闭区间上连续函数的性质.doc

§4.2 闭区间上连续函数的性质一、 性质的证明定理1.（有界性）若函数在闭区间[a,b]连续，则函数在闭区间[a,b]有界，即>0,[a,b],有||≤.证法：由已知条件得到函数在[a,b]的每一点的某个邻域有界.要将函数在每一点的邻域有界扩充到在闭区间[a,b]有界，可应用有限覆盖定理，从而得到>0.证明：已知函数在[a,b]连续，根据连续定义，[a,b]，取=1，>0,()[a,b],有||<1.从而()[a,b]有||≤||+<+1即[a,b]，函数在开区间()有界显然开区间集{ ()|[a,b] }覆盖闭区间[a,b].根据有限覆盖定理（4.1定理3），存在有限个开区间，设有n个开区间{（）|[a,b] }，k=1,2,3,…,n也覆盖闭区间[a,b] ，且（）|[a,b]，有||≤+1，k=1,2,3,…,n取=max{}+1. 于是[a,b]，{1，2,…，n},且（）[a,b]，有||≤+1≤定理2（最值性）：若函数在闭区间连续，则函数在区间能取到最小值m与最大值M，即：使：与证明：根据定理3，数集有界设：sup用反证法：假使有

定理3.(零点定理) 若函数在闭区间连续，且<0(即与异号)，则在开区间（a,b）内至少存在一点,使=0证明：不妨设<0，>0.用反证法，假设[a,b]，有≠0，将闭区间二等分，分点为.已知≠0，如果>0,则函数在闭区间的两个端点的函数值的符号相反；如果<0,则函数在闭区间[,b] 的两个端点的函数值的符号相反.于是两个闭区间与[,b]必有一个使函数在其两个端点的函数值的符号相反.将此闭区间表为[]，有<0，再将[]二等分，必有一个闭区间，函数在其两个端点的函数值的符号相反.将此闭区间表为[]，有<0，用二分法无限进行下去，得到闭区间{[]}（），且1）[a,b] []…[]……;2)= =0对每个闭区间[]，有<0，根据闭区间套定理（4.1定理1），存在唯一数属于所有的闭区间，且== （1）而[a,b]，且≠0，设>0.一方面，已知函数在连续，根据连续函数的保号性，>0,:||<,即 ，有>0;另一方面，由（1）式，当n充分大时，有[]，已知<0，即函数在中某点的函数值小于0，矛盾.于是，≯0.同法可证≮0.所以闭区间[]内至少存在一点,使=0.二、 一致连续性已知：在连续，即：，,(限定，取于是：，,。

由此看出，对同一，的不同的点，使上式成立的的大小不同，换句话说，的大小不仅与给定的有关，同时也与点在中的位置有关区间有无限多个，相应地存在无限多个，那么这无限多个中是否存在一个公用的，（即最小的），使，： 呢？事实上，在区间上的连续函数中，有的存在公用的，有的不存在公用的存在的，就是一致连续）定义：设函数定义在区间上，若,，，：，则称函数在区间上一致连续（均匀连续）比较与连续概念的异同在连续，,一致连续的，是任意的，与无关；连续中的是固定的，与有关一致连续是整体性质，是关于区间来谈的连续是局部性质，是针对区间中的一点来谈的从定义可知： “一致连续连续”，但不能说“连续一致连续”非一致连续（在）定义：，，，：例1、2 定理4（一致连续性）：若在连续，则在一致连续证法：应用反证法与致密性定理证明：假设函数在[a,b]非一致连续，即，，，[a,b]：||<,有||≥.取=1，，[a,b]：||<1，有||≥.取=，，[a,b]：||<，有||≥.…取=，，[a,b]：||<，有||≥.…这样的闭区间[a,b]构造两个有界数列{}与{}根据致密定理（4.1定理5）数列{}存在收敛的子数列{}，设=[a,b]因为||<,所以，也有=. 一方面，已知函数在连续，有||=||=0即当充分大时，有||<另一方面，,有||≥矛盾，即函数在闭区间[a,b]一致连续.定理指出：函数在闭区间上连续与一致连续等价。

证明：函数在内连续，函数在内一致连续的必要充分条件是与都存在3（3）.证明：函数在一致连续证明：将分为 ，，， ， 取于是，， ，：即：在一致连续又在连续， 在连续，因此在一致连续即：，，，，取，那么，，且时，有，或，于是，， ，，即：在一致连续8.证明：若函数在连续，且，则函数在一致连续证明：已知 即：，，， 又在连续，在连续因此在一致连续即：：， ，，，取于是：，，，即在一致连续例：用一致连续定义证明：若函数在与都一致连续，则函数在一致连续证明：已知在一致连续，在一致连续即：，，，： ，，，：取 ，，，，当，或时，已有，若，，则即：， ，，：在上一致收敛10.证：在上连续，在上一致连续取定自然数，使，即现将等分成个小区间：，，……故对， ，有 ，从而有证毕。