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第15讲平面与平面平行的性质o学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的性质，掌握面面平行的性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”“面面”平行的转化.o知识要点：1.面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.用符号语言表示为：://；a,b=a//b.2.其它性质：①：•//一：，1二：£门〃一：；②〉II〔.一一I_一：；③夹在平行平面间的平行线段相等O例题精讲：【例1】如图，设平面a//平面B，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C€a,B、D.求证：MN//a.证明：连接BC,取BC的中点E,分别连接ME、NE，贝UME//AC,：ME//平面a，又NE//BD，•••NE//3，又MEnNE=E，•平面MEN//平面a，•/MN平面MEN，•MN//a.【例2】如图，A，B，C，D四点都在平面：•，1外，它们在：•内的射影几，B!，Ci，行四边形的四个顶点，在呐的射影A2,B2,C2,D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形.证明：TA,B,C,D四点在[内的射影A2,B2,C2,D2在一条直线上，• A,B,C,D四点共面.又A,B,C,D四点在「内的射影Ai,Bi,&,Di是平行四边形的四个顶点，•平面ABBiAi/平面CDDiCi-• AB,CD是平面ABCD与平面ABBiAi,平面CDDiCi的交线.• AB//CD.同理AD//BC.•四边形ABCD是平行四边形.【例3】如图，在正三棱柱ABC—AiBiCi中,E、F、G是侧面对角线上的点，且BE二CF二AG,求证：平面EFG//平面ABC.证明：作EP_BBt于P,连接PF.在正三棱柱ABC—AiBiCi的侧面ABBiAi中，八BEBP易知AB_BBi，又田_BBi,所以EP//AiBi//AB.•,EP//平面ABC.BABBiCFbp又•••BE二CF,BA,二CB,,•,•PF//BC，则PF//平面ABC.cb,bb,•/EP「|PF=P,•平面PEF〃平面ABC.•••EF二平面PEF,•EF〃平面ABC.同理，GF//平面ABC.•••EF“GF二F,•平面EFG//平面ABC.R点评：将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略,关键在于选择或添加适当的平面或线，并抓住一些平面图形的几何性质，如比例线段等.此题通过巧作垂线，得到所作平面与底面平行，由性质-//[|二：；-1〃1易得线面平行，进而转化岀待证的面面平行，突出了平行问题中转化思想【例4】如图，已知正方体ABCD-ABCiDi中，面对角线ABi,BCi上分别有两点E、F,且B,E二GF.求证：EF//平面ABCD.证明：过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN.•/BB」平面ABCD,•BB,!AB,BB,丄BC,•EM//BB,,FN//BB,,•EM//FN,•••AB,=BCi,B,E=CiF,•AE=BF,又/BiAB=/CiBC=45°,•RtAAME幻RtABNF,•EM=FN.•四边形MNFE是平行四边形，•EF//MN.又MN二平面ABCD,•EF//平面ABCD.N证法二：过E作EG//AB交BBi于G,连接GF,B1EB’GGFB’G…•••二-,B^^GF,BJrCiB,•••」-,•••FGIIB1C1//BC.BiABBCiBBiB又•••EGFG=G,AB「|BC=B，•平面EFGI平面ABCD.b又EF平面EFG,•EFI平面ABCD.点评：在熟知线面平行、面面平行的判定与性质之后，空间平行问题的证明，紧紧抓住“线线平行：二线面平行：二面面平行”之间的互相转化而完成证明。