高等数学上37平面曲线的曲率.ppt

上页下页结束返回首页第七节曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关主要内容主要内容:一、一、 弧微分弧微分 二、二、 曲率及其计算公式曲率及其计算公式 三、三、 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径 平面曲线的曲率 第三三章 上页下页结束返回首页一、 弧微分设在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,弧长上页下页结束返回首页则弧长微分公式为或几何意义几何意义:若曲线由参数方程表示:上页下页结束返回首页二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．))弧段弯曲程度弧段弯曲程度越大转角越大越大转角越大转角相同弧段越转角相同弧段越短弯曲程度越大短弯曲程度越大1 1、曲率的定义、曲率的定义)弧段弯曲程度与弧段弯曲程度与 有关有关.转角转角、弧段长度、弧段长度上页下页结束返回首页)yxo（设曲线设曲线C是光滑的，是光滑的，（定义定义曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率上页下页结束返回首页2 2、曲率的计算公式、曲率的计算公式注意注意: :(1) 直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且且半径越小曲率越大半径越小曲率越大.（（课本课本P170P170））)yxo上页下页结束返回首页例例1 1(P171-2)(P171-2)解解显然显然,上页下页结束返回首页三、曲率圆与曲率半径定义定义上页下页结束返回首页1. 有有共同的切线共同的切线，亦，亦即圆与曲线在点即圆与曲线在点M处处相切相切.曲率圆与曲线在点曲率圆与曲线在点M处有以下关系：处有以下关系：2. 有有相同的曲率相同的曲率.3. 因此因此，圆和曲线在，圆和曲线在点点M处处一阶导数相同、一阶导数相同、二阶导数同号二阶导数同号.上页下页结束返回首页例例2 2  解解如图如图, ,受力分析受力分析视飞行员在点视飞行员在点o o作匀速圆周运动作匀速圆周运动, ,O O点处抛物线轨道的曲率半径点处抛物线轨道的曲率半径  上页下页结束返回首页得曲率为得曲率为曲率半径为曲率半径为即即:飞行员对座椅的压力为千克力飞行员对座椅的压力为千克力.上页下页结束返回首页运用微分学的理论运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学研究曲线和曲面的性质的数学分支分支——微分几何学微分几何学.小结小结1. 弧长微分弧长微分或或2. 曲率公式曲率公式3. 曲率圆曲率圆曲率半径曲率半径上页下页结束返回首页思考题思考题 椭圆椭圆 上哪些点处上哪些点处曲率最大？曲率最大？思考题解答思考题解答要使要使 最大，最大， 必有必有 最小，最小，此时此时 最大，最大，上页下页结束返回首页补充补充:参数方程曲率公式参数方程曲率公式上页下页结束返回首页作业:P177: 2, 5, 8 上页下页结束返回首页选讲：选讲： 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径设设 M 为曲线为曲线 C 上任一点上任一点 , 在点在点在曲线在曲线把以把以 D 为中心为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点为半径的圆叫做曲线在点 M 处的处的曲率圆曲率圆 ( 密切圆密切圆 ) , R 叫做叫做曲率半径曲率半径, D 叫做叫做曲率中心曲率中心.在点在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1) 有公切线有公切线;(2) 凹向一致凹向一致;(3) 曲率相同曲率相同 .M 处作曲线的切线和法线处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点的凹向一侧法线上取点 D 使使上页下页结束返回首页设曲线方程为设曲线方程为且且求曲线上点求曲线上点M 处的处的曲率半径及曲率中心曲率半径及曲率中心设点设点M 处的曲率圆方程为处的曲率圆方程为故曲率半径公式为故曲率半径公式为满足方程组满足方程组的坐标公式的坐标公式 .上页下页结束返回首页由此可得曲率中心公式由此可得曲率中心公式(注意注意与与异号异号 )当点当点 M (x , y) 沿曲沿曲线线 移动时移动时,的轨迹的轨迹 G 称为曲线称为曲线 C 的的渐屈线渐屈线 ,相应的曲率中心相应的曲率中心曲率中心公式可看成渐曲率中心公式可看成渐曲线曲线 C 称为曲线称为曲线 G 的的渐伸线渐伸线 .屈线的参数方程屈线的参数方程(参数为参数为x).点击图中任意点动画开始或暂停上页下页结束返回首页例例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨现要用砂轮磨削其内表面削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适问选择多大的砂轮比较合适?解解: 设椭圆方程为设椭圆方程为由例由例3可知可知, 椭圆在椭圆在处曲率最大处曲率最大 ,即曲率半径最小即曲率半径最小, 且为且为显然显然, 砂轮半径不超过砂轮半径不超过时时, 才不会产生过量磨损才不会产生过量磨损 ,或有的地方磨不到的问题或有的地方磨不到的问题.上页下页结束返回首页( 仍为摆线 )例例5. 求摆线的渐屈线方程 . 解解:代入曲率中心公式 , 得上页下页结束返回首页内容小结内容小结曲率中心上页下页结束返回首页点击图片任意处播放点击图片任意处播放\暂停暂停例例2 2上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页证证如图如图（（在缓冲段上在缓冲段上,实际要求实际要求上页下页结束返回首页。