小学奥数3-2-4 环形跑道问题.pdf

环形跑道问题环形跑道问题教学目标教学目标1、 掌握如下两个关系：（1）环形跑道问题同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次（2）环形跑道问题同一地点出发，如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次2、遇见多人多次相遇、追及能够借助线段图进行分析3、用比例解、数论等知识解环形跑道问题本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：路程和=相遇时间速度和路程差=追及时间速度差二、解环形跑道问题的一般方法：环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次这个等量关系往往成为我们解决问题的关键同向：路程差相对(反向)：路程和环线型同一出发点直径两端知识精讲知识精讲nSnSnS+0.5SnS-0.5S模块一、常规的环形跑道问题【例【例 1 1】一个圆形操场跑道的周长是一个圆形操场跑道的周长是 500 米，两个学生同时同地背向而行黄莺每分钟走米，两个学生同时同地背向而行黄莺每分钟走66 米，麻雀每分钟走米，麻雀每分钟走 59 米经过几分钟才能相遇米经过几分钟才能相遇? ?【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答【解析】黄莺和麻雀每分钟共行66 59 125（千米） ，那么周长跑道里有几个125米，就需要几分钟，即500 (66 59) 500 125 4（分钟） 【答案】4分钟【巩固】【巩固】周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走 5555 米，周老师每分钟走米，周老师每分钟走6565 米。

已知林荫道周长是米已知林荫道周长是 480480 米，他们从同一地点同时背向而行在他们第米，他们从同一地点同时背向而行在他们第 1010 次相遇后，次相遇后，王老师再走王老师再走米就回到出发点米就回到出发点考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】填空【关键词】希望杯,4 年级,1 试【解析】几分钟相遇一次：480（5565）=4（分钟）教师寄语教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔110 次相遇共用：410=40（分钟）王老师 40 分钟行了：5540=2200（米）2200480=4（圈）280（米）所以正好走了 4 圈还多 280 米，480280=200（米）答：再走 200 米回到出发点答案】200 米【例【例 2 2】上海小学有一长上海小学有一长300米长的环形跑道，小亚和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒米长的环形跑道，小亚和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑钟跑6米，小胖每秒钟跑米，小胖每秒钟跑4米，米，(1)小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少米？小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少米？(2)小亚第二小亚第二次追上小胖两人各跑了多少圈？次追上小胖两人各跑了多少圈？【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答【关键词】春蕾杯，小学数学邀请赛，决赛【解析】第一次追上时，小亚多跑了一圈，所以需要300 (6 4) 150秒，小亚跑了6150 900（米） 。

小胖跑了4150 600（米） ；第一次追上时，小胖跑了2圈，小亚跑了3圈，所以第二次追上时，小胖跑4圈，小亚跑6圈答案】小胖跑4圈，小亚跑6圈【巩固】【巩固】小张和小王各以一定速度，在周长为小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步小王的速度是米的环形跑道上跑步小王的速度是200米米/ /分小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，分小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米少米/ /分？小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追分？小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？上小王？【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答【解析】两人相遇， 也就是合起来跑了一个周长的行程 小张的速度是500 1 200 300（米/分） 在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长） ，因此需要的时间是：500 (300 200) 5（分） 3005 500 3（圈） 【答案】300米/分3圈【巩固】【巩固】一条环形跑道长一条环形跑道长 400400 米，甲骑自行车每分钟骑米，甲骑自行车每分钟骑 450450 米，乙跑步每分钟米，乙跑步每分钟 250250 米，两人同时米，两人同时从同地同向出发，经过多少分钟两人相遇？从同地同向出发，经过多少分钟两人相遇？【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答【解析】400 （450 250） 2(分钟)【答案】2分钟【巩固】【巩固】小新和正南在操场上比赛跑步，小新每分钟跑小新和正南在操场上比赛跑步，小新每分钟跑 250 米，正南每分钟跑米，正南每分钟跑 210 米，一圈跑道米，一圈跑道长长 800 米，他们同时从起跑点出发，那么小新第三次超过正南需要多少分钟？米，他们同时从起跑点出发，那么小新第三次超过正南需要多少分钟？【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答【解析】小新第一次超过正南是比正南多跑了一圈， 根据S差 v差t ，可知小新第一次超过正南需要：800 （250 210） 20(分钟 )，第三次超过正南是比正南多跑了三圈，需要800 3 （250 210） 60(分钟)【答案】60分钟【巩固】【巩固】幸福村小学有一条幸福村小学有一条 200200 米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6 6 米，晶晶每秒钟跑米，晶晶每秒钟跑4 4 米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第2 2 次追上晶晶时次追上晶晶时两人各跑了多少圈？两人各跑了多少圈？【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答【解析】这是一道封闭路线上的追及问题， 冬冬与晶晶两人同时同地起跑， 方向一致 因此，当冬冬第一次追上晶晶时，他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道的一个周长 (200 米)，又知道了冬冬和晶晶的速度， 于是， 根据追及问题的基本关系就可求出追及时间以及他们各自所走教师寄语教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。

2的路程冬冬第一次追上晶晶所需要的时间：200 （6 4） 100(秒)冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：6100 600(米)晶晶第一次被追上时所跑的路程：4100 400(米)冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数：（6002） 200 6(圈)晶晶第 2 次被追上时所跑的圈数：（4002） 200 4(圈)【答案】4圈【巩固】【巩固】 小明和小刚清晨来到学校操场练习跑步，小明和小刚清晨来到学校操场练习跑步， 学校操场是学校操场是 400400 米的环形跑道，米的环形跑道， 小刚对小明说：小刚对小明说：“咱“咱们比比看谁跑的快”们比比看谁跑的快” ，于是两人同时同向起跑，结果，于是两人同时同向起跑，结果1010 分钟后小明第一次从背后追上小刚，分钟后小明第一次从背后追上小刚，同学们一定知道谁跑得快了，同学们一定知道谁跑得快了，小明的速度是每分钟跑小明的速度是每分钟跑 140140 米，米，那么如果小明第那么如果小明第3次从背后追次从背后追上小刚时，小刚一共跑了上小刚时，小刚一共跑了米米【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】填空【关键词】学而思杯，4 年级【解析】140 10 400 1000米，1000 3 3000米。

答案】3000米【巩固】【巩固】 如图如图 1 1，有一条长方形跑道，甲从，有一条长方形跑道，甲从A A 点出发，乙从点出发，乙从C C 点同时出发，都按顺时针方向奔跑，甲点同时出发，都按顺时针方向奔跑，甲每秒跑每秒跑 5 5 米，乙每秒跑米，乙每秒跑 4.54.5 米当甲第一次追上乙时，甲跑了米当甲第一次追上乙时，甲跑了圈考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】填空【关键词】希望杯，4 年级，1 试【解析】 (10+6)(5-4.5)=32 秒，甲跑了 53232=5 圈【答案】5 圈3 3】两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑甲每分钟跑两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑甲每分钟跑 250 米，乙每分钟跑米，乙每分钟跑 200米，两人同时同地同向出发，经过米，两人同时同地同向出发，经过 45 分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过多分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？少分钟两人相遇？【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答【解析】在封闭的环形道上同向运动属追及问题， 反向运动属相遇问题同地出发，其实追及路程或相隔距离就是环形道一周的长这道题的解题关键就是先求出环形道一周的长度环形道一周的长度可根据两人同向出发，45 分钟后甲追上乙，由追及问题，两人速度差为：250 200 50(米/分)，所以路程差为：5045 2250(米)，即环形道一圈的长度为2250 米所以反向出发的相遇时间为：2250 （250 200） 5(分钟)【答案】5分钟【巩固】【巩固】两人在环形跑道上跑步两人在环形跑道上跑步 ，两人从同一地点出发，小明每秒跑，两人从同一地点出发，小明每秒跑3 3 米，小雅每秒跑米，小雅每秒跑4 4 米，反米，反向而行，向而行，4545 秒后两人相遇。

如果同向而行，几秒后两人再次相遇秒后两人相遇如果同向而行，几秒后两人再次相遇【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答【解析】（4+3）45=315 米环形跑道的长（相遇问题求解） 315（4-3）=315 秒（追及问题求解）【答案】315 秒【巩固】【巩固】一条环形跑道长一条环形跑道长 400400 米，小青每分钟跑米，小青每分钟跑 260260 米，小兰每分钟跑米，小兰每分钟跑 210210 米，两人同时出发，米，两人同时出发，教师寄语教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔3【例【例经过多少分钟两人相遇经过多少分钟两人相遇【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答【解析】小青每分钟比小兰多跑 50 米一圈是 400 米 400/50=8 所以跑 8 分钟【答案】8 分钟【巩固】【巩固】甲、乙两人从甲、乙两人从 400400 米的环形跑道上一点米的环形跑道上一点 A A 背向同时出发，背向同时出发，8 8 分钟后两人第五次相遇，已分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走知每秒钟甲比乙多走 0.10.1 米，那么两人第五次相遇的地点与点米，那么两人第五次相遇的地点与点 A A 沿跑道上的最短路程是多沿跑道上的最短路程是多少米少米? ?【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答【解析】176【答案】1764 4】在在 300300 米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑 2 2 分分 3030秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？【考点】行程问题之环形跑道【难度】2 星【题型】解答【解析】同向而跑，这实质是快追慢起跑后， 由于两人速度的差异，造成两人路程上的差异， 随着时间的增长， 两人间的距离不断拉大， 到两人相距环形跑道的半圈时， 相距最大 接着，两人的距离又逐渐缩小，直到快的追上慢的，此时快的比慢的多跑了一圈背向而跑即所谓的相遇问题，数量关系为：路程和速度和相遇时间同向而行 2 分 30 秒相遇，2分 30 秒150 秒，两个人的速度和为：300 150=2（米/秒） ，背向而跑则半分钟即30 秒相遇，所以两个人的速度差为：300 30=10（。