随机变量函数的 分布.ppt

概率论与数理统计,§4、随机变量函数的分布,已知随机变量X的分布,现求其连续函数Y=g(X)的 分布.此时,Y也是随机变量.,一、离散型随机变量函数分布列的求法 (同一表格法),设离散型r.v.X的分布律为,则求函数Y=g(X)的分布律的步骤为：,1、求Y的所有可能取值,2、计算Y取各可能值的概率：,概率论与数理统计, 如果Y各可能取值中存在多个值相等,则Y取该 值的概率为这些相等值对应的X取值的概率之和.,例如,当,则, 如果Y各可能取值互异,即 则,概率论与数理统计,离散型随机变量函数概率分布的计算,,,,,概率论与数理统计,【例1】设r.v.X的分布律为:,求X+1,X2-1的分布律.,【解】采用“同一表格法”.,互异,有相等,概率论与数理统计,故X+1分布律为:,X2-1的分布律为:,其中,□,概率论与数理统计,1 、分布函数法(一般情形),设连续型随机变量X的概率密度为 ,为求 Y=g(X)的概率密度 ,先求Y的分布函数,再对y求导数即得 ,其中积分区间是以y的函数 为端点的区间.求导时一般用到变限函数的导数公式.,二、连续型随机变量函数概率密度的求法,一般处理的关键是讨论函数单调性,概率论与数理统计,【解】设Y的分布函数为 ，则,对y求导得：,【例2】,概率论与数理统计,□,特别的,如r.v.X〜N(0,1),则,例14-续1,变限函数导数公式,概率论与数理统计,于是，Y=X2的分布律为,此时，称Y服从自由度为1的χ2-分布.,变限函数求导公式,,概率论与数理统计,【例3】设r.v.X~U(0,1),求Y=eX的概率密度.,【解】因为r.v.X∽U(0,1),所以X的概率密度为：,从而,整个y轴相应地也被分为三部分:,如图, 的非零段将整个x轴分为三部分:,因此,应就y分为上述三个区间来求Y的分布函数.,(-∞,0),[0,1),[1,+ ∞);,(-∞,1),[1,e),[e,+ ∞).,概率论与数理统计,(1) 当y1时,再分为两种情形:,(a) 当y≤0时,,(b) 当0 y1时,,概率论与数理统计,(2) 当1≤ye时,,(3) 当y≥e时,,概率论与数理统计,综上所述得Y的分布函数为:,求导得Y的概率密度为:,□,概率论与数理统计,2、 公式法(y=g(x)为单调可导函数),定理 设连续型随机变量X的概率密度为,又函数 处处可导且有恒有,则 是连续型随机变量，其概率密度为,其中,证明此略,为 的反函数。

概率论与数理统计,若 只在有限区间 上不为零，则只需,假设在 上恒有 ，此时,因此，当随机变量函数是单调函数时，可直接 利用上述公式求概率密度函数；当随机变量函数不 是单调函数时，应利用分布函数来求概率密度概率论与数理统计,设r.v.X~U(0,1),求Y=eX的概率密度.,【解】因为r.v.X∽U(0,1),所以X的概率密度为：,此时，,由公式得：,□,【例5】,概率论与数理统计,【例6】,【证】因为r.v.X∽N(μ,σ2),所以X的概率密度为：,设r.v.X~N(μ,σ2),则Y=aX+b(a≠0)也服从正态分布而y=g(x)=ax+b单调可导，且有：,由公式得Y=aX+b的概率密度为：,概率论与数理统计,即,即有：Y=aX+b∽N( aμ+b,(aσ)2).,□,上述结果表明：正态分布的线性函数仍为正态 分布。