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完整word版)量子力学22§4—3 幺正变换我们用大家熟悉的解析几何中的坐标变换作为类比，来引入量子力学中表象变换的概念建立如图所示的两个平面直角坐标系，基矢分别为、和、，它们构成两组正交归一完备的基矢组正交归一性： 完备性：平面上任何一个矢量均可用它展开，即 先找基矢之间的变换关系.由图得 即其中为基矢之间的变换矩阵.再来找矢量在两个不同坐标系中的变换关系因为所以 即变换矩阵满足如下性质：因为（实矩阵）,所以，所以于是满足这样性质的矩阵，称为幺正矩阵，由它联系的变换称为幺正变换.与此类似，可以推导出量子力学中态和力学量从一表象到另一表象的变换公式，不过要复杂得多一、表象与表象的变换关系（基矢变换）设力学量算符、的本征方程分别为 其中、为正交归一完备系.将按展开,有 展开系数为这样，就是变换矩阵，它可以把表象的基矢用表象的基矢表示出来上面两个展开式的矩阵表示分别为或简记为 利用基矢组的正交归一性，得即 （单位矩阵)又因为（注意：与应区别，否则）把按展开，有 而，所以即因此又由逆矩阵的定义得因此变换矩阵为幺正矩阵，它所表示的变换为幺正变换，所以由表象到表象的变换是幺正变换。

注意：不是厄米矩阵（）二、力学量由表象到表象的变换 在表象和表象中，力学量的矩阵元公式分别为 所以即 (矩阵表示)这就是力学量由表象到表象的变换公式.三、态矢量由表象到表象的变换因为力学量算符和的本征函数系与都具有完全性，则即在表象和表象的表示形式分别为 其中，.因为，所以即（矩阵表示)或这就是态矢量从表象到表象的变换形式四、幺正变换的重要性质1．幺正变换不改变算符的本征值证明：设算符在表象和表象中的本征值方程分别为: （矩阵形式）因为所以即幺正变换不改变算符的本征值.说明：这个性质指出了求解力学量算符本征值的一个有效的方法由于在自身表象中的矩阵表示是一个对角元素为其本征值的对角矩阵，因此求解本征值问题可以归结为寻找一个变换矩阵将从原来的表象（比如表象）变换到自身表象，使的矩阵表示对角化,对角元素就是的本征值表象 表象例如求解能量本征问题：（表象),寻找一个变换矩阵,使得从表象变换到自身表象，即使对角化:为使对角化，必须有两边同乘,并对求和，得或这是在表象中对应本征值为的本征方程是对应本征值为的本征函数，而它也正是变换矩阵的第列，因此把从表象变换到自身表象的变换矩阵是以在表象中求得的本征矢以本征值的顺序按列排列起来即可。

例1．在表象中，求出的本征值和本征函数解：解得的本征值为对应的本征函数为 于是把矩阵从表象变到表象(自身表象）的变换矩阵为且所以在表象中2．幺正变换不改变矩阵的迹（spur or trace）证明：定义矩阵的迹为：而，则注：也可利用矩阵次序轮换迹不变(），很容易证明结论小 结一、表象与表象的变换关系（基矢变换) 二、力学量由表象到表象的变换 (矩阵表示）三、态矢量由表象到表象的变换(矩阵表示)四、幺正变换的重要性质1．幺正变换不改变算符的本征值2．幺正变换不改变矩阵的迹。