新教材苏教版数学必修第一册课时检测-3.2.1-3.2.2-基本不等式的证明-基本不等式的应用-含解析.doc

课时跟踪检测（九）课时跟踪检测（九） 基本不等式的证明基本不等式的证明 基本不等式的应用基本不等式的应用 A 级级 基础巩固基础巩固 1设设 a，b 为正数为正数，且且 ab4，则下列各式中正确的是则下列各式中正确的是( ) A.1a1b1 B.1a1b1 C.1a1b0，b0，且且1a1b ab，则则 a2b2的最小值为的最小值为( ) A2 B2 2 C4 D4 2 解析：解析：选选 C a0，b0，1a1b ab21ab，ab2，当且仅当当且仅当 ab 2时等号时等号成立成立， a2b22ab4，当且仅当当且仅当 ab 时等号成立时等号成立， 综上综上，a2b2的最小值是的最小值是 4.故选故选 C. 4(多选多选)设设 a，b 是正实数是正实数，则下列各式中成立的是则下列各式中成立的是( ) Aab2 ab Bbaab2 C.a2b2ab2 ab Dab22abab 解析：解析： ABC 由由ab2 ab得得 ab2 ab， 当且仅当当且仅当 ab 时等号成立时等号成立， A 成立；成立； baab2baab2，当且仅当当且仅当 ab 时等号成立时等号成立，B 成立；成立； a2b2ab2abab2 ab，当且仅当且仅当当 ab 时等号成立时等号成立，C 成立；成立； ab22abab（ab）22（ab）0，ab22abab，D 不成立不成立，故选故选 A、B、C. 5(2021 徐州高一月考徐州高一月考)若对若对 x0，y0，有有(x2y) 2x1ym 恒成立恒成立，则则 m 的的取值范取值范围是围是( ) Am4 Bm4 Cm0，y0，得得(x2y) 2x1y24yxxy2424yxxy8，当且当且仅当仅当 2yx 时取等号时取等号，则则 m8，故选故选 D. 6(2021 山东济宁高一月考山东济宁高一月考)中国南宋大数学家秦九韶提出了中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术三斜求积术”，即已知即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为 a，b，c，则三角形的面积则三角形的面积S 可由公式可由公式 S p（pa）（）（pb）（）（pc）求得求得， 其中其中 p 为三角形周长的一半为三角形周长的一半， 这个公式这个公式也被称为海伦也被称为海伦秦九韶公式秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足现有一个三角形的边长满足 a3，bc5，则此三角形面积则此三角形面积的最大值为的最大值为( ) A.32 B3 C. 7 D 11 解析：解析：选选 B 由题意知由题意知，p12(35)4， 则则 S 4（4a）（）（4b）（）（4c）， 4（4b）（）（4c）2 （4b）（）（4c）8(bc)3， 当且仅当当且仅当 4b4c，即即 bc 时等号成立时等号成立 此三角形面积的最大值为此三角形面积的最大值为 3.故选故选 B. 7要制作一个容积为要制作一个容积为 4 m3，高为高为 1 m 的无盖长方体容器已知该容的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每器的底面造价是每平方米平方米 20 元元，侧面侧面造价是每平方米造价是每平方米 10 元元，则该容器的最低总造价是则该容器的最低总造价是_元元 解析：解析：设底面矩形的一边长为设底面矩形的一边长为 x m，由容器的容积为由容器的容积为 4 m3， 高为高为 1 m，得另一边长为得另一边长为4x m. 记容器的总造价为记容器的总造价为 y 元元，则则 y4202 x4x1108020 x4x80202 x4x160， 当且仅当当且仅当 x4x，即即 x2 时时，等号成立等号成立 因此当因此当 x2 时时，y 取得最小值取得最小值 160， 即容器的最低总造价为即容器的最低总造价为 160 元元 答案：答案：160 8若正实数若正实数 a，b，c 满足满足 a23ab4b2c0，则当则当abc取得最大值时取得最大值时，2a1b2c的最大的最大值为值为_ 解析：解析：由条件可得由条件可得 ca23ab4b2，则则abcaba23ab4b21ab34ba， 由由ab34ba4baab324baab31， 当且仅当当且仅当 4baab，即即 a2b 时时，abc有最大值有最大值，此时此时 c2b2，所以所以2a1b2c2b1b2 1b121， 当当 b1 时时，2a1b2c有最大值有最大值 1.所以所以2a1b2c的最大值为的最大值为 1. 答案：答案：1 9设设 a，b，c 都是正数都是正数，试证明不等式：试证明不等式：bcacababc6. 证明：证明：因为因为 a0，b0，c0， 所以所以baab2，caac2，cbbc2， 所以所以 baab caac cbbc6， 当当且仅当且仅当baab，caac，cbbc， 即即 abc 时时，等号成立等号成立 所以所以bcacababc6. 10(1)已知已知 x3，求求 y4x3x 的最大值；的最大值； (2)已知已知 x，y 是正实数是正实数，且且 xy4，求求1x3y的最小值的最小值 解：解：(1)x3，x30， y4x3x4x3(x3)3 43x（3x）32 43x （3x）31， 当且仅当当且仅当43x3x，即即 x1 时取等号时取等号， y 的最大值为的最大值为1. (2)x，y 是正实数是正实数， (xy) 1x3y4 yx3xy42 3. 当且仅当当且仅当yx3xy，即即 x2( 31)，y2(3 3)时取等号时取等号 又又 xy4， 1x3y132， 故故1x3y的最小值为的最小值为 132. B 级级 综合运用综合运用 11(多选多选)下列四个命题中下列四个命题中，是真命题的是是真命题的是( ) AxR R，且且 x0，x1x2 BxR R，使得使得 x212x C若若 x0，y0，则则 x2y222xyxy D若若 x52，则则x24x52x4的最小值为的最小值为 1 解析：解析：选选 BCD 对于对于 A，xR R，且且 x0，x1x2 对对 x0，y0，则则(x2y2)(xy)22xy4xy8x2y2，化为化为 x2y222xyxy，当且仅当当且仅当 xy0 时取等号时取等号，正确；对于正确；对于 D，x24x52x4（x2）212（x2）12 （x2）1x2， 因 为因 为 x52， 所所 以以 x 20.所 以所 以12 （x2）1x212 2（x2）1x21， 当且仅当当且仅当 x21x2， 即即 x3 时取等号 故时取等号 故x24x52x4的最小值为的最小值为 1. 12(2021 无锡市高一月考无锡市高一月考)已知已知 a，b，c 满足当满足当 abc 时时，不等式不等式1ab1bcca0恒成立恒成立，则则 的取值范围是的取值范围是( ) A0 B1 C4 解析：解析：选选 C 由题意知由题意知，原不等式可变形为原不等式可变形为 (ac) 1ab1bc(ab)(bc) 1ab1bc1abbcbcab1， 而而 1abbcbcab14(当且仅当当且仅当(ab)2(bc)2时等号成立时等号成立)，则则 4.故选故选 C. 13(2021 泰州高一月考泰州高一月考)“勾股容方勾股容方”问题出自我国汉代数学名著九章算术问题出自我国汉代数学名著九章算术 ，该问该问题可以被描述为：题可以被描述为：“设一直角三角形设一直角三角形(如图如图)的两直角边长分别为的两直角边长分别为 a 和和 b，求与该直角三角求与该直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长形具有公共直角的内接正方形的边长”，公元公元 263 年年，数学家刘徽为九章算术作注数学家刘徽为九章算术作注，在注中他利用出入相补原理给出了上述问题如图在注中他利用出入相补原理给出了上述问题如图和图和图所示的解答，则图所示的解答，则图中与直角三中与直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长为角形具有公共直角的内接正方形的边长为_，当内接正方形的面积为当内接正方形的面积为 1 时时，则图则图中两个标有中两个标有“朱朱”的三角形和两个标有的三角形和两个标有“青青”的三角形的面积总和的最小值为的三角形的面积总和的最小值为_ 解析：解析：设内接正方形的边长为设内接正方形的边长为 x，则图则图的面积为的面积为 ab，图图的面积为的面积为(ab) x， 因为图因为图和图和图的面积相等的面积相等，则有则有 ab(ab)x，解得解得 xabab，故内接正方形的边长故内接正方形的边长为为abab. 因为内接正方形的面积为因为内接正方形的面积为 1，所以内接正方形的边长所以内接正方形的边长 x1，则有则有 abab， 利用基本不等式可得利用基本不等式可得，abab2 ab，故故 ab4，当且仅当当且仅当 ab2 时取等号时取等号， 所以两个标有所以两个标有“朱朱”的三角形和两个标有的三角形和两个标有“青青”的三角形的面积总和为的三角形的面积总和为 ab22， 故图故图中两个标有中两个标有“朱朱”的三角形和两个标有的三角形和两个标有“青青”的三角形的面积总和的最小值为的三角形的面积总和的最小值为2. 答案：答案：abab 2 14已知已知 a，b 为正实数为正实数，且且1a1b2 2. (1)求求 a2b2的最小值；的最小值； (2)若若(ab)24(ab)3，求求 ab 的值的值 解：解：(1)因为因为 a，b 为正实数为正实数，且且1a1b2 2，所以所以1a1b2 221ab，即即 ab12(当且当且仅当仅当 ab 时等号时等号成立成立) ) 因为因为 a2b22ab2121(当且仅当当且仅当 ab 时等号成立时等号成立)， 所以所以 a2b2的最小值为的最小值为 1. (2)因为因为1a1b2 2， 所以所以 ab2 2ab.因为因为(ab)24(ab)3， 所以所以(ab)24ab4(ab)3，即即(2 2ab)24ab4(ab)3，即即(ab)22ab10，(ab1)20.因为因为 a，b 为正实数为正实数，所以所以 ab1. C 级级 拓展探究拓展探究 15某厂家拟在某厂家拟在 2021 年举行某产品的促销活动年举行某产品的促销活动，经调查经调查，该产品的年销售量该产品的年销售量(即该产品即该产品的年产量的年产量)x(单位：万单位：万件件)与年促销费用与年促销费用 m(m0)(单位：万元单位：万元)满足满足 x3km1(k 为常数为常数)，如果不举行促销活动如果不举行促销活动，该产品的年销售量是该产品的年销售量是 1 万件万件已知已知 2021 年生产该产品的固定投入为年生产该产品的固定投入为8 万元万元， 每生产每生产 1 万件该产品需要再投入万件该产品需要再投入 16 万元万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的平均成本的 1.5 倍倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用不包括促销费用) (1)将将 2021 年该产品的利润年该产品的利润 y(单位：万元单位：万元)表示为年促销费用表示为年促销费用 m 的函数；的函数； (2)该厂家该厂家 2021 年的促销费用为多少万元时年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？厂家的利润最大？ 解：解：(1)由题意由题意，可知当可知当 m0 时时，x1， 13k，解得解得 k2，x32m1， 又每件产品的销售价格为又每件产品的销售价格为 1.5816xx元元， yx 1.5816xx(816xm)48xm 48 32m1m 16m1（m1）29(m0) (2)m0，16m1(m1)2 168， 当且仅当当且仅当16m1m1，即即 m3 时等号成立时等号成立， y82921，ymax21. 故该厂家故该厂家 2021 年的促销费用为年的促销费用为 3 万元时万元时，厂家的利润最大厂家的利润最大，最大利润为最大利润为 21 万元万元 。