变量可分离型的三维定态问题.doc

第五章 变量可分离型的三维定态问题2第五章 目 录 §5.1 有心势 ...............................3(1) 不显含时间的 dingeroSch 方程解在 0r的渐近行为 ..........................................4(2) 三维自由粒子运动 ............................5(3) 球方势阱 ....................................8(4) 氢原子 .....................................13(5) 类氢离子 ...................................22§5.2 Hellmann－Feynman 定理 ..............23§5.3 三维各向同性谐振子 ..................25§5.4 带电粒子在外电磁场中的薛定谔方程， 恒定均匀场中带电粒子运动 ...........28(1) 带电粒子在外电磁场中的 dingeroSchquatio....28(2) 正常塞曼效应（Normal Zeeman Effect） .......30(3) 带电粒子在均匀强磁场中的运动 ...............32(4) 磁通量的量子化 .............................333第五章 变量可分离型的三维定态问题对体系，我们可根据 进行完全描述，当我们知道初态 ，便可求出)t,r(),r(0。

当 不显含 t 时，)t,r(HˆHˆti有特解 /tiEne)r(u,()pˆr所以通解为 ，n)t,(ct,(而 可由 t=0 时的初始态 求出nc),r0我们讨论一些特殊位势下的三维问题，即变量可分离型的位势问题§5.1 有心势这是一种特殊形式的位势，是空间各向同性的，即)r(V当粒子在该力场中运动时，其能量本征方程可写为)r(uE)(m()rupˆ,(Hnnn2而 rLˆ221我们可看到02]ˆ,L[zH，]ˆ,[z因此， 是两两对易当共同本征函数组不简并时，它们构成一组力学量Lˆ,2完全集（球对称势的体系都有这一特点） 4所以，我们可以以 的本征值（即量子数）对能量本征方程的特解进行分zLˆ,H2类即以完全集的力学量的量子数来标记能量本征函数令 ),(Y)rR)(ulmnll 于是有 ，得)r(Eu)r(V)(rLˆr(mnlmnll 221，即得012)(R()d(22 )r()r(Rl()r( 为了求解 下的能量本征方程解我们先要了解边条件的性质。

V(1) 不显含时间的 方程解在 的渐近行为dingeroSch0rA．若 时 ，仅当 时才确有束缚态mr)()A(02m根据维里定理（Virial Theorem） ，如 是 x,y,z 的 n 次齐次函数，则有 )r(V（在定态上） nT2对于上述势而 )m(VE21但在这类位势下，束缚态 ，所以存在束缚态的条件为 , 即仅当020m时，才有束缚态02  r)(VB．在 时，径向波函数应满足 )r(R由径向方程 02122 )r(RVE()(rl()R(dr 当 时，方程的渐近式为0022)(rl()(r5于是，若 有渐近解为 ，则有rRsr，)l()s(1可得解 slls2对于 渐近行为为 ，则rR1r0  r)(R而对于 渐近行为为 ，显然 不满足平方可积，即l,32，而它在 时，比 快1lr~0r1r对 ， ，即 但显然，在 附近， 不是解0lRu因 （对任何 都应满足） ，)r(E)r(Vm(2r但 这就要求41，)r(r)(2这显然不被满足。

所以，在 时， 的渐近行为应为 （即 ） ，也即0R1llr~R0 r)(（2）三维自由粒子运动因 ，所以可选力学量完全集（ ，于是有0)r(V)Lˆ,Hz20122r(Rk)(]rld[ mEk令 r60122)(R]l[)(d)(R这即为球贝塞尔函数满足的方程而要 处为有限的解是；sin)d(c)(jlll1而在 处为无穷的解是0 cos)d()(c)(Rlll 1，0])l([!)l(~)jl 322；])l([l)ll 1， ，sinc~)(jRl2)los(c)()(l由于 的条件，所以自由粒子的本征函数为0  rR，),(Y)krj),(ulmlklm2El三维自由粒子的能谱形成一连续谱现对所得结果进行讨论：我们知道，自由粒子，其哈密顿量 )pˆˆ(mHˆzyx221，0]H,[],[],p[并且 ，ˆˆˆyzxyx7所以，它们既是运动常数又彼此对易因此，选它们作为力学量完全集是比较好的其共同本征函数/rpipe)(uzyx231或 rkike)(zyx23而前述， 作为力学量完全集，有共同本征函数组Lˆ,H2，),(Y)krj),r(ulmlklm它当然是完备的。

因此， 可按它展开ie),r(uaeklllrki 0),(Y)jlmll 如取 方向在 方向（即为 轴） ，则kzz（即与 无关）),()krjaelllcosiri  00= )(cosP)jlll对 求导得 kr)(cs)krjc)(sco)(ji llllll 00由递推关系 )]r(jl()krlj[)kr(j ll 112,)](cosP)l((coslP[)(cosPll 1于是有 )]()l(l[ij lll 1028)(cosP)]krjl()krlj[c lll 1102比较系数有1llcic223lli01cil2)l(i而当 时0kr1cosie， 0l)(jl，但)(cosP)l(iellkrcosi 0121)(P00于是 )(cos)rjl(ielllikz 2当 在任意方向，则（ 之间夹角） )(cosP)krjl(ielllrki 012rk和为由 ),(Y),(l)(cosPlmmk*ll 1240ll k*llrki ),(),()rjie所以， ,m,l lmk*li )r(u),(i)(239即得。

m,l klm*lrki ),r(u),(Yie)(231这即平面波按分波展开（固定 ）（3）球方势阱考虑位势为 arV)(0令 lmRYu其径向方程为 ar)R](rlE[)r(d01222)](lV([)R( 202A. 0E令 ， 2mk20)E(则有ar)i(c)ri(jkA)r(Rll21在区域 ，并不要求 处有界，所以, 应为两个解的线性组合但a0要求波函数在无穷远处为 ，即当 有ri)lcos(ri)lsn(c221 ])e[ci]e[(ri lirlirlili 22212  ]e)ci(e)ci[(r lirlir2121 10, 0  r则，21ci即, lB1li2于是有)]ri()i(j[)r(Rlhl1其中 )(ij)(hll 1cos)d(isndlll1ille)()i(1]l(i[ei)l(2要求两区域的波函数及其导数在 处连续，即ar，ar)(larl dihnd)k(jn1从而确定 的可能值，即本征值。

E下面讨论 的解0l当 ，则有krsin)(jeh)(10令 ， ，a则由连续条件得，ctg11以及 202amV显然， 在二，四象限讨论：1） 由图可知， ，则无解；2120)a(2） 当 ，则仅有一个解3)mV(这时 所以， 在 区间无节点kakr0a3） 当 ，有二个解2521)a(一个解 ，无零点；k另一个解 所以， 有一个零点23a20kr归一化系数，可经由方程给出),(Y)rk(j])a(l)k(j[),r(u lmnllnnllmn rr 2121当 ， ，这时 0V区域的波函数为 由连续条件， ，即有根 0)ak(jlnr akxlnlr),(321l nr 1 2 30 π 2π 3π 1 5.76 9.10 … 2 6.99 10.42 … B．当 0VE12令 ， 21)mE(k210])VE([kar)R](rl[)rR(d22)](lk[)( 01arjAll r)(c)(cRlllk1211无妨设 osBl，)(incl12则由 rrk)lsi()r(jl112r)lcos()r(l 11rk)](lsin[B)r(Rllk121   事实上，对于自由粒子 。

所以，力场的性r)lsi()r(kl 质反映在 上）)(l1由 的连续条件ararllarl dr)k(sin)k(jconld)k(jnd 11如令 （微商对宗量）lll)(j13则有 )ak()(kjj)(tglll 111当 给定（即 给定） ，则由方程给出一系列 E,aV0 )(l1),20所以，当 时，有一连续谱这时 ，有渐近解r]e)k(Se[r~k)lsin(~R )lril)lk(illk 2121112 )(ille)(S1与自由粒子比较 ]ee[r~R)lkr(i)l(ikl 221可以看出，力场对粒子作用，主要反映在 上，即 上，改变出射S1l)k(1l波的位相（至于 和 仅反映粒子在不同位势时的波数不同） 1（4）氢原子氢原子是最简单的原子，但它反映出典型的两体问题A. 两体问题的质心运动的分离质量为 和 的两个物体，若相互作用仅与它们的位置差有关1m2，)r(V)r,(21这时， )(pˆH21引入相对运动和质心运动21rmR于是有（ ） ，RipP21 21mM14（ ）ri)mp(21 21m， ， i]ˆ,x[ 21x（ 为 ） ）PR,z,y于是有，rRHˆ)r(VpˆMHˆ 2这样一个体系可看作二部分运动合成，一是质心运动，它是自由运动；另一个是相对运动。

是一个质量为 的粒子在势场 中运动21m )(V)r,(E)r,(ˆ令 为一特解，得R),()((HˆrE)r直接得/RPie)(231而相对运动部分为)r(E)r(Vpˆ(2所以，处于位势为 的体系，最普遍的波函数为,2121Pde)r()(eC)t,rR( /tiEE/tRPir 3以后表达式都是内部运动，质量是约化质量B. 氢原子：相互作用只与质子和电子的距离 有关re)r(VHˆ 02224。