第三讲数论专题-学生版.doc

第三讲数论专题重点知识点:「整除问題 广整除问题＜ 整除特征（约数三定律 X完全平方数 I短除模型 j质数明星1分解质因教I啓除技巧约数倍数 数论Y质数合数〔余数求解1带余除法同余问题I剰余问题、整除性质① 如果自然数a为M的倍数，则ka为M的倍数k为正整数）② 如果自然数a、b均为M的倍数，则a+ b, a — b均为M的倍数③ 如果a为M的倍数，p为M的约数，则a为p的倍数④ 如果a为M的倍数，且a为N的倍数， 则a为［M , N］的倍数整除特征1末位系列（2, 5床位（4, 25床两位（8, 125）末三位2 •数段和系列3、9各位数字之和 一一任意分段原则（无敌乱切法）33, 99两位截断法一一偶数位任意分段原则3 •数段差系列11整除判断：奇和与偶和之差余数判断：奇和-偶和（不够减补^一，直到够减为止 ）7、11、13—三位截断法：从右往左，三位一隔： 整除判断：奇段和与偶段和之差 余数判断：奇段和-偶段和 （不够减则补，直到够减）三、整除技巧：1除数分拆：（互质分拆，要有特征）2 •除数合并：（结合试除，或有特征）3 •试除技巧：（末尾未知，除数较大）4 •同余划删：（从前往后，剩的纯粹）5.断位技巧：（两不得罪，最小公倍）四、约数三定律约数个数定律：（指数+ 1）再连乘约数和定律：（每个质因子不同次幕相加）再连乘 约数积定律：自身n（n=约数个数十2）五、完全平方数① 特柱』命*我1② 才嫩个鈞簌o完仝平方魏o偶梧恃-才一.Vfn, E =Af| .4 B ' B）=戈T,[2, = Mabn b 打4—应要互廈丑）x [却,S] = .4x H七F用数叨三：2 =>才供柱5 => 牛 4^人.分解质四藏1■咸敛：快追烈耶2, 呛——分解止禅3. 见获放折 矢璀国子事析九.余厳:老甘1. 別祠蹩除•桂用曲血H2. 利刑星孩復嚴术命戟3. 利用除就分折卓余铁十*带余榜我彳弋樂虑扭=>歉论方暮=> 去余呼匕乘.4XJ普魂纬十一、同余问题1*同余定理：如果打与b除以朋余数相同，则心 bH为中的倍数"2.①不同余"欣，同余②去余化乘，找倍试約。

十二、斓命问麴去余救，海同补三种解法;和谐法逐級满足法ta例题：【例1】2025的百位数字为0,去掉0后是225, 225X 9= 2025这样的四位数称为“零巧数” 那么所有的零巧数是 巩固】某校人数是一个三位数，平均每个班级36人，若将全校人数的百位数与十位数对调,则全校人数比实际少180人，那么该校人数最多可以达到 人例2】若两个自然数的平方和是 637,最大公约数与最小公倍数的和为 49,则这两个数是多 少？【巩固】两个两位数，它们的最大公约数是9,最小公倍数是360,这两个两位数分别是 【例3】一个两位数，数字和是质数而且，这个两位数分别乘以 3, 5, 7之后，得到的数的数字和都仍为质数满足条件的两位数为 例4】对四位数 abed，若存在质数p和正整数k，使ax bx ex d= pk，且a+ b+ c+ d = pP— 5,求这样的四位数的最小值，并说明理由例5】已知，23!= 2585a01b738e849766de000其中a, b，e，d，e表示五个互不相同的偶数数 字，且c>b求a, b, e, d, e分别是多少？余数问题一、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（0）若有a* b=q r,也就是a= b x q+ r,0w rv b;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：⑴当r =0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商⑵当r = 0时：我们称a不可以被 一个完美的带余除法讲解模型 ：b整除，q称为a除以b的商或不完全商如图，这是一堆书，共有 a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照 b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了 c捆，那么这个c就是商，最后还剩余 d本，这个d就是余数邑本书这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中 4个量的关系并且可以看出余数一定要比除数小二、三大余数定理：1. 余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以 c的余数例如：23, 16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两 个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以 c的余数例如：23, 19除以5的余数分别是3和4,故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以 5的余数，即2.2. 余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的 余数例如：23, 16除以5的余数分别是3和1,所以23X 16除以5的余数等于3X仁3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以 c的余数例如：23, 19除以5的余数分别是3和4,所以23X 19除以5的余数等于3X 4除以5 的余数，即2.3. 同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称 a、b对于模m同余，用式子表 示为：a= b ( mod m )，左边的式子叫做同余式同余式读作：a同余于b，模m由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a, b除以同一个数 m得到的余数相同，则 a, b的差一定能被 m整除 用式子表示为：如果有 a= b ( mod m )，那么一定有a- b = mk,k是整数，即 m|(a — b)三、 弃九法原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和以后我们求一个整数被 9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和， 再求这个和被9除的余数即可例：检验算式 1234 1898 18922 678967 178902 二 889923四、 中国剩余定理：一个自然数分别除以 3, 5, 7后，得到三个余数分别为 2, 3, 2•那么我们首先构造一个 数字，使得这个数字除以 3余1,并且还是5和7的公倍数。

先由5 7 =35，即5和7的最小公倍数出发，先看 35除以3余2,不符合要求，那么 就继续看5和7的“下一个”倍数 35 2 =70是否可以，很显然 70除以3余1类似的，我们再构造一个除以 5余1,同时又是3和7的公倍数的数字，显然 21可以符合要求最后再构造除以7余1,同时又是3, 5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然 数可以这样计算：2 70 3 21 2 45 -k[3,5,7] =233-k[3,5,7],其中 k 是从 1 开始的自然数也就是说满足上述关系的数有无穷多， 如果根据实际情况对数的范围加以限制， 那么我 们就能找到所求的数例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数” ，那么我们可以计算 2 70 3 21 2 45 - 2 [3,5,7] -23得到所求如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数” ，我们只要对最小的23加上[3,5,7即可，即23+105=128例题：【例1】一列数，前几个数是1, 3, 8, 21, 55, 144, 377, 987,…，通过观察中间数的 3咅 都是它前后相邻2个数之和，求：这列数中的第 2011个数除以6所得的余数是几？【巩固】有一串数：5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…，其中第一个数是 5,第二个数是8,从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。

那么在这串数中，第2011个数被3除后所得余数是几?【例2】有一个整数，用它去除70, 110, 160所得到的3个余数之和是50,那么这个整数是 【例3】一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a+ 5、2a、a,求这个自然数和a的值巩固】学前班有几十位小朋友，老师买来 176个苹果，216块饼干，324粒糖，并将它们尽 可能地平均分给每位小朋友余下的苹果、饼干、糖的数量之比是 1 : 2 : 3,问学前班有多少位小朋友？【例4】一个自然数被7, 8, 9除的余数分别是1, 2, 3,并且三个商数的和是 570,求这个自然数拓展】一个大于10的自然数，除以5余3,除以7余1,除以9余4,那么满足条 件的自然数最小为 例5】已知a =20082008-2008，问：a除以13所得的余数是<, >2008个 2008课后练习1、（全国小学数学奥林匹克试题 ）两数相除，商4余8,被除数、除数、商数、余数四数之 和等于415,则被除数是 .2、已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是 10,那么这样的自然数共有多少个?3、（全国小学数学奥林匹克试题 ）六张卡片上分别标上 1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的2倍，则丙手中卡片上的数是 .124、求6443亠19的余数’ 2 3 .5、已知60, 154, 200被某自然数除所得的余数分别是 a 一1 , a , a 一1 ,求该自然数的值.6、有三所学校，高中A校比B校多10人，B校比C校多10人.三校共有高中生 2196人.有一所学校初中人数是高中人数的 2倍；有一所学校初中人数是高中人数的 1.5倍；还有一所学校高中、初中人数相等•三所学校总人数是 5480人，那么A校总人数是 人.6、三个质数的乘积恰好等于它们的和的 7倍，求这三个质数.7、有一个大于1的整数，除45,59,1°1所得的余数相同，求这个数.8、将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数:，试求这个多位数除以 9的余数.9、在7进制中有三位数abc，化为9进制为cba,求这个三位数在十进制中为多少?10、在几进制中有125 125 =16324 ?11、在大于1000的整数中，找出所有被34除后商与余数相等的数，那么这些数的和是多少?。