2022年高中数学数列放缩专题用放缩法处理数列和不等问题.pdf

用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例 1正数数列na的前n项的和nS，满足12nnaS，试求：（1）数列na的通项公式；（2）设11nnnaab，数列nb的前n项的和为nB，求证：21nB解：（ 1）由已知得2) 1(4nnaS，2n时，211)1(4nnaS，作差得：1212224nnnnnaaaaa，所以0)2)(11nnnnaaaa，又因为na为正数数列，所以21nnaa，即na是公差为2 的等差数列，由1211aS，得11a，所以12nan（2）)121121(21)12)(12(111nnnnaabnnn，所以21)12(2121)1211215131311(21nnnBn真题演练1：(06 全国 1 卷理科 22 题)设数列na的前n项的和 ,14122333nnnSa，1,2,3,n（）求首项1a与通项na；（）设2nnnTS，1,2,3,n，证明：132niiT. 解: () 由 Sn=43an132n+1+23, n=1,2,3， , 得 a1=S1= 43a1134+23所以 a1=2再由有 Sn 1=43an1132n+23, n=2,3，4, 将和相减得: an=SnSn1= 43(anan1) 13(2n+12n),n=2,3, 整理得 : an+2n=4(an 1+2n1),n=2,3, , 因而数列 an+2n是首项为a1+2=4, 公比为 4 的等比数列 , 即 : an+2n=44n1= 4n, n=1,2,3, , 因而 an=4n2n, n=1,2,3, , ( ) 将 an=4n2n代入得 Sn= 43(4n2n)132n+1 + 23 = 13(2n+11)(2n+12) = 23(2n+11)(2n1) Tn= 2nSn = 322n (2n+11)(2n1) = 32(12n112n+11) 所以 , 1niiT= 321(ni12i 112i+11) = 32(12111121n) 1）化简得：1122( 1)nnnaa2) 1(2) 1(11nnnnaa,32) 1( 232) 1(11nnnnaa故数列 32) 1(nna 是以321a为首项 , 公比为2的等比数列 . 故1)2)(31(32) 1(nnna222( 1) 3nnna数列 na的通项公式为：222( 1) 3nnna. 观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。

而左边=2324511131112 21212( 1)mmmaaa，如果我们把上式中的分母中的1去掉，就可利用等比数列的前n 项公式求和，由于-1 与 1 交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：32322121121121，43432121121121，因此，可将1212保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和这里需要对m进行分类讨论，（1）当m为偶数)4(m时，maaa11154)11()11(11654mmaaaaa)212121(2321243m)211 (4123214m832187（2）当m是奇数)4(m时，1m为偶数，8711111111165454mmmaaaaaaaa所以对任意整数4m，有maaa1115487本题的关键是并项后进行适当的放缩3. （07 武汉市模拟）定义数列如下：Nnaaaannn, 1, 2211求证：（ 1）对于Nn恒有nnaa1成立；（2）当Nnn且2，有11211aaaaannn成立；（ 3）11112112006212006aaa分析：（ 1）用数学归纳法易证2）由121nnnaaa得：) 1(11nnnaaa)1(111nnnaaa) 1(1112aaa以上各式两边分别相乘得：) 1(111211aaaaaannn，又21a11211aaaaannn（3）要证不等式11112112006212006aaa，可先设法求和：200621111aaa，再进行适当的放缩。

) 1(11nnnaaannnaaa111111111111nnnaaa200621111aaa)1111()1111()1111(200720063221aaaaaa111120071aa20062111aaa1又2006200612006212aaaa200620062121111aaa原不等式得证本题的关键是根据题设条件裂项求和用放缩法处理数列和不等问题（学生版）一先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例 1正数数列na的前n项的和nS，满足12nnaS，试求：（1）数列na的通项公式；（2）设11nnnaab，数列nb的前n项的和为nB，求证：21nB真题演练1：(06 全国 1 卷理科 22 题)设数列na的前n项的和 ,14122333nnnSa，1,2,3,n（）求首项1a与通项na；（）设2nnnTS，1,2,3,n，证明：132niiT. 二先放缩再求和1放缩后成等比数列，再求和例 2等比数列na中，112a，前n项的和为nS，且798,S S S成等差数列设nnnaab12，数列nb前n项的和为nT，证明：13nT真题演练2：(06 福建卷理科22 题)已知数列na满足*111,21().nnaaanN（I ）求数列na的通项公式；（II ）若数列nb滿足12111*444(1) ()nnbbbbnanN，证明：数列nb是等差数列；（）证明：*122311.()232nnaaannnNaaa. 2放缩后为“差比”数列，再求和例 3已知数列na满足：11a，)3,2,1()21 (1nanannn求证：11213nnnnaa3放缩后成等差数列，再求和例 4已知各项均为正数的数列na的前n项和为nS, 且22nnnaaS. (1) 求证：2214nnnaaS；(2) 求证：112122nnnSSSSS练习：1. （08 南京一模22 题）设函数213( )44f xxbx，已知不论,为何实数，恒有(cos)0f且(2sin)0f. 对于正数列na，其前 n 项和()nnSf a，*()nN. () 求实数 b 的值；（ II ）求数列na的通项公式；（）若1,1nncnNa，且数列nc的前 n 项和为nT，试比较nT和16的大小并证明之. 2. （04 全国）已知数列na的前n项和nS满足：nnnaS)1(2，1n（1）写出数列na的前三项1a，2a，3a；（ 2）求数列na的通项公式；（3）证明：对任意的整数4m，有8711154maaa3. （07 武汉市模拟）定义数列如下：Nnaaaannn, 1, 2211求证：（ 1）对于Nn恒有nnaa1成立；（2）当Nnn且2，有11211aaaaannn成立；（ 3）11112112006212006aaa。