利用抛物线的对称性解题.docx

利用抛物线的对称性解题b我们知道，抛物线y= ax2 + bx + c是以直线x=—亍为对称轴的轴对称图形，它2a 的顶点在对称轴上.由此可以进一步得到如下结论：（1）抛物线上纵坐标相同的两点是 对称点，抛物线上对称两点的纵坐标相同.（2）若抛物线上有两点（xl，yl）, （x2，yl）,x + x则抛物线的对称轴为：直线x= 1 2 2 .解决有关抛物线的问题时，若能利用抛物线的 对称性,则常可以另辟解题新路,使解题过程简化.下面结合中考试题说明其应用.例1 （2010,河北）如图1,已知抛物线y = x2 + bx + c的对称轴为x = 2，点A, B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0,3）,则点B的坐标为（ ）.A.（ 2， 3）C.（ 3， 3）B.（ 3， 2）D.（ 4， 3）图3解析：由点A, B均在抛物线上，且AB与x轴平行可知，点A, B关于x = 2对称，设点B的横坐标为xB，则晋b =2,从而解出xB = 4,于是可知点B坐标为（4,B 2 B3 ） , 故选 D .例 2 （2010，山东日照）如图 2 是二次函数y=ax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线 x=1若其与 x 轴一交点为 A（3， 0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c V 0的解集是 .解析：由抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一交点为（一1, 0）, ax2+bx+cV0 的解集就是抛物线落在 x 轴下方的部分所对应的 x 的取值，因此不等式 ax2+bx+cV0的解集是一1VxV3.例3 （2010,浙江金华）若二次函数y = -x2 + 2x + k的部分图象如图3所示，则关于x的一元二次方程-x 2 + 2x + k = 0 的一个解 x1 = 3，另一个解 x2 = 解析：观察二次函数y = -x2 + 2x + k的部分图象可知，它的对称轴是x=1,因为它与x轴的一个交点是（3,0）,所以它与x轴的一个交点是（-1,0） •所以关于x的一元二次方程-x2 + 2x + k = 0的两个解xi = 3，x2 = -1，故填-1.评析：本题考察二次函数与一元二次方程之间的关系，解答问题的关键是要善于 读懂函数的图象信息.的对称轴是直线x二1,且经过点 P（ 3， 0），则a — b + c的值为（)A. 0 B. －1C. 1D. 2解析：由抛物线的对称轴x二1，及点P3， 0），可求出抛物线上点 P 关于对称例4如图4,抛物线y二ax2 + bx + c（a > 0）轴x二1的对称点的坐标为Q（-1，0），由于Q在抛物线上，有（-1, 0）满足关系式, 所以a — b + c =0，故选A.评析：本题设计非常巧妙，独具匠心，若不用这种方法将有点麻烦．例 5 （2005，山东省中考题）抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A（-2,7）， B（6,7）， C3， -8），则该抛物线上纵坐标为-8 的另一点的坐标是 .解析：由点A （-2,7），B （6,7）的纵坐标相同，可知A、B关于抛物线的对称轴对—2 + 6 一 一称，且对称轴方程为x = =2.于是设该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标为3 + x（x2,-8）,则有2= 2，从而得x = 1,故答案为（1,-8）.2 2 2评析：本题两次运用抛物线的轴对称性，，大大降低了难度及运算.若用常规解法 为：由 A、 B、 C 三点列出关于 a、 b、 c 的三元一次方程组求出抛物线的关系式，再令 y=-8,解关于x的一元二次方程选出不同于3的根，得出答案，显然非常麻烦！1例6 （ 2010,四川南充）已知抛物线y = — 2 x2 + bx+4上有不同的两点E(k + 3,—k2 +1)和 F(—k — 1, —k2 +1). (1)求抛物线的解析式.(2)、(3) 略分析：（1）的关键是确定一次项系数b.观察抛物线上不同的两点E（k + 3, — k2 +1） 和F（—k — 1, —k2 +1），纵坐标相同，因此判断得点E和点F关于抛物线对称轴对称.解：1b(1)抛物线y二—2x2 + bx + 4的对称轴为x =-一厂〒2 2 xl —1I 2丿*.*抛物线上不同两个点E(k + 3,—k2 + D和F(—k — 1,—k2 +1)的纵坐标相同,点E和点F关于抛物线对称轴对称，则(k + 3) + (—k — 1)2且 kH—2.1••・抛物线的解析式为y二—-x2 + x + 4 .评析：这是一道有一定难度的综合题.初接触时，思路不易打开，做完后又觉得 不太难．本题考查学生的阅读理解能力和分析问题、解决问题的能力．从抛物线的对称性入手，解法十分简便．例7 (2010, 山东聊城)如图5,已知抛物线y=ax2+bx+c (aMO)的对称轴为x两点,与 x 轴交于另一点 B.=1,且抛物线经过A (-1, 0)、C (0,-3)(1) 求这条抛物线所对应的函数关系式；(2) 在抛物线的对称轴x=1上求一点M, 使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；分析：(1)由点C (0,-3)知c=-3，只需求得a、b两个未知的系数，根据点 A (-1,0)和对称轴x=1,利用待定系数法可求解；(2)由抛物线的对称性知，直线 x=1是AB的垂直平分线，因此MA=MB,要使得MA+MC最小，只要MC+MB最小， 所以点M就是直线BC与抛物线对称轴的交点.解：(1)：°抛物线经过点C (0,—3).・.c=-3,.°・y=ax2+bx-3，又抛物线经过a = 1, b = —2.a — b — 3 = 0，点A (-1, 0),对称轴为x=1,所以＜ b 解得——=1.、2a・••抛物线的函数关系式为y=x2-2x-3(2)V 点 A (-1,0),对称轴为 x=1,.点 B (3, 0).连接BC,交对称轴x=1于点M.•・•点M在对称轴上，MA=MB ,.•・直线BC与对称轴x=1的交点即为所求的M点.设直线BC的函数关系式为y=kx+b,由 B( 3 ，0 )， C( 0 ，－ 3 )，解得 y=x-3,由 x =1, 解得 y= -2.当点M (1, -2)时，M到点A的距离与到点C的距离之和最小.评析：本题涉及知识点有求二次函数的关系式、抛物线的对称轴、线段的垂直平 分线，此题是二次函数中的一个动态问题．第(2)问利用了在直线上找一个点，使它 分别与直线的同侧的两点间的距离和最小的基本图形来解决问题．。