建筑力学与结构教学课件作者马运成第五章截面图形的几何性质.ppt

第五章 截面图形的几何性质,,,,,2,4,第一节 重心与形心,第二节 面积矩,第三节 惯性矩、惯性积与惯性半径,第四节 形心主惯性轴与形心主惯性矩,返回,第五章 截面图形的几何性质,教学: 通过本章内容的学习，掌握物体的重心和形心坐标的计算公式，掌握截面的面积矩计算及特征，掌握截面惯性矩、惯性积与惯性半径的计算方法，了解形心的主惯性轴与形心主惯性矩的概念 能力: 1.能熟练进行截面图形的重心和形心坐标计算 2.能熟练计算截面的面积矩 3.能熟练进行截面惯性矩、惯性积的计算 在建筑力学与结构的计算中，经常要用到一些与截面有关的几何量，如截面的重心、形心、面积矩、惯性矩、抗弯截面系数等这些与截面图形形状及尺寸有关的几何量统称为截面形状几何性质返回,第一节 重心与形心,一、重心 地球上的任何物体都受到地球引力的作用，这个力称为物体的重力如果把一个物体分成许多微小部分，则这些微小部分所受的重力形成汇交于地球中心的空间汇交力系但是，由于地球半径很大，这些微小部分所受的重力可看成空间平行力系，该力系的合力大小就是该物体的重力 由实验可知，不论物体在空间的方位如何，物体重力的作用线始终是通过一个确定的点，这个点就是物体重力的作用点，称为物体的重心。

对重心的研究，在实际工程中具有重要意义例如，水坝、挡土墙、吊车等的倾覆稳定性问题就与这些物体的重心位置直接有关混凝土振捣器，其转动部分的重心必须偏离转轴才能发挥预期的作用在建筑设计中，重心的位置影响着建筑物的平衡与稳定下一页,返回,第一节 重心与形心,在建筑施工过程中采用两个吊点起吊柱子就是要保证柱子重心在两吊点之间 由此，根据静力学力矩理论，可得到重心的坐标公式 1.一般物体首心的坐标公式 式中 dG——物体微小部分的重量(或所受的重力); x、y、z——分别为物体微小部分的空间坐标; G——物体的总重力上一页,下一页,返回,第一节 重心与形心,2.均质物体重心的坐标公式 对均质物体而言，其重心位置完全取决于其几何形状，而与其重量无关，物体的重心就是其形心，均质物体重心的坐标公式如下: 式中 dV ——均质物体微小部分的体积; x、y、z——分别为物体微小部分的空间坐标; G——均质物体的总体积上一页,下一页,返回,第一节 重心与形心,二、形心 对于极薄的匀质薄板，可以用平面图形来表示，它的重力作用点称为形心规则图形的形心比较容易确定，就是指截面的几何中心如图5-1所示，平面图形形心的坐标为: 式中 dA——平面图形微小部分的面积; y、z——分别为图形微小部分在平面坐标系yOz中的坐标; A——平面图形的总面积。

当平面图形具有对称轴或对称中心时，则形心一定在对称轴线或对称中心上上一页,返回,第二节 面积矩,一、面积矩的定义 如图5-2所示为任意形状的平面图形的面积为A，则截面对y轴和二轴的面积矩(或称静矩)分别定义为 由上式可见，面积矩是与坐标轴的选择有关的，对不同的坐标轴，面积矩的大小就不同，而且面积矩是代数量，可能为正，也可能为负，也可能为零，面积矩的量纲是长度的三次方，常用单位为m³或mm³下一页,返回,第二节 面积矩,二、面积矩的计算 1.简单图形的面积矩 如图5-2所示，简单平面图形的面积A与其形心坐标yc(或zc)的乘积，称为简单图形对z轴或y轴的面积矩，即 当坐标轴通过截面图形的形心时，其面积矩为零;反之，截面图形对某轴的面积矩为零，则该轴一定通过截面图形的形心 2.组合平面图形的面积矩,上一页,下一页,返回,第二节 面积矩,式中Ai——各简单图形的面积; yci、zci——各简单图形的形心坐标 式(5-6)表明组合图形对某轴的面积矩等于各简单图形对同一轴面积矩的代数和 【例5-1】计算图5-3所示T形截面对z轴的面积矩 【解】将T形截面分为两个矩形，其面积分别为,上一页,下一页,返回,第二节 面积矩,截面对z轴的面积矩,上一页,返回,第三节 惯性矩、惯性积与惯性半径,一、惯性矩 1.惯性矩计算公式 如图5-4所示，任意平面图形上所有微面积dA与其坐标y(或z)平方乘积的总和，称为该平面图形对z轴(或y轴)的惯性矩，用Iz(或lY)表示，即: 式(5-7)表明惯性矩恒为正值，它的常用单位是m4或mm4。

几种常 见截面的惯性矩见表5-1所示下一页,返回,第三节 惯性矩、惯性积与惯性半径,若dA至坐标原点O之距为ρ，如图5-4所示， ρ ² dA称为该微元面积对原点O的极惯性矩，则整体图形面积A对原点O的极惯性矩为 2.惯性矩平行移轴公式 同一平面图形对不同坐标轴的惯性矩是不相同的，但它们之间存在着一定的关系如图5-5所示任意图形对两个相平行的坐标轴的惯性矩之间的关系 称为惯性矩的平行移轴公式其表明平面图形对任一轴的惯性矩，等于平面图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩再加上其面积与两轴间距离平方的乘积上一页,下一页,返回,第三节 惯性矩、惯性积与惯性半径,3.惯性矩的特征 (1)截面的极惯性矩是对某一极点定义的，而对轴的惯性矩是对某一坐标轴定义的 (2)极惯性矩和对轴的惯性矩的量纲均为长度的四次方，单位为m4, cm4或mm4 (3)极惯性矩和对轴的惯性矩的数值均恒为大于零的正值 (4)截面对某一点的极惯性矩，恒等于截面对以该点为坐标原点的任意一对坐标轴的惯性矩之和，即 4.组合截面惯性矩的计算,上一页,下一页,返回,第三节 惯性矩、惯性积与惯性半径,组合截面(图5-6)对某一点的极惯性矩或对某一轴的‘盼h}矩，分别等于组合截面各简单图形对同一点的极惯性矩或对同一轴的惯性矩之代数和，即 【例5-2】计算图5-7所示T形截面对形心轴的惯性矩IZC 【解】(1)求截面相对底边的形心坐标,上一页,下一页,返回,第三节 惯性矩、惯性积与惯性半径,(2)求截面对形心轴的惯性矩,上一页,下一页,返回,第三节 惯性矩、惯性积与惯性半径,二、惯性积 如图5-4所示，任意平面图形上所有微面积dA与其坐标z、y乘积的总和，称为该平面图形对z、y两轴的惯性积表示，即 惯性积可为正，可为负，也可为零。

惯性积的特征如下: (1)截面的惯性积是对相互垂直的一对坐标轴定义的 (2)惯性积的量纲为长度的四次方，单位为m4, cm4或mm4 (3)惯性积的数值可正可负，也可能为零若一对坐标轴中有一轴为截面图形的对称轴，则截面对该对坐标轴的惯性积必等于零但截面对某一对坐标轴的惯性积为零，该对坐标轴中不一定就是图形的对称轴上一页,下一页,返回,第三节 惯性矩、惯性积与惯性半径,(4)组合截面对某一对坐标轴的惯性积，等于各组合图形对同一对坐标轴的惯性积的代数和，即 【例5-3】求图5-8中矩形对通过其形心且与两边平行的z轴和y轴的惯性矩lz和ly，及惯性积lyz 【解】取微面积dA=bdy，如图5-8所示，则,上一页,下一页,返回,第三节 惯性矩、惯性积与惯性半径,因为z轴(或y轴)为对称轴，所以惯性积 三、惯性半径 在工程设计计算中，常将图形的惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积，即,上一页,下一页,返回,第三节 惯性矩、惯性积与惯性半径,式中iz、iy为平面图形对z、y轴的惯性半径惯性半径的特征如下: (1)截面的惯性半径仅对某一坐标轴定义的 (2)惯性半径的量纲为长度的一次方，单位为m。

(3)惯性半径的数值恒取正值上一页,返回,第四节 形心主惯性轴与形心主惯性矩,若截面对某对坐标轴的惯性积Iz0y0=0，则这对坐标轴z0y0称为截面的主惯性轴，简称主轴截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩，简称主惯矩 由此，当截面具有对称轴时，截面对包括对称轴在内的一对正交轴的惯性积等于零例如图5-9 (a)中，y为截面的对称轴，z1轴与y轴垂直，截面对z1、y轴的惯性积等于零，z2、y即为主轴同理，图5-9 (a)中的z2、y和z、y也都是主轴 通过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴，简称形心主轴截面对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩，简称为形心主惯矩下一页,返回,第四节 形心主惯性轴与形心主惯性矩,凡通过截面形心，且包含有一根对称轴的一对相互垂直的坐标轴一定是形心主轴 图5-9 (a)中的二、y轴通过截面形心， z、y轴即为形心主轴图5-9 (b) , (c) , (d)中的z、y轴均为形心主轴上一页,返回,谢谢观赏,图5-1 形心,返回,图5-2 面积矩,返回,图5-3 例5-1示意图,返回,图5-4 惯性矩,返回,表5-1 常见截面的面积、形心和惯性矩,下一页,表5-1 常见截面的面积、形心和惯性矩,返回,图5-5 平行移轴公式,返回,图5-6 组合截面惯性矩,返回,图5-7 例5-2示意图,返回,图5-8 例5-3示意图,返回,图5-9 形心主轴,返回,。