数值分析插值报告(共29页).doc

精选优质文档-----倾情为你奉上 目录第1章 插值法的研究............................................1 1.1 插值法的简介............................................1 1.2 插值法的相关概念........................................2 1.3 插值法的相关理论........................................2 1.4 插值法的国外研究进展....................................3 1.5 插值法的国内研究现状....................................3第2章 算法研究................................................4 2.1 多项式研究..............................................4 2.2 拉格朗日插值............................................5 2.2.1 拉格朗日插值法典型例题及其解法.....................6 2.3 牛顿插值................................................7 2.3.1 牛顿插值法典型例题及其解法.........................8 2.4 龙格现象................................................9 2.5 分段线性插值多项式.....................................12 2.5.1 分段线性插值......................................12 2.5.2 分段三次艾尔米特插值..............................13 2.6 三次样条插值............................................162.6.1 样条函数............................................162.6.2 三次样条函数........................................16 2.6.3 三次样条函数插值....................................16 2.7 插值方法的比较..........................................18第3章 插值法的应用...........................................19 3.1 插值法在所学专业的应用..................................19 3.2 插值法在其他专业的应用..................................19第4章 算法展望..............................................20 4.1 插值方法在所学专业的展望................................20第5章 附录..................................................21 插值法及其应用研究第一章 插值法的描述1.1、插值法的简介在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，然而，这种关系经常很难有明显的解析表达，通常只是由观察与测试得到一些离散数值。

有时，即使给出了解析表达式，却由于表达式过于复杂，不仅使用不便，而且不易于进行计算与理论分析解决这类问题的方法有两种：一种是插值法,另一种是拟合法插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践，早在一千多年前，我国科学家在研究历法上就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是在微积分产生之后才逐渐完善的，其应用也日益增多，特别是在计算机软件中，许多库函数，如等的计算实际上归结于它的逼近函数的计算逼近函数一般为只含有算术运算的简单函数，如多项式、有理分式（即多项式的商）在工程实际问题当中，我们也经常会碰到诸如此类的函数值计算问题被计算的函数有时不容易直接计算，如表达式过于复杂或者只能通过某种手段获取该函数在某些点处的函数值信息或者导数值信息等因此，我们希望能用一个“简单函数”逼近被计算函数，然后用该简单函数的函数值近似替代被计算函数的函数值这种方法就叫插值逼近或者插值法插值法要求给出函数的一个函数表，然后选定一种简单的函数形式，比如多项式、分段线性函数及三角多项式等，通过已知的函数表来确定一个简单的函数作为的近似，概括地说，就是用简单函数为离散数组建立连续模型1.2、插值法的相关概念插值法又称“内插法”，是利用函数在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数的近似值，这种方法称为插值法。

插值法的一般定义：设函数在区间上有定义，且已知在点上的值，若存在一简单函数，使成立，就称为的插值函数，点称为插值节点，包含插值节点的区间成为插值区间，求插值函数的方法称为插值法若是次数不超过的代数多项式，即其中为实数，就称为插值多项式，相应的插值法称为多项式若为分段的多项式，就称为分段插值，若为三角多项式，就称为三角插值1.3、插值法的相关理论要解决实际问题就必须有试验数据或者观测数据，根据这些数据希望找到某种内在规律的数量关系，从而确定出实际问题中存在的函数关系应用插值法就可以做到这些数学理论上期望插值问题的提法：已知个节点，(，其中互不相同，不妨设)，求任一插值点处的函数值节点可视为由产生，表达式复杂或无解析形式或者未知求解插值问题的基本思路：构造一个相对简单的函数通过全部节点，即：再用计算插值，即插值多项式具有：存在性、唯一性、收敛性1.4、插值法的国外研究进展插值理论是在17世纪微积分产生以后才逐步发展的，牛顿的等距节点插值公式及均差插值公式都是当时的重要成果18世纪，拉格朗日给出了更一般的非等距节点上的插值公式近半世纪由于计算机的广泛使用和造船、航空、精密机械加工等实际问题的需要，使插值法在理论上和实践上得到进一步发展，尤其是20世纪40年代后发展起来的样条插值，更获得广泛应用，成为计算机图形学的基础。

在近代，插值法是观测数据处理和函数制表所常用的工具，又是导出其他许多数值方法（例如数值积分、非线性方程求解、微分方程数值解等）的依据1.5、插值法的国内研究现状插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践.早在一千多年前，我国科学家在研究历法时就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是在微积分产生以后才逐步完善的，其应用也日益广泛.特别是由于计算机的使用和航空、造船、精密机械加工等实际问题的需要，使插值法在理论上和实践上得到进一步发展.尤其是近几十年发展起来的样条(Spline)插值，获得了极为广泛的应用，并成为计算机图形学的基础.第二章 算法研究2.1、多项式插值：设在区间上给定个点上的函数值，求次数不超过的多项式使 （1-1）由此可得到关于系数的元线性方程组此方程组系数矩阵为称为范德蒙德矩阵，由于互译，故因此，线性方程组的解存在且唯一，于是有结论：满足（1-1）的插值多项式是存在唯一的，以上可以看出直接求解方程组就可以得到插值多项式虽然这个过程直观易懂,但它都不是建立插值多项式最好的办法,因为范德蒙（Vandermonde）方程组有可能是病态的,这样会导致单项式系数不确定。

另外,单项式中的各项可能在大小上有很大的差异,这就导致了多项式计算中的舍入误差下面是观察范德蒙矩阵的病态的实验结果： Ln(cond(A)- n之间的曲线如下：说明：随着n的增大，ln(cond(A))也线性增大，即cond(A)呈线性指数上升趋势，当n去一个较大的值时，cond（A）会相当大，方程组呈现病态2.2、拉格朗日基本插值公式进行插值：若次多项式在个节点上满足条件 （1-2）就称这个次多项式为节点上的次插值基函数对及时的情况面前已经讨论用类似的推导方法，可得到次插值基函数为 （1-3）显然它满足上述条件（1-2）于是，满足上述条件的插值多项式可表示为 （1-4）由的定义知：形如（1-4）式的插值多项式称为拉格朗日插值多项式2.2.1 拉格朗日插值法典型例题及其解法例1：设函数，已知下列数据点：利用拉格朗日插值公式计算函数在处的近似值解：根据拉格朗日插值公式有代入数据得 例2：已知，构造二次拉格朗日插值多项式，计算。

解：（1）以插值点(27,3), (64,4), (125,5)代入插值公式，得=与单项式基本函数插值多项式相比,拉格朗日插值有2个重要优点首先,建立插值多项式不需要求解方程组；其次,它的估计值受舍入误差要小得多拉格朗日插值公式结构紧凑,在理论分析中很方便,但是,当插值节点增加、减少或其位置变化时全部插值函数均要随之变化,从而整个插值公式的结构也将发生变化,这在实际计算是非常不利的2.3、使用牛顿均差插值公式进行多项式进行插值：首先,定义均差, 在上的一阶均差，其中在，的二阶均差，阶均差由此得出牛顿均值插值多项式的公式为实际计算中经常利用下表给出的均差表直接构造牛顿插值公式一阶均差二阶均差三阶均差…………………2.3.1 Newton插值法典型例题及其解法例：已知函数的函数表如下：0.400.550.650.800.901.050.410 750.578 150.696 750.888 111.026 521.253 82求四次牛顿插值多项式，并由此求的近似值 分析 表中给出六对数据，故最高可构造五次多项式但由于0.596接近于，因此可取前五对数据来做差商表解 构造差商表如下：一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商0.400.550.650.800.900.410 750.578 150.696 750.888 111.026 521.116 001.186 001.275 731.384 100.280 000.358 930.433 480.19。