[,??)内， y??0，函数单调增加. 222312,在 (5) y?xen?x (n?0,n?0)； n?1解: 函数定义域为[0,??)，y??nxe?x?xen?x?e?xxn?1(n?x) 函数的驻点为x?0,x?n,在[0,n]上y??0，函数单调增加；在[n,??]上y??0，函数单 66 调裁减. (6) y?x?sin2x； 解: 函数定义域为(??,??), ?x?sin2x, x?[nπ,nπ?πy???], n?Z,?2?π ??x?sin2x, x?[nπ?2,nπ], n?Z.1) 当x?[nπ,nπ?π2]时， y??1?2cos2x，那么 y??0?cos2x??12?x?[nπ,nπ?π3]； y??0?cos2x??π2?x?[nπ?π3,nπ?π2]. 2) 当x?[nπ?π2,nπ]时， y??1?2cos2x，那么 y??0?cos2x?1ππ2?x?[nπ?2,nπ?6] y??0?cos2x?12?x?[nπ?π6,nπ]. 综上所述，函数单调增加区间为[kπ2,kπ2?π3] (k?z)，函数单调裁减区间为[kππkππ2?3,2?2] (k?z). (7) y?(x?2)5(2x?1)4. 解: 函数定义域为(??,??). y??5(x?2)4(2x?1)4?4(x?2)5(2x?1)3?2?(2x?1)3(18x?11)(x?2)4 函数驻点为x11??2,x112?18,x3?2, 在(??,?12]内， y??0,函数单调增加， 在[?12,1118]上， y??0,函数单调裁减， 在[11,2]上， y?18?0,函数单调增加， 在[2,??)内， y??0,函数单调增加. 67 111111故函数的单调区间为: (??,?]，[?,]，[,??). 2218182. 证明以下不等式: π(1) 当0?x?时， sinx?tanx?2x; 2证明: 令f(x)?sinx?tanx?2x,那么f?(x)?π(1?cosx)(cosx?cosx?1)cosx22, 当0?x?2即sin2x?tanx?2x. 时， f?(x)?0,f(x)为严格单调增加的函数，故f(x)?f(0)?0, (2) 当0?x?1时， e?x?sinx?1?x22. 证明: 令f(x)=e?x?sinx?1?x22,那么f?(x)=?e?x?cosx?x, ?x?xf??(x)=e?sinx?1?e?(sinx?1)?0,那么f?(x)为严格单调裁减的函数,故 f?(x)?f?(0)?0,即f(x)为严格单调裁减的函数,从而f(x)?x2f(0?),即 e?x?sinx?1?2. 3. 试证:方程sinx?x只有一个实根. 证明:设f(x)?sinx?x，那么f(x)?cosx1??0,因此f(x)f(x)为严格单调裁减的函数， 至多只有一个实根.而f(0)?0，即x?0为f(x)的一个实根，故f(x)只有一个实根x?0，也就是sinx?x只有一个实根. 4. 求以下函数的极值: (1) y?x?2x?3； 解: y??2x?2,令y??0，得驻点x?1. 又因y???2?0，故x?1为微小值点，且微小值为y(1)?2. (2) y?2x?3x； 解: y??6x?6x,令y??0，得驻点x1?0,x2?1, y???12x?6,y??x?0?0,y??x?1?0, 2322故极大值为y(0)?0，微小值为y(1)??1. 68 (3) y?2x3?6x2?18x?7； 解: y??6x2?12x?18?6(x?3)(x?1), 令y??0，得驻点x1??1,x2?3. y???12x?12,y??x??1?0,y??x?3?0, 故极大值为y(?1)?17，微小值为y(3)??47. (4) y?x?ln(1?x)； 解: y??1?1(1?x)211?x?0，令y??0，得驻点x?0. y???,y??x?0?0,故y(0)?0为极大值. (5) y??x4?2x2； 解: y???4x3?4x?4x(1?x2)， 令y??0，得驻点x1??1,x2?0,x3?1. y????12x?4, y??x??1?0,y??x?0?0, 2故y(?1)?1为极大值，y(0)?0为微小值. (6) y?x?1?x； 解: y??1?34121?x,令y??0，得驻点x1?334,且在定义域(??,1]内有一不成导点x2?1， 当x?4由于函数定义域为x?1，故x?1不是极值点. 时， y??0;当x?时， y??0,故x1?335为极大值点，且极大值为y()?. 444(7) y?1?3x4?5x2； 解: y??12512?5x(4?5x)23,令y??0，得驻点x?125125. 125110当x?时， y??0；当x?，y??0,故极大值为y()?205. 69 2(8) y?3x?4x?4x2?x?1； 解: y?3?x?1x2?x?1,y???x(x?2)(x2?x?1)2, 令y??0，得驻点x1??2,x2?0. 22y???(?2x?2)(x?x?1)?2(2x?1)(x?2x)(x2?x?1)3 y??x??2?0,y??x?0?0, 故极大值为y(0)?4，微小值为y(?2)?83. (9) y?excosx； 解: y??ex(cosx?sinx), 令y??0，得驻点xk?kπ?π4 (k?0,?1,?2,?). y????2exsinx，y??x?2kπ?π?0,y??x?(2k?1)π?π?0， 44故x2k?2kπ?π4 为极大值点，其对应的极大值为y(x2k)?22e2kπ?π4; 2k?1)π?πx1)π?π42k?1?(2k?4 为微小值点，对应的微小值为y(x2k?1)??22e(. 1(10) y?xx； 1解: y??xx(11lnx)??xx1?lnxxx2, 令y??0，得驻点x?e. 当x?e时， y??0，当x?e时， y??0, 1故极大值为y(e)?ee. (11) y?2ex?e?x； 解: y??2ex?e?x,令y??0，得驻点x??ln22. 70 — 6 —。