微积分讲义_第二章-极限和连续.pdf

第二章 极限和连续第二章 极限和连续2.1 数列极限2.1 数列极限 一、概念的引入（割圆术）一、概念的引入（割圆术） “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 正六边形的面积A1 正十二边形的面积A2 正6×2n-1形的面积An A1，A2，A3，⋯，An，⋯→⋯S 二、数列的定义二、数列的定义 定义:按自然数1，2，3⋯编号依次排列的一列数x1，x2，⋯，xn，⋯ （1） 称为无穷数列，简称数列其中的每个数称为数列的项，xn称为通项（一般项）数列（1）记为{ xn例如 2，4，8，⋯，2n，⋯；{ 2n} 注意： （1）数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取 （2）数列是整标函数xn=f（n） 三、数列的极限三、数列的极限 1.定义 设{xn}是一数列，如果存在常数a，当n无限增大时，xn无限接近于常数a，则称数列{ xn }收敛限，或者称数列xn收敛于a，记为 如果数列没有极限，就说数列是发散的 例如 2，4，8，⋯，2n，⋯；{ 2n}，发散 ，发散 收敛于0 2.数列极限的性质 （1）唯一性 定理 每个收敛的数列只有一个极限。

（2）有界性 定义: 对数列xn， 若存在正数M，使得一切自然数n, 恒有|xn|≤M成立, 则称数列xn有界，否则，称为例如，数列有界，数列无界 数轴上对应于有界数列的点xn都落在闭区间[-M，M]上 定理 收敛的数列必定有界 注意：有界性是数列收敛的必要条件 推论 无界数列必定发散 （3）保号性 收敛数列的保号性：假设数列{αn}收敛，其极限为α， 1）若有正整数N，n＞N时，αn＞0（或＜0），则α≥0（或α≤0） 2）若α＞0（或＜0，则有正整数N，使得当n＞N时，αn＞0（或＜0） 2.2 级数2.2 级数 1.级数的定义: 称为数项无穷级数（或简称数项级数），un为一般项 2.级数的部分和 3.部分和数列 4.级数的收敛与发散 当n无限增大时，如果级数的部分和数列Sn有极限S， 即则称无穷级数收敛,这的和,并写成 如果Sn没有极限，则称无穷级数发散数项级数收敛存在 例1.讨论等比级数（几何级数） （a≠0）的收敛性 【答疑编号11020101：针对该题提问】 解：如果q≠1时， 当|q|＜1时,收敛 当|q|＞1时发散 如果|q|=1时 当|q|=1时，，级数发散 当q=-1时，级数变为α-α+α-α+⋯ 不存在，级数发散 综上 例2.（56页1（3））判断下列级数的敛散性，并在收敛时求出其和： 【答疑编号11020102：针对该题提问】 解： 由 得级数收敛，其和为。

例3.判断级数的敛散性 【答疑编号11020103：针对该题提问】 例4.判断级数的敛散性，并在收敛时求出其和 【答疑编号11020104：针对该题提问】 例5.判别无穷级数 的收敛性 【答疑编号11020105：针对该题提问】 解 ∴级数收敛，和为 2.3 函数极限2.3 函数极限 两种情形: （1）x→∞情形： （2）x→x0情形：一、自变量趋于无穷大时函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限 定义：设M是任意一个正数，函数f（x）在上有定义，如果存在常数A，当|x|无限时，f（x）无限接近于A，则称A为函数f(x)当x→∞时的极限，或简称为f（x）在无穷大处的极限，记为当x→∞时 定理： 例1.（60页例5、例6）求下列函数的极限 （1） 【答疑编号11020201：针对该题提问】 （2） 【答疑编号11020202：针对该题提问】 解：对于函数 对于函数f（x）=arctanx，由反正切曲线y=arctanx的图形，易见 所以，极限不存在 例2. 【答疑编号11020203：针对该题提问】 例3. 【答疑编号11020204：针对该题提问】 例4. 【答疑编号11020205：针对该题提问】 二、函数在有限点处的极限（自变量趋于有限值时函数的极限）二、函数在有限点处的极限（自变量趋于有限值时函数的极限） 1.定义：给定函数y=f（x）在（x∈D）上有定义，假设点x0的某一去心邻域，如果存在常数函数值f（x）无限接近于A，则称A为函数f（x）当x→x0时的极限，记为或 f（x）→A，当x2.单侧极限 定义：设 f（x）在x0的一个左邻域中有定义，如果存在常数A，使得当时，相应的函数值f（x为函数f(x)当 时的左极限，记为或f（x0-0）。

定理： 例5.62页2：（5）（6）（7） 求函数在指定点的左右极限，判定该点极限是否存在 （5） x=2 【答疑编号11020206：针对该题提问】 （6） x=0 【答疑编号11020207：针对该题提问】 （7），x=0 【答疑编号11020208：针对该题提问】 问题：函数y=f（x）在x→x0的过程中，对应函数值f（x）无限趋近于确定值A 例6.求 【答疑编号11020209：针对该题提问】 注意：函数极限与f（x）在点x0是否有定义无关 三、函数极限的性质三、函数极限的性质 1.唯一性 定理 若limf(x)存在，则极限唯一 2.有界性 定理 （有极限函数的局部有界性）假设存在，则f（x）在x0点的某个邻域中有界，即有常数去心邻域中，有 3.保号性 若，且A＞0（或A＜0） 推论 若时 f(x)≥0（或f(x)≤0），则A≥0（或A≤0） 四、小结四、小结 函数极限的统一定义 2.4 极限的运算法则2.4 极限的运算法则 一、极限运算法则一、极限运算法则 定理 设，则 （1） （2） （3） 例7. 【答疑编号11020210：针对该题提问】 推论1 如果lim f(x)存在，而c为常数，则 常数因子可以提到极限记号外面。

推论2 如果lim f(x)存在，而n是正整数，则 二、求极限方法举例二、求极限方法举例 例8.求 【答疑编号11020211：针对该题提问】 解 （直接代入法） 例9.求 【答疑编号11020212：针对该题提问】 解：x→1时，分子，分母的极限都是零型） （消去零因子法或因式分解法） 例10.求 【答疑编号11020213：针对该题提问】 解：先变形再求极限 例11.求 【答疑编号11020214：针对该题提问】 三、小结三、小结 1.极限的四则运算法则及其推论； 2.极限求法 a.多项式与分式函数代入法求极限； b.因式分解法消去零因子求极限； c.通分法 d.利用左右极限求分段函数极限 2.5 无穷小和无穷大2.5 无穷小和无穷大 一、无穷小一、无穷小 1.定义：极限为零的变量称为无穷小 函数f（x）当x→x0 （或x→∞）时为无穷小，记作 例如， ，∴函数sinx是当x→0时的无穷小 ，∴函数是当x→∞时的无穷小 ，∴数列是当n→∞时的无穷小 注意： （1）无穷小是变量，不能与很小的数混淆； （2）零是可以作为无穷小的唯一的数 2.无穷小与函数极限的关系： 定理 其中α（x）是当x→x0时的无穷小。

3.无穷小的运算性质： （1）在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小 （2）有限个无穷小的乘积也是无穷小 （3）有界变量与无穷小的乘积是无穷小 例如，当x→0时， 二、无穷大二、无穷大 1.定义：绝对值无限增大的变量称为无穷大 函数f（x）当x→x0 （或x→∞）时为无穷大，记作 2.特殊情形：正无穷大，负无穷大 注意： （1）无穷大是变量，不能与很大的数混淆； （2）切勿将 认为极限存在 （3）无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大 例如，是无界变量不是无穷大 三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系 1.定理 在同一过程中，无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大 2.意义：关于无穷大的讨论，都可归结为关于无穷小的讨论 例1.求 【答疑编号11020301：针对该题提问】 解：商的法则不能用 又 由无穷小与无穷大的关系,得 例2.求 【答疑编号11020302：针对该题提问】 解：x→∞时，分子，分母的极限都是无穷大型） 先用x3去除分子分母，分出无穷小，再求极限 （无穷小因子分出法） 例3.求 【答疑编号11020303：针对该题提问】 例4.求 【答疑编号11020304：针对该题提问】 小结：当，m和n为非负整数时有 无穷小分出法：以分子、分母中自变量的最高次幂除分子，分母，以分出无穷小，然后再求极限。

例5. 【答疑编号11020305：针对该题提问】 例6.求 【答疑编号11020306：针对该题提问】 例7.求 【答疑编号11020307：针对该题提问】 例8（2007年10月） 【答疑编号11020308：针对该题提问】 例9（2007年10月）、下面A、B、C、D四个极限中，哪一个极限存在（） A. B. C. D. 【答疑编号11020309：针对该题提问】 答案：D 例10（2007年4月）（ ） A.0 B.1 C.-1 D.不存在 【答疑编号11020310：针对该题提问】 答案：B 例11（2007年7月）计算 【答疑编号11020311：针对该题提问】 例12（2005年）计算 【答疑编号11020312：针对该题提问】 2.6 两个重要极限2.6 两个重要极限 2.6.1 关于2.6.1 关于 例1、计算 【答疑编号11020401：针对该题提问】 解： 例2、 【答疑编号11020402：针对该题提问】 解： 例3、80页第1题（5） 【答疑编号11020403：针对该题提问】 解： 例4、 【答疑编号11020404：针对该题提问】 解： 例5、 【答疑编号11020405：针对该题提问】 解： 例6、判断四个极限分别属于哪一种类型： （1） 【答疑编号11020406：针对该题提问】 （2） 【答疑编号11020407：针对该题提问】 （3） 【答疑编号11020408：针对该题提问】 （4） 【答疑编号11020409：针对该题提问】 解： 解： 例7、求 【答疑编号11020410：针对该题提问】 解 2.6.2 关于2.6.2 关于 例1、求 【答疑编号11020501：针对该题提问】 解： 例2、 【答疑编号11020502：针对该题提问】 解： 例3、 【答疑编号11020503：针对该题提问】 解： 例4、 【答疑编号11020504：针对该题提问】 解： 方法一： 方法二： 例5、 【答疑编号11020505：针对该题提问】 解： 例6、 【答疑编号11020506：针对该题提问】 解： 例7、 【答疑编号11020507：针对该题提问】 解： 例8、 【答疑编号11020508：针对该题提问】 解： 方法一： 方法二： 例9、81页4题（8） 【答疑编号11020509：针对该题提问】 解： 小结： 第一类重要极限： 第二类重要极限： 2.5.4 无穷小的比较2.5.4 无穷小的比较 例如，当x→0时，都是无穷小。

观察各极限 ，x2比3x要快得多； ，sinx与x大致相同； 不存在，不可比 极限不同，反映了趋向于零的“快慢”程度不同 定义： 设α，β是同一过程中的两个无穷小，且α≠0. （1）如果，就说β是比α高阶的无穷小，记作β=o（α）； （2）如果，就说β与α是同阶的无穷小； 特殊地如果，则称β与α是等价的无穷小；记作α～β； 等价无穷小： 例： 【答疑编号11020601：针对该题提问】 例： 【答疑编号11020602：针对该题提问】 得：当x→0时， 例： （1）73页8题： 当x→∝时，a，b，c应满足什么条件可使下式成立？ （1） （2） 等价无穷小代换 等价代换原理：在同一极限过程中的三个变量u，v，w，如果u，v是无穷小量，且等价，则有 ， 由 得：当x→0时， 常用等价无穷小： 当x→0时， 牢记常用的等价无穷小： 当x→0时， 例： 【答疑编号11020603：针对该题提问】 例： 【。