高中数学 第四章 导数应用 1.1 导数与函数的单调性课件 北师大版选修11.ppt

第四章　§1　函数的单调性与极值1.1　导数与函数的单调性学习目标1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断(证明)函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学问题导学思考　　知识点一　函数的单调性与导函数正负的关系观察下列各图，完成表格内容函数及其图像切线斜率k正负导数正负单调性正___[1，＋∞)上单调__________R上单调____正正正递增递增___负(0，＋∞)上单调__________(0，＋∞)上单调__________(－∞，0)上单调____负负负负负递减递减递减梳理梳理一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上(1)如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上是增加的.(2)如果f′(x)<0，则f(x)在该区间上是减少的.导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性>0 0 角____单调____<0 0 角____单调____><上升下降递增递减锐钝思考　　知识点二　函数的变化快慢与导数的关系我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？如图所示，函数y＝f(x)在(0，b)或(a，0)内导数的绝对值较大，图像“陡峭”，在(b，＋∞)或(－∞，a)内导数的绝对值较小，图像“平缓”.答案梳理梳理一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓”一些.题型探究题型探究例例1　　已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f′(x)的图像可能是图中的类型一　原函数与导函数的关系答案解析(1)对于原函数图像，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区间内导数值大于零.在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定导函数图像.(2)对于导函数的图像可确定原函数的增减区间及增减快慢.反思与感悟跟跟踪踪训训练练1　　已知y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的图像最有可能是如图所示的答案解析命题角度命题角度1　求函数的单调区间　求函数的单调区间例例2　　求f(x)＝3x2－2ln x的单调区间.类型二　单调区间的求解及单调性证明f(x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞).解答求函数y＝f(x)的单调区间的步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域.(2)求导数y′＝f′(x).(3)解不等式f′(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数.(4)解不等式f′(x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数.反思与感悟跟踪训练跟踪训练2　　求函数f(x)＝ 的单调区间.函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞).解答因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.由f′(x)>0，得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)<0，得x<3.又函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2，3).命题角度命题角度2　证明函数的单调性　证明函数的单调性例例3　证明函数f(x)＝ 在区间(0，2)上是单调递增函数.证明∵00，根据导数与函数单调性的关系，可得函数f(x)＝ 在区间(0，2)上是单调递增函数.利用导数证明不等式的一般步骤(1)构造函数：F(x)＝f(x)－g(x).(2)求导：F′(x)＝f′(x)－g′(x).(3)判断函数的单调性.(4)若F(x)在区间上的最小值大于等于0，则f(x)≥g(x)；若F(x)在区间上的最大值小于等于0，则f(x)≤g(x).反思与感悟解答则cos x<0，所以xcos x－sin x<0，例例4　　若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上是增加的，则k的取值范围是_________.类型三　含参数函数的单调性答案[1，＋∞)解析引申探究引申探究试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间.解析当k≤0时，函数的单调递减区间为(0，＋∞)；(1)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准.(2)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意.反思与感悟(3)恒成立问题的重要思路①m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max；②m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.跟踪训练跟踪训练4　　已知函数f(x)＝x2＋2aln x.(1)试讨论函数f(x)的单调区间；解答(2)若函数g(x)＝ ＋f(x)在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围.解答由已知函数g(x)为[1，2]上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1，2]上恒成立，当堂训练当堂训练1.f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是A.(－∞，2) B.(0，3)C.(1，4) D.(2，＋∞)√√2233445511f′(x)＝ex＋(x－3)·ex＝(x－2)ex>0，解得x>2.∴f(x)的单调递增区间是(2，＋∞).答案解析2.函数y＝f(x)在定义域( ，3)内可导，其图像如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集是2233445511√√答案解析∵函数f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)上是增加的，∴f′(x)＝3x2＋4x＋m≥0在R上恒成立，则判别式Δ＝16－12m≤0，即m≥22334455113.若函数f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)上是增加的，则m的取值范围是√√答案解析22334455114.若函数y＝f(x)＝a(x3－x)的单调减区间为 ，则a的取值范围是_________.答案解析(0，＋∞)y′＝axln a－ln a＝ln a(ax－1)，当a>1时，因为ln a>0，ax<1，所以y′<0，即y在(－∞，0)上是减少的；当01，所以y′<0，即y在(－∞，0)上是减少的.综上，函数y＝ax－xln a在(－∞，0)上是减少的.22334455115.已知a>0且a≠1，证明：函数y＝ax－xln a在(－∞，0)上是减少的.证明规律与方法1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.2.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.本课结束。