天津科技大学11-12学年高等数学(一.二)A卷.doc

题号一二三四五六七八总成绩得分判卷人复核人得分一、填空题（每小题3分,共15分）1. 设函数，则 . 答：1 2. 函数的极小值是 . 答：03. 交换二次积分的次序为 ．答：4. 若幂级数在点条件收敛，此幂级数的收敛半径 ．答：3 5. 若是圆周取逆时针一周，则 ． 答：0 得分二、单项选择题（每小题3分,共15分）请把答案写在括号里1. 若函数由方程确定，则（ ）. 答：B（A）； （B）；（C）； （D）.2．若区域：，则（ ）． 答：B （A） 1； （B）2； （C）4； （D）．3．若区域由直线及两坐标轴围成，记，，则与的大小关系是（ ）．答：A（A）； （B）； （C）； （D）无法确定. 4．设是位于第一卦限的平面，则对面积的曲面积分（ ）． 答：C（A）； （B）； （C）； （D）．5．函数的麦克劳林级数为（ ）， ． 答：D（A）； （B）；（C）；（D） ．得分三、多元函数计算题（共2题,每题6分,共12分）1.求函数的全微分.解：由，有，（2分） 由变量的对称性,得（3分）；又.（4分）所以， （6分）2.设函数，验证该函数满足方程.证明：由于, （2分）； （3分） .（5分）所以, .（6分）得分四、重积分计算题（共2题,每题6分,共12分）1．计算二重积分，区域由直线及围成．解： （3分）．（6分）２．若区域为（），，利用极坐标系计算二重积分．解： （3分） （4分）．（6分）得分五、线面积分计算题（共2题,每题7分,共14分）1．计算曲线积分，其中是螺旋线上对应于从到的一段弧（其中）．解： （4分） ． （7分）2. 计算曲面积分，其中是圆锥面及平面，围成的立体的表面外侧．解：由高斯公式，原式 （2分）（5分）．（7分）得分六、级数题（共3题,每题6分,共18分）1. 判定级数是否收敛，如收敛求其和.解：设级数的部分和为，则 （1分）．（3分），（4分）所以，级数收敛，且和为．（6分）2. 判定级数的收敛性，收敛时，说明是条件收敛，还是绝对收敛.解：令，（1分）而，（3分）故级数收敛，（4分） 因此，级数收敛，且为绝对收敛． （6分）3.求幂级数的收敛半径和收敛区间．解：由，（2分）故收敛半径．（4分）因此，幂级数的收敛区间是．（6分）得分七、极值题（8分）要造一个无盖的长方形容器,已知底部造价为每平米20元,侧面造价为每平米10元.现想用360元造一个容积最大的容器,求该长方形容器的尺寸.解：设容器的长、宽、高分别为.则容器的容积为,且满足条件,即. （2分）设，（3分）由 （4分）得到（5分）。

代入 得唯一可能的极值点（米）（6分）因为由问题本身可知的最大值一定存在，所以其最大值一定在这个极值点处取得（7分）因此，当米时，长方形容器的尺寸最大，其最大容积为立米8分）得分八、证明题（6分）设，，,且级数收敛，证明级数收敛.证明： 因为，且，, 所以（2分）令, 有, 故有. （4分）由于收敛, 所以收敛,从而收敛.（6分） 。