数学（第1册） 集集 合合第 三 章 函数的概念及表示方法第一节 函数的性质第二节反 函 数第三节实数指数幂和幂函数第四节目录CONTENTS 指 数 函 数第五节对数和对数函数第六节函数与方程第七节目录CONTENTS 第一节函数的概念及表示方法 函数的概念 一、在初中，我们已经学习了变量与函数的概念.在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个x值，就有唯一的一个y值与其对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.例如，一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，则在t小时里汽车行驶的路程为s=60t，这里的时间t为自变量，路程s为因变量，时间t在某个范围内变化，路程s也相应地在某个范围内变化，路程s是时间t的函数. 第一节函数的概念及表示方法用变量的观点来描述函数，可以形象地描述事物的变化规律，但有一定的局限性.先看下面的问题：问题一y=1(x∈R)是一个函数吗？问题二函数y=x与函数y=x2x是同一个函数吗？初中学过的函数概念很难回答这些问题，于是，我们从新的角度给出函数的定义：设集合D是一个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于D中的任意一个数x，都有唯一确定的数y与之对应，则这种对应关系叫作集合D上的一个函数，记作y=f(x),x∈D. 第一节函数的概念及表示方法其中x叫作自变量，自变量x的取值范围（集合D）叫作函数f(x)的定义域，所有函数值构成的集合{y︱y=f(x),x∈D}叫作函数f(x)的值域.当x=x0时，函数y=f(x)对应的值y0叫作函数在点x0处的函数值，记作y0=f(x0).该定义使用了集合语言确切地刻画了函数，更具有一般性.从中我们还可以看出，函数的值域是由函数的定义域和对应法则所确定的，因此一个函数的确定只需要两个要素：定义域和对应法则. 第一节函数的概念及表示方法学习提示学习提示 第一节函数的概念及表示方法在实际问题中，函数的定义域是根据所研究的问题的实际意义确定的；对于用解析式表示的函数，如果不考虑问题的实际意义，则函数的定义域就是能够使函数式有意义的所有实数的集合. 第一节函数的概念及表示方法【【例例1 1】】 第一节函数的概念及表示方法本节刚开始提出的问题一和问题二的答案是什么？想一想 第一节函数的概念及表示方法 函数的表示方法 二、函数的三种表示方法函数的三种表示方法1.上面我们已经明确了函数的概念，那么怎样表示一个函数呢？例如，商店里面所售练习本的单价为0.8元，买练习本的本数x（本）与付款款额y(元)的函数关系如何表示?首先，我们做一个表格（表3-1）： 第一节函数的概念及表示方法列出表格可以很直观地反映出练习本的本数x与付款款额y之间的关系，像这种通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫作列表法.但这种表示方法一般不完整，如要买80本练习本，则所需付的款额表中就没有，那么还可以用什么方式表示呢？ 第一节函数的概念及表示方法解析法.这种方法严谨、完整，但不够直观.另外，描绘函数的图像，也可以直观形象地表示一个函数，如图3-1所示.像这种利用图像表示函数的方法叫作图像法.图3-1 第一节函数的概念及表示方法【【例例4 4】】 第一节函数的概念及表示方法（2）根据题意，函数的解析式为y=20+5x，因此函数的解析法表示为y=5x+20,x∈{1,2,3,4,5}. 第一节函数的概念及表示方法为什么上述两个函数的图像（图3-1，图3-2）不连接成直线或线段？思考与讨论思考与讨论 第一节函数的概念及表示方法(3)以表3-2中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中画出各个相应的点.因此，函数的图像法表示如图3-2所示.图3-2 第一节函数的概念及表示方法 第一节函数的概念及表示方法 第一节函数的概念及表示方法• 课堂堂练习•画出函数y=x3－1的图像. 第一节函数的概念及表示方法分段函数分段函数2.【【例例6 6】】 第一节函数的概念及表示方法请用解析法和图像法表示该函数.解（1）函数的解析式为 第一节函数的概念及表示方法（2）函数的图像如图3-6所示.图3-6 第一节函数的概念及表示方法【【例例7 7】】 第一节函数的概念及表示方法(3)在同一直角坐标系中，用描点法在［0,2)内画出f(x)=x－2的图像，在［2,4)内画出f(x)=3x的图像，如图3-7所示.图3-7 第一节函数的概念及表示方法 函数的实际应用举例 三、【【例例8 8】】 第一节函数的概念及表示方法根据上述对应值回答：（1）弹簧不挂物体时长度是多少？（2）当所挂的物体质量每增加1kg时，弹簧怎样变化？（3）求弹簧总长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）的函数解析式．解（1）根据对应值表，当x=0时，y=12，所以弹簧不挂物体时长度为12cm.(2)观察对应值表，当所挂物体的质量每增加1kg时，弹簧伸长0.5cm.(3)根据（1）、（2）得，函数的解析式为y=0.5x+12. 第一节函数的概念及表示方法【【例例9 9】】 第一节函数的概念及表示方法【【例例1010】】图3-8 第一节函数的概念及表示方法解(1)函数的解析式为 第二节函数的性质 函数的单调性 一、图3-9为某地区2017年元旦这一天24小时内的气温变化图.图3-9 第二节函数的性质定义中“任意”两个点x1、x2，可以改成“存在”两个点x1、x2吗？思考与讨论思考与讨论 第二节函数的性质从上图中可以看到，在4点到14点这个时间段内，气温是逐步升高的；在0点到4点和14点到24点的时间段内，气温是逐步下降的．像这种，函数图像的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质——单调性.一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，区间ID.如果取区间I中的任意两点x1、x2，则 第二节函数的性质（1）当x1f(x2)成立，那么函数y=f(x)叫作区间I上的减函数（或单调递减函数），区间I叫作函数y=f(x)的减区间.观察图3-11，函数y=f(x)是区间(a,b)上的减函数，区间(a,b)是该函数的减区间.图3-11 第二节函数的性质在某一区间上单调递增或单调递减的函数叫作在这个区间上的单调函数，该区间叫作这个函数的单调区间. 第二节函数的性质【【例例1 1】】图3-12 第二节函数的性质解由图像可看出：自变量x在（-8,-5）内，函数是单调递增的，因此函数在区间（-8,-5）上是增函数；自变量x在（-5，-2）内，函数是单调递减的，因此在区间（-5，-2）上是减函数.类似地可看出，函数在区间（-2，1）和（4，9）上是增函数，在区间（1，4）和（9，12）上是减函数. 第二节函数的性质【【例例1 1】】 第二节函数的性质例2是否有其他解法？思考与讨论思考与讨论 第二节函数的性质• 课堂堂练习 第二节函数的性质 函数的奇偶性 二、在初中平面几何中，我们学习了关于轴对称图形和中心对称图形的知识.知道点M(a,b)关于y轴的对称点为M′(－a,b)，关于原点的对称点为M″(－a,－b).引例1已知函数y=x2，则f(－2)=f(2)=4,f(－1)=f(1)=1,f(－x)=(－x)2=f(x). 第二节函数的性质点M(a,b)关于x轴的对称点的坐标怎么表示?想一想 第二节函数的性质可以看出，函数y=x2的图像上的任意点M(x,f(x))关于y轴的对称点N(－x,f(x))也在y=x2的图像上，所以函数y=x2的图像关于y轴对称，如图3-13所示.图3-13 第二节函数的性质引例2已知函数y=x3，有f(－2)=－8,f(2)=8,f(－1)=－1,f(1)=1,f(－x)=(－x)3=－f(x).可以看出，函数y=x3图像上的任意点M(x,f(x))关于原点的对称点N(－x,-f(x))也在y=x3图像上，所以函数y=x3图像关于原点对称,如图3-14所示.图3-14 第二节函数的性质学习提示学习提示 第二节函数的性质上述两个例子中的函数所表现出的性质即为函数的奇偶性，其定义如下：设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意x，都有－x∈D，且f(－x)=f(x)，则这个函数叫作偶函数，其图像关于y轴对称.上述引例一中的函数y=x2即为偶函数.设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意x，都有－x∈D，且f(-x)=－f(x),则这个函数叫作奇函数,其图像关于原点对称.上述引例二中的函数y=x3即为奇函数. 第二节函数的性质【【例例3 3】】 第二节函数的性质学习提示学习提示 第二节函数的性质(2)函数f(x)=x8－2的定义域为R，当x∈R时，－x∈R，且f(－x)=(－x)8－2=f(x)，所以函数f(x)=x8－2是偶函数.（3）函数f(x)=x2的定义域［2,5］不关于原点对称，如存在4∈［2,5］，而－4［2,5］，所以函数f(x)=x2,x∈［2,5］既不是偶函数也不是奇函数.(4)函数f(x)=x－1的定义域为R，当x∈R时，－x∈R，但是f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，所以函数f(x)=x－1既不是偶函数也不是奇函数. 第二节函数的性质• 课堂堂练习1.判断下列函数的奇偶性.（1）f(x)=3;(2)f(x)=x2-2x;(3)f(x)=x(x-1);(4)f(x)=2x2，x∈(-1,1］.2.若偶函数y=f(x)在（-∞，-1］上是增函数，试比较f(-1.5),f(-1),f(2)的大小. 第三节反函数 反函数的定义 一、在函数的定义中有两个变量，一个是自变量，一个是自变量的函数．但是实际问题中，究竟把哪一个变量作为自变量，是根据实际需要决定的．引例1设某种商品2000kg，销售起点是1kg，单价3元／kg，则其销售收入y(元)与销售数量x(kg)之间的函数关系式为y=3x，在这一函数中，x是自变量，定义域为［1，2000］，y是函数，值域为［3，6000］． 第三节反函数把上面的问题反过来，如果我们考察当销售收入y(元)变化时销售数量x(kg)的变化情况，此时销售收入y就是自变量，销售数量x就是y的函数．它们之间的关系式是从y=3x中解出x得x=y3，此函数定义域为y∈［3，6000］，值域为x∈［1，2000］．我们称函数x=y3是函数y=3x的反函数． 第三节反函数一般地，给出下面定义：定义设函数y=f(x)，其定义域为D，值域为M．如果对于任一y∈M，都可由关系式y=f(x)确定唯一的x值(x∈D)与之对应，那么就确定了一个以y为自变量的函数x=φ(y)，我们把它称为函数y=f(x)的反函数．记为x=f-1(y)，它的定义域为M，值域为D．例如，函数y=2x+1，从中解出x=12(y-1)就是函数y=2x+1的反函数． 第三节反函数但习惯上常用x表示自变量，y表示函数，因此，互换函数式x=f-1(y)中的字母x，y，把它改写成y=f-1(x)，如前面例子中y=3x的反函数为y=x3；函数y=2x+1的反函数为y=12（x-1）.如无特殊说明，此后本书中的反函数均指这种改写后的反函数． 第三节反函数【【例例1 1】】 第三节反函数(2)由y=x+1(x≥0)，解得x=(y-1)2，因此函数y=x+1(x≥0)的反函数为y=(x-1)2(x≥1)．由以上例子可以得出，函数y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数．应当注意，不是每个函数在其定义域内都有反函数，只有当函数的反对应关系是单值时它才有反函数． 第三节反函数例如，函数y=x2，定义域为(-∞，+∞)．由表达式解得x=±y，说明这个函数的反对应关系不是单值的，所以函数y=x2在定义域(-∞，+∞)上没有反函数.但是若限定x∈(0，+∞)时，函数y=x2的反对应关系x=y是单值的，所以有反函数y=x；若限定x∈(-∞，0)时，函数y=x2的反对应关系为x=-y是单值的，所以有反函数y=-x. 第三节反函数是不是所有的函数都有反函数？如果不是，请举例说明.想一想 第三节反函数 互为反函数的函数图像间的关系 二、 第三节反函数图3-15从图3-15中可以看到函数y=3x+2的图像是过点(0，2)和点(-1，-1)的一条直线，其反函数y=13(x-2)的图像是过点(2，0)和(-1，-1)的一条直线．显然函数y=3x+2与其反函数y=13(x-2)的图像关于直线y=x对称． 第三节反函数一般地，函数y=f(x)的图像与其反函数y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称．今后我们也可以利用上述互为反函数的函数图像间的关系，由函数y=f(x)的图像画出其反函数y=f-1(x)的图像． 第三节反函数【【例例2 2】】图像． 第三节反函数图3-16 第四节实数指数幂和幂函数 有理数指数幂 一、 第四节实数指数幂和幂函数一般地，如果有xn=a(a∈R,n>1,n∈N)，则x叫作a的n次方根.当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，都表示为na（n为奇数）.例如，532=2,3－27=－3.当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，分别表示为na，－na（a>0,n为偶数）. 第四节实数指数幂和幂函数学习提示学习提示 第四节实数指数幂和幂函数 第四节实数指数幂和幂函数负整数指数幂有什么意义？想一想 第四节实数指数幂和幂函数思考与讨论思考与讨论 第四节实数指数幂和幂函数【【例例1 1】】 第四节实数指数幂和幂函数【【例例2 2】】 第四节实数指数幂和幂函数我们知道整数指数幂的运算法则，该法则对于有理数指数幂也同样适用，即对任意有理数α、β,有（1）aα·aβ=a(α+β)，（2）(aα)β=aαβ，（3）(ab)α=aαbα，其中a>0,b>0. 第四节实数指数幂和幂函数 实数指数幂及其运算法则 二、有理数指数幂还可以推广到实数指数幂.一般地，当a>0,α为任意实数时，实数指数幂aα都是有意义的.可以证明，对任意实数α、β，上述运算法则仍然成立. 第四节实数指数幂和幂函数学习提示学习提示 第四节实数指数幂和幂函数【【例例3 3】】 第四节实数指数幂和幂函数 幂函数 三、 第四节实数指数幂和幂函数【【例例5 5】】 第四节实数指数幂和幂函数接下来采用描点法作这6个函数的图像.分别在其定义域中取一些值，如表3-6~表3-9所示： 第四节实数指数幂和幂函数 第四节实数指数幂和幂函数它们的图像如图3-17所示. 第四节实数指数幂和幂函数图3-17 第五节指数函数 指数函数及其图像和性质 一、先看下面的问题，研究问题中两个变量之间的依赖关系.问题1某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式为y=2x.问题2一根1米长的绳子从中间剪一次剩下12米，再从中间剪一次剩下14米，若这绳子剪x次剩下y米，则y与x的函数关系式为 第五节指数函数指数函数与幂函数有什么区别？想一想 第五节指数函数在这两个函数中，自变量x出现在指数的位置上，而底数为常数.一般地，函数y=ax(a>0,a≠1)叫作指数函数，其定义域为R.下面研究指数函数的图像和性质. 第五节指数函数【【例例1 1】】 第五节指数函数用描点法，在同一坐标系中画出它们的图像，如图3-18所示.图3-18 第五节指数函数【【例例2 2】】 第五节指数函数用描点法，在同一坐标系中画出它们的图像，如图3-19所示.图3-19 第五节指数函数从例1、例2所画出的函数的图像可以看出：(1)这4个函数的图像都在x轴上方，且它们的图像都经过点(0,1);(2)y=2x和y=3x在(－∞,+∞)上是增函数，当x逐渐减小时，其图像从x轴上方逐渐逼近x轴；y=12x和y=13x在(－∞,+∞)上是减函数，当x逐渐增大时，其图像从x轴上方逐渐逼近x轴. 第五节指数函数由以上实例，我们可以归纳出指数函数y=ax(a>0,a≠1)具有下列性质：（1）定义域为R，值域为(0,+∞)；（2）函数图像均经过点(0,1)；（3）当a>1时，该函数是增函数，如图3-20（a）所示，当00,a≠1),当x、a已知时，我们能求出y.例如,给定指数函数y=2x,当x=2时,y=22=4.反过来，如果我们知道了a、y,怎样求x?也就是说，已知底数和幂的值，怎样求指数？为了解决这个问题，我们引入一个新的概念——对数.一般地，如果ab=N(a>0,a≠1)，数b就叫作以a为底N的对数，记作b=logaN，其中a叫作底数，N叫作真数,读作“b等于以a为底N的对数”. 第六节对数和对数函数学习提示学习提示 第六节对数和对数函数式子logaN=b叫作对数式，式子ab=N叫作指数式.例如，23=8，所以3是以2为底8的对数，即log28=3；9－12=13，所以－12是以9为底13的对数，即log913=－12.同样，我们也能把对数式转化为指数式.根据对数的定义，对数具有如下性质:（1）0和负数没有对数，即N>0；（2）1的对数为0，即loga1=0；（3）底数的对数等于1，即logaa=1. 第六节对数和对数函数【【例例1 1】】 第六节对数和对数函数【【例例2 2】】 第六节对数和对数函数【【例例3 3】】求下列各式的值：（1）log0.50.5；（2）log31.解根据对数的性质得（1）log0.50.5=1.（2）log31=0. 第六节对数和对数函数通常我们将以10为底的对数叫作常用对数，把log10N记作lgN.在科学技术中，常使用以无理数e=2.71828…为底的对数.以e为底的对数叫作自然对数，把logeN记作lnN. 第六节对数和对数函数积、商、幂的对数积、商、幂的对数2.我们知道ap·aq=ap+q，设M=ap,N=aq,（1）则M·N=ap·aq=ap+q.（2）把式（1）和（2）写成对数式，得loga(M·N)=p+q=logaM+logaN， 第六节对数和对数函数从而得到对数的一个运算法则loga(M·N)=logaM+logaN.类似地，当a>0且a≠1,M>0,N>0时，我们可以得到如下对数运算法则：(1)loga(M·N)=logaM+logaN;(2)logaMN=logaM－logaN;(3)logaMn=nlogaM(n∈R). 第六节对数和对数函数思考与讨论思考与讨论 第六节对数和对数函数【【例例4 4】】 第六节对数和对数函数【【例例5 5】】 第六节对数和对数函数【【例例6 6】】 第六节对数和对数函数学习提示学习提示 第六节对数和对数函数利用计算器求对数值利用计算器求对数值3.对于一般的对数，我们很难计算它的值，因此，我们需要借助计算器来计算.计算器一般分为标准型和科学型两种.标准型计算器只能进行加、减、乘、除四则运算；科学型计算器可用于进行统计计算(计算一系列数据的和、平均值等)和科学计算(进行函数、对数运算，以及阶乘、幂运算等).因此，科学型计算器都设有专门的按键来进行对数的计算.用log□□键、log键、ln键分别计算一般底数的对数、常用对数、自然对数. 第六节对数和对数函数【【例例7 7】】 第六节对数和对数函数 对数函数 二、对数函数及其图像和性质对数函数及其图像和性质1.通过上面的学习，回顾第五节中的两个实例:问题1,1个细胞经过y次分裂后得到x个细胞,则x与y的函数关系式为x=2y,写成对数式为y=log2x.问题2,1米长的绳子剪y次剩下x米,则x与y的函数关系式为x=12y,写成对数式为y=logx.在上面这两个函数里，自变量x出现在真数的位置上. 第六节对数和对数函数一般地，我们把函数y=logax(a>0,a≠1)叫作对数函数,其定义域是(0,+∞),值域是R.下面研究对数函数的图像和性质. 第六节对数和对数函数【【例例8 8】】 第六节对数和对数函数用描点法，在同一坐标系中画出它们的图像，如图3-21所示.图3-21 第六节对数和对数函数指数函数与对数函数有怎样的关系？思考与讨论思考与讨论 第六节对数和对数函数【【例例9 9】】 第六节对数和对数函数用描点法，在同一坐标系中画出它们的图像，如图3-22所示.图3-22 第六节对数和对数函数从函数的图像可以看出：（1）这4个函数的图像都在y轴的右边，且均过点（1,0）；（2）函数y=log2x和y=log3x在(0,+∞)上是增函数；函数y=logx和y=logx在(0,+∞)上是减函数.由以上实例，我们可以归纳出对数函数y=logax(a>0,a≠1) 第六节对数和对数函数具有下列性质：（1）定义域是(0,+∞),值域是R；（2）图像都经过点(1,0)；（3）在定义域内，当a>1时是增函数，如图3-23（a）所示；当00时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根x1，x2，对应的二次函数的图像与x轴有两个交点(x1，0)，(x2，0)，此时二次函数有两个零点，为x1，x2．(2)当Δ=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根x0，对应的二次函数的图像与x轴有一个交点(x0，0)，此时二次函数有一个零点，为x0． 第七节函数与方程(3)当Δ<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，对应的二次函数的图像与x轴无交点，此时二次函数无零点．可见，求方程f(x)=0的实数根，就是确定函数y=f(x)的零点．一般地，对于不能用公式法求根的方程f(x)=0来说，我们可以将它与函数y=f(x)联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根． 第七节函数与方程观察二次函数．f(x)=x2-2x-3的图像(参见图3-24)，可以发现：在区间［－2，1］的端点上，f(-2)>0，f(1)<0，即f(-2)·f(1)<0，函数f(x)=x2-2x-3在区间(-2，1)内有零点x=-1，它是方程x2-2x-3=0的一个根．同样，在区间［2，4］的端点上，f(2)<0，f(4)>0，即f(2)·f(4)<0，函数f(x)=x2-2x-3在区间(2，4)内有零点x=3，它是方程x2-2x-3=0的另一个根． 第七节函数与方程一般地，我们有：如果函数y=f(x)在区间［a，b］上的图像是一条连续不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根． 第七节函数与方程【【例例1 1】】 第七节函数与方程• 课堂堂练习1.利用函数图像判断下列方程有没有根，有几个根：(1)-x2+3x+5=0；(2)2x(x-2)=-3；(3)x2=4x-4；(4)5x2+2x=3x2+5.2.求证方程2x2+3x-5=0有两个不相等的实数根. 第七节函数与方程 用二分法求方程的近似解 二、对于一元二次方程，我们可以用公式求根，但是没有公式可用来求方程x3+x2-2x-2=0的根.联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求它的根呢?对于函数f(x)=x3+x2-2x-2，由f(1)=-2<0，f(2)=6>0，可知f(1)·f(2)<0.所以，函数f(x)=x3+x2-2x-2在区间(1，2)内有零点.进一步的问题是如何求出这个零点? 第七节函数与方程一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.为了方便，下面我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.取区间(1，2)的中点1.5，计算得f(1.5)=0.625>0.因为f(1)·f(1.5)<0，所以零点在区间(1，1.5)内.再取区间(1，1.5)的中点1.25，计算得f(1.25)≈-0.984<0.因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以零点在区间(1.25，1.5)内. 第七节函数与方程再取区间(1.25，1.5)的中点1.375，计算得f(1.375)≈-0.260<0.因为f(1.375)·f(1.5)<0，所以零点在区间(1.375，1.5)内.再取区间(1.375，1.5)的中点1.4375，计算得f(1.4375)≈0.162>0.因为f(1.375)·f(1.4375)<0，所以零点在区间(1.375，1.4375)内.由(1，2)→(1，1.5)→(1.25，1.5)→(1.375,1.5)→(1.375，1.4375)可知，零点所在的范围确实越来越小了.如果继续重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小. 第七节函数与方程学习提示学习提示 第七节函数与方程这样，在一定精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值.特别地，可以将区间端点作为零点的近似值.例如，当精确度为0.1时，由于｜1.4375-1.375｜=0.0625<0.1，此时区间(1.375，1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4.所以，我们可以将x=1.4作为函数f(x)=x3+x2-2x-2在区间(1，2)内零点的近似值，也即方程x3+x2-2x-2=0根的近似值. 第七节函数与方程对于在区间［a，b］上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法.给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间［a，b］，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点x1； 第七节函数与方程(3)计算f(x1)；①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；②若f(a)·f(x1)<0，则令b=x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若f(x1)·f(b)<0，则令a=x1(此时零点x0∈(x1，b))；(4)判断是否达到精确度ε：若｜a-b｜<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4). 第七节函数与方程由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以借助计算器完成计算. 第七节函数与方程【【例例2 2】】 第七节函数与方程再取区间(0.25，0.5)的中点x3=0.375，用计算器可求得f(0.375)≈-0.254<0.于是有f(0.375)·f(0.5)<0，所以零点在区间(0.375，0.5)内.再取区间(0.375，0.5)的中点x4=0.4375，用计算器可求得f(0.4375)≈0.176>0.于是有f(0.375)·f(0.4375)<0，所以零点在区间(0.375，0.4375)内.因为｜0.4375-0.375｜=0.0625<0.1，此时区间(0.375，0.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是0.4.所以，我们可以将x=0.4作为函数f(x)=10x+x-3在区间(0，1)内零点的近似值. 阅读材料百万英镑的遗嘱美国著名的科学家，避雷针的发明人，本杰明·富兰克林（B.Franklin，1706—1790）一生为科学和民主革命而工作，他死后留下的财产只有1000英镑.令人惊讶的是，他竟留下了一份分配几百万英镑财产的遗嘱！这份有趣的遗嘱是这样写的： 阅读材料“……1000英镑赠给波士顿的居民，如果他们接受了这1000英镑，那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民，他们得把这钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息.这笔钱过了100年增加到131000英镑.我希望，那时候用100000英镑来建立一所公共建筑物，剩下的31000英镑拿去继续生息100年.在第二个100年年末，这笔款增加到4061000英镑，其中1061000英镑还是由波士顿的居民来支配，而其余的3000000英镑让马萨诸塞州的公众来管理.过此之后，我可不敢多作主张了！”富兰克林留下区区的1000英镑，竟立了百万富翁般的遗嘱，莫非昏了头脑？！让我们按照富兰克林非凡的设想实际计算一下. 阅读材料设富兰克林留下的1000英镑在n(n=0,1,…,100)年年末增加到yn英镑，则yn=1000·(1+5%)n.显然这是一个指数函数，不难算得第100年年末，即n=100时，富兰克林的财产为y100=1000·(1+5%)100≈131501（英镑），这比富兰克林遗嘱中写的还多出501英镑.100年后拿出100000英镑后还剩下31501英镑，这笔款在m(m=0,1,…,100)年年末增加到ym′英镑，则ym′=31501·(1+5%)m. 阅读材料所以在第二个100年年末，富兰克林拥有的财富为y100′=31501·(1+5%)100≈4142421（英镑）.可见富兰克林的遗嘱在科学上是站得住脚的！由此可见指数函数的威力. 感谢聆听批评指导 。
