初中数学模块四课程文本.docx

模块四课程内容标准分析——图形与几何内容的分析与教学专题六课程内容标准分析——图形与几何内容的分析与教学课程标准实验稿中，把这部分内容叫做空间与图形，现在课程标准把它称作为图形与几何，这是因为“几何”一词，一直是被大家叫得比较熟悉的，而且教师对它的名称的来历等也有所了解同时，图形又是这部分内容研究的主要对象，用图形与几何，更容易被教师们很好地把握这部分内容图形与几何”的课程内容，是从三个方面展开的，即图形的性质、图形的变化、图形与坐标三个部分在图形的性质这部分内容里面，我们主要掌握点、线、面、角、相交线、平行线、三角形、四边形等一些内容的性质图形的变化主要掌握的内容是图形的平移、旋转和轴对称及图形的相似、位似和投影图形与坐标主要掌握在直角坐标系中用数对表示物体的位置，能用坐标描述图形的位置，并体会对应点与坐标之间的关系话题一图形与几何内容的结构分析“图形与几何”的课程内容，是以发展学生的空间观念、几何直观、推理能力为核心展开的，主要包括：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；物体和图形的位置及运动的描述，运用坐标描述图形的位置和运动。

这里需要提到的是，课程标准较课程标准实验稿除这部分内容名称变动外，一些具体内容设置也有变化一是删除了一些条目如图形的认识中关于梯形、等腰梯形的相关要求，探索并了解圆与圆的位置关系，关于影子、视点、视角、盲区以及对雪花曲线和莫比乌斯带等图形的欣赏等﹔图形的变化中关于镜面对称的要求；图形与证明等腰梯形的性质和判定定理等二是新增了一些内容（包括必学和选学内客）其中增加的必学内容有：会比较线段的大小，理解线段的和、差以及线段中点的意义，了解平行于同一条直线的两条直线平行，会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类，了解并证明圆内接四边形的对角互补，了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系了，过一点作已知直线的垂线，已知一直角边和斜边作直角三角形，作三角形的外接圆、内切圆和作圆的内接正方形和正六边选修内容有：了解平行线性质定理的证明，了解相似三角形判定定理的证明，探索并证明垂径定理，垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧，探索并证明切线长定理过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等，了解同周角及其推论的证明另外，在“图形与几何”中，作为演绎证明基础的“基本事实”也作了适当的调整，在原有的6条中5条基本事实基础上，将标准实验稿第二学段中的“两点确定一条直线”“两点之间线段最短”和第三学段中的一个事实“过一点有且只有一条直线与这条直线垂直”加入，又增加了一条“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”，形成课程标准初中阶段共9条“基本事实”作为演绎证明的基础。

1.图形的认识正确理解与把握课程标准对图形认识的要求，分析学生学习这部分内容时的特点，对于课程的实施和目标的达成是十分重要的1）明确认识的对象在初中学段，除增加了点、平面、菱形外，更多的是对已有图形从整体到局部的认识，如“理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念”“理解网、弧、弦、同心角、网周角的概念”等与其他二维、三维图形相比，点、直线、平面这些基本图形抽象的程度更高，因此，必须结合对现实生活中的物体的抽象才能更好地理解它们课程标准关于“图形的认识”内容的安排，体现了从生活到数学、从直观到抽象、从整体到局部的特点，且三维、二维、一维图形交替出现，目标要求逐渐提高2）明确图形认识的要求图形认识的要求主要包括两个方面，一是对图形自身特征的认识；二是对图形各元素之间、图形与图形之间关系的认识对图形自身的特征认识，是进一步研究图形的基础在三个学段中，认识同一个或同一类图形的要求有明显的层次性：从“辨认”到“初步认识”，再从“认识”到“探索并证明”例如，对于长方体、正方体、圆柱和球等几何体，第一学段要求“辨认”，第二学段要求“认识”，第三学段要求了解其中一些几何体的侧面展开图又如，对于平行四边形，第一学段要求“辨认”，第二学段要求“认识”，第三学段要求“探索并证明平行四边形的性质定理、判定定理”。

再如，关于“视图”，第一学段要求“能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体”，第二学段要求“能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图”，第三学段要求“会画直棱柱、网柱、网锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，会根据视图描述简单的几何体”这种要求的层次性，既体现了从整体到局部的认识过程，也符合学生的认知特点，逐渐深入、循序渐进同时，对图形的各元素之间、图形与图形之间的关系的认识，主要包括大小、位置、形状之间关系的认识如第一学段“了解直角、锐角和钝角”，第二学段“体会两点间所有连线中线段最短”“了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系”“了解三角形两边之和大于第三边”，第三学段的“会比较线段的长短”“能比较角的大小”等，都是对图形大小关系的研究这里点与直线的位置关系、直线与直线的位置关系、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系等，是义务教育阶段几种主要的图形位置关系；轴对称、中心对称、平移也反映了图形与图形之间的位置关系另外，图形的全等、相似也都是研究图形之间关系的课程内容图形的全等研究的是图形的形状、大小关系，图形的相似研究的是图形的形状之间的关系，而图形的位似则还涉及图形的位置关系。

3）明确认识图形的方式与途径课程标准中较多地使用“通过观察、操作，认识……”“结合实例（生活情境）了解……”“通过实物和具体模型，了解……”的表述，这实际上明确了认识图形的过程和方式图形是人类长期通过对客观物体的观察逐渐抽象出来的，抽象的核心是把物体的外部形象用线条描绘在二维平面上如点是位置的抽象，即在几何中用“点”来标记一个物体的位置（如地图上用点表示城市）；线是路径的抽象，即把“从一个地方走到另一个地方的路径”抽象为“线段，或折线段、曲线段”又如观察一张书桌，它占据一定的空间，有长短、宽窄和高矮，这些反映到我们的脑子里就有了形状的概念，就抽象成几何图形继续观察，发现桌面上有四个相等的角，两两相等的对边，长和宽不相等黑板、书本、门窗……都具有这些相同的特征，于是就形成了“长方形”的概念长方形”已不再是某个具体的物体，而是抽象了的图形2.图形的变化在课程标准第一、第二学段“图形的运动”中，涉及的主要内容是图形的平移、旋转和轴对称，在初中学段“图形的变化”中除图形的平移、旋转和轴对称外，还包括图形的相似、位似，以及投影因此，要求学生了解轴对称、旋转、平移的概念，探索它们的性质并利用图形的轴对称、旋转、平移不改变图形的形状和大小，探索线段、角、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正多边形、圆的一些性质。

如研究三角形全等时，可以先组织学生开展如下操作活动活动1：先把两张全等的三角形纸板摆放成如图9-2那样，再改变其中一个三角形的位置（平移，或翻折，或旋转），使它与另一个三角形重合说出这两个全等三角形的对应边和对应角补课程标准解读p181图9-2中(1) (2) (3))活动2：先把两张三角形纸板重合，然后改变其中一个三角形的位置（平移，或翻折，或旋转），展示所摆成的不同位置的图形说出这两个全等三角形的对应边和对应角活动3：观察下列图形中的两个全等三角形，改变其中一个三角形的位置（平移，或翻折，或旋转），使它与另一个三角形重合上述活动将有效地帮助学生识别复杂图形中的全等三角形，从而为他们进行有关全等三角形的演绎证明奠定基础研究图形的相似尤其是三角形的相似是初中学段“图形的变化”中的主要内容之一利用相似可以解决日常生活中的大量实际问题，这也是课程标准关注的重点投影与视图是二维图形与三维图形转化中体现着图形的变化，这个过程是培养学生空间观念的极好途径3.图形的性质及其证明(1) 图形的性质图形的性质是对图形中各种元素之间的关系，以及图形之间关系的认识为了更好地研究这些关系，就需要给出一些定义和基本事实，然后从定义和基本事实出发，去探索研究图形的其他性质。

课程标准在“图形的性质”中，比较多地使用了“探索并证明……”的表述在一定的情境中，引导学生借助已有的知识和经验，借助图形的直观，通过操作、度量，运用合情推理或图形运动等方法，探索发现图形可能具有的性质，这与给出“已知、求证、证明”的方式研究图形性质是有区别的两者相比，前者更加有利于学生在获取有关知识的过程中，不断提高研究几何图形性质的能力，发展创新意识和创新能力在学生已经“辨认”“认识”“了解”“知道”了一些图形及其“特征”的基础上，初中学段开始引导学生探索并证明图形的性质，发展学生的推理能力学生探索图形的性质，可以借助图形直观，通过观察、操作、度量等活动，也可以运用归纳、类比的方法2)图形性质的证明证明，是从一个命题判断到另一个命题判断的思维过程，是由一系列推理构成的证明首先需要有大家公认的出发点，其次，推理过程要正确课程标准列出以下9个基本事实，作为义务教育阶段图形性质证明的出发点·两点确定一条直线·两点之间线段最短·过一点有且只有一条直线与这条直线垂直·两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行·过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行·两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。

·两角及其夹边分别相等的两个三角形全等·三边分别相等的两个三角形全等·两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例从这九个基本事实出发，证明有关线段、角、直线、三角形、四边形约40个定理；探索圆、相似形的一些性质，并了解有关圆、相似形的一些定理的证明需要说明的是，课程标准把上述九条称为“基本事实”，而不称为“公理”，其主要原因是其中大多数都是欧氏公理体系中的定理，另外它们也不具有公理体系所应有的独立性、相容性、完备性其中，用演绎推理证明图形性质的常用形式是三段论，但是演绎推理并不等同于三段论（比如，由a>b，b>c推出a>c的推理就不是三段论）在义务教育阶段，用三段论的方法证明图形性质的过程，通常用简化的形式，即“小前提—结论（大前提）”的形式在初中阶段，图形的运动、变化主要是指图形的轴对称、平移、旋转通过图形的运动、变化，往往能获得一些对图形性质的猜测不仅如此，图形的运动、变化也常常是我们探究证明思路、寻找证明方法的重要途径如对于等腰三角形“三线合一”性质的探究与证明，可以经历下面的过程：如果△ABC中，AB＝AC，那么只要沿△ABC的角平分线AD所在直线把△ABD翻折，因为∠BAD=∠CAD，所以BA落在射线AC上。

因为AB=AC，所以点B与点C重合，于是△ABD与△ACD重合这样便可以发现等腰三角形“三线合一”的结论在利用演绎推理证明时，折痕就是我们要作的辅助线，它将等腰三角形分成两个全等的三角形，这就是对折给我们的启发，接着证明也就不难了又如“三角形的中位线定理”的教学可设计如下问题：怎样把一个三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？操作：(1)沿△ABC的中位线DE将△ABC剪成两部分2)将△ADE绕点E旋转180°到△CFE的位置BCFED是四边形吗？如果是，它是怎样的四边形？运用图形运动的方法探索并得到猜测：因为DE绕点E旋转180°到FE，所以DEF是一条直线，所以BCFED是四边形因为图形的旋转不改变图形的大小，所以CF＝AD，∠DAC=∠FCA，于是CF//AD，可知四边形BCFD是平行四边形于是DF//BC，DF＝BC，可知DE＝1/2BC运用演绎推理证明上述结论：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，可证△AED∽△CEF，得CF=AD，CF∥AD再证四边形BCFD是平行四边形，可得DE//BC，DE＝1/2BC。