隐函数的偏导数.ppt

第六节第六节 隐函数的偏导数隐函数的偏导数一、一个方程的情形一、一个方程的情形二、方程组的情形二、方程组的情形一、一个方程的情形定理定理 设函数则方程单值连续函数 y = f (x) ,并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：① 具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足②③满足条件导数两边对 x 求导在的某邻域内则若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,二阶导数二阶导数 :则还有例1. 验证方程验证方程在点(0,0)某邻域内，唯一确定了一个有连续导数，且当解解: 令连续 ,由 定理1 可知,①导的隐函数 则②③在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且并求练习 设方程确定了的函数，求定理9.9 若函数 的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 ,则方程在点并有连续偏导数定一个具有连续偏导数的函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:满足① 在点满足:②③某一邻域内可唯一确两边对 x 求偏导同样可得则例2 求由方程所确定的函数的偏导数解 令从而则例3. 设设解法解法1 利用隐函数求导再对 x 求导解法2 利用公式利用公式设则两边对 x 求偏导例4. 设F( x , y)具有连续偏导数,解法解法1 利用偏导数公式.确定的隐函数,则已知方程故对方程两边求微分:解法2 微分法微分法. .二、方程组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由 F、G 的偏导数组成的行列式称为F、G 的雅可比雅可比( Jacobi )行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即定理的某一邻域内具有对各个设函数则方程组③的单值连续函数单值连续函数且有偏导数公式 :① 在点②的某一邻域内恒能唯一唯一确定一组满足条件满足:变量的连续偏导数；定理证明略.仅推导偏导数公式如下：有隐函数组则两边对 x 求导得设方程组设方程组在点P 的某邻域内故得系数行列式同样可得例5. 设设解解:方程组两边对 x 求导，并移项得求练习练习: 求答案答案:由题设故有例6.设函数设函数在点(u,v) 的某一1) 证明函数组( x, y) 的某一邻域内2) 求解解: 1) 令对 x , y 的偏导数.在与点 (u, v) 对应的点邻域内有连续的偏导数,且 唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数①式两边对 x 求导, 得则有由定理 3 可知结论 1) 成立.2) 求反函数的偏导数. ①②从方程组②解得同理, ①式两边对 y 求导, 可得从方程组②解得同理, ①式两边对 y 求导, 可得内容小结1. 隐函数( 组) 存在定理2. 隐函数 ( 组) 求导方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;方法2. 利用微分形式不变性 ;方法3. 代公式思考与练习思考与练习设求。