金融经济学第七讲.ppt

金融经济学第七章上海财经大学金融学院第七章 连续时间套利定价理论连续时间套利定价理论 v§7.1 布朗运动布朗运动 v 布布朗朗运运动动最最早早是是由由英英国国生生物物学学家家布布朗朗(Brown)，，于于1827年年在在观观察察花花粉粉颗颗粒粒在在液液体体中中做做无无规规则则运运动动时时发发现现的的爱爱因因斯斯坦坦对对这这种种无无规规则则运运动动作作了了物物理理学学分分析析，，并并首首先先建建立立了了布布朗朗运运动动的的数数学学模模型型在在每每一一瞬瞬间间，，花花粉粉颗颗粒粒在在三三个个方方向向、、六六个个面面都都受受到到随随机机冲冲击击，，冲冲击击可可以以看看作作是是正正态态分分布布的的（（二二项项分分布布的的近近似似））因因此此每每个个瞬瞬时时，，花花粉粉颗颗粒粒的的运运动动可可以以看看成成是是正正态态分布v 在经济学中第一个提出可以用布朗运动来刻画股票价格变动的是在经济学中第一个提出可以用布朗运动来刻画股票价格变动的是Louis Bachelier（（1900），），他可能也是第一个对布朗运动进行研究的人他可能也是第一个对布朗运动进行研究的人Ito的随机微分方程及后来建立在半鞅上的更一般的随机微分方程理论，的随机微分方程及后来建立在半鞅上的更一般的随机微分方程理论，为金融学家进行衍生产品定价提供了可能。

为金融学家进行衍生产品定价提供了可能Black & Scholes、、Merton等等人的工作，给出了期权等衍生产品的精确价格公式，同时也使得布朗运人的工作，给出了期权等衍生产品的精确价格公式，同时也使得布朗运动和随机分析的工具得到了巨大发展动和随机分析的工具得到了巨大发展 第七章 连续时间套利定价理论连续时间套利定价理论v一、一、    Brown运动的数学表述运动的数学表述v定义：称为是一个标准的布朗运动（定义：称为是一个标准的布朗运动（B.M.），），如果它满足：如果它满足：v（（1 1））                  ；；v（（2 2））                     与与        独立，独立，              v（（3 3））                       的分布与的分布与t t无关，具有零均值，且无关，具有零均值，且v v（（4 4）函数）函数 几乎处处连续。

几乎处处连续 v定理：对于一个标准的定理：对于一个标准的B.M.B.M.，，我们有：我们有：v ，，v特别地，特别地，a a可以取可以取1 1第七章 连续时间套利定价理论连续时间套利定价理论v推论：当推论：当 时，时， 的分布服从正态分布，其分布函数为：的分布服从正态分布，其分布函数为：v定理：如果定理：如果          是一个是一个B.M.，，则则v（（1））                  是一个是一个B.M.；；v（（2））                                是一个是一个B.M.；；v（（3））                               是一个是一个B.M.；；v （（4）） 是一个是一个B.M.v定定义义：：随随机机过过程程                称称为为是是一一个个鞅鞅（（上上鞅鞅、、下下鞅鞅）），，如如果果该该随随机机过过程满足：程满足：v                                                  ，，                  。

第七章 连续时间套利定价理论连续时间套利定价理论v二、随机微分方程和二、随机微分方程和Ito公式公式v定义：一个随机过程定义：一个随机过程 的变化如果可以用如下方程来刻画：的变化如果可以用如下方程来刻画： v                                                                                   ；；        v则则该该随随机机过过程程被被称称为为Ito过过程程该该方方程程称称为为随随机机微微分分方方程程，， 被被称称为漂移项，为漂移项， 被称为扩散项被称为扩散项 v定理定理7.6（（Ito引理）：假定引理）：假定X是一个是一个Ito过程，满足：过程，满足：v                                                                                ，，                  v令令是是一一个个二二次次连连续续可可微微的的函函数数，，则则随随机机过过程程 也也是是一一个个Ito过程，满足：过程，满足：v                                                   v上式被称为上式被称为Ito公式。

公式 第七章 连续时间套利定价理论连续时间套利定价理论v§7.2 Black-Scholes期权定价公式期权定价公式v1、、 模型的建立：模型的建立：v 考虑一个证券（股票），不考虑红利收益，其价格过程可以表示为：考虑一个证券（股票），不考虑红利收益，其价格过程可以表示为： v                                                   ，，                     v其其中中x>0、、 和和 都都是是常常数数，，该该过过程程被被称称为为几几何何布布朗朗运运动动，，有有时时也也被被称称为对数正态分布的，因为对任意的为对数正态分布的，因为对任意的t，， 是正态分布是正态分布v因为函数二次连续可微，所以因为函数二次连续可微，所以S S是一个是一个ItoIto过程由ItoIto公式，得：公式，得：v ，，v ，，v其中其中 第七章 连续时间套利定价理论连续时间套利定价理论v 考虑一个无风险资产（债券），其价格过程为考虑一个无风险资产（债券），其价格过程为 ，定义为：，定义为：v                                                       ，，               ，，v其其中中 和和r是是常常数数，， 为为债债券券的的初初始始价价格格，，r为为无无风风险险利利率率。

是是一一个平凡的个平凡的Ito过程，可以表示为：过程，可以表示为：v                                                                         v 考考虑虑一一个个标标的的在在股股票票上上的的欧欧式式看看涨涨期期权权，，其其操操作作价价格格为为K，，成成熟熟日日为为T，，在在t

v2、、 Black-Scholes公式推导公式推导 v   应用应用Ito公式，有：公式，有：v                                                                              v其中其中系数系数           满足：满足：v v如果一个自融资策略与期权收益相等，则有如果一个自融资策略与期权收益相等，则有第七章 连续时间套利定价理论连续时间套利定价理论v利用利用Ito公式，有：公式，有：v    v由此得：由此得：v由此得：由此得：v所以有：所以有：                       第七章 连续时间套利定价理论连续时间套利定价理论v定定理理：：一一个个标标的的在在股股票票 上上、、操操作作价价格格为为K、、成成熟熟日日为为T的的欧欧式式看看涨涨期期权的价格是如下偏微分方程（权的价格是如下偏微分方程（PDE））的解：的解：v ，，v满足边界条件：满足边界条件：v 。

v其中其中 v      定定理理蕴蕴涵涵，，一一个个欧欧式式看看涨涨期期权权的的价价格格可可以以通通过过求求解解上上述述PDE来来得得到到容易证明，容易证明，Black-Scholes公式：公式：v                                                                                   ，，v是上述偏微分方程的解其中是上述偏微分方程的解其中z满足：满足：v                                                               ，，                  v函数函数 是标准正态分布的累计分布函数是标准正态分布的累计分布函数。