第12章全等三角形之对角互补模型.docx

对角互补模型【说明】：（知二推一）在四边形中，已知一组邻边相等、其它两边夹角平分线、对角互补题目】：如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，∠BCA=∠DCA，求证：AB=AD 【解析】：过点A作AJ⊥CD，AK⊥BC，垂足分别为J、K∵ ∠BCA=∠DCA且AK⊥BC，AJ⊥CD∴ AK=AJ (角平分线上的点到角两边距离相等）∴ ∠AKB=∠AJD=90°又∵ ∠ABC+∠ADJ=180°∴ ∠ABC+∠ABK=180°∴ ∠ABK=∠ADJ（同角的补角相等）在△ABK和△ADJ中∠ABK=∠ADJ∠AKB=∠AJDAK = AJ∴ △ABK≌△ADJ（AAS）∴ AB=AD【题目】：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，求证：∠BCA=∠DCA 【解析】：过点A作AJ⊥CD，AK⊥BC，垂足分别为J、K∵ AK⊥BC，AJ⊥CD∴ ∠AKB=∠AJD=90°又∵ ∠ABC+∠ADJ=180°∴ ∠ABC+∠ABK=180°∴ ∠ABK=∠ADJ（同角的补角相等）在△ABK和△ADJ中∠AKB=∠AJD∠ABK=∠ADJAB=AD∴ △ABK≌△ADJ（AAS）∴ AK=AJ∴ CA平分∠BCD(角平分线的判定定理）∴ ∠BCA=∠DCA【题目】：如图,在四边形ABCD中，AB=AD，∠BCA=∠DCA，求证：∠B+∠D=180°。

【解析】：过点A作AJ⊥CD，AK⊥BC，垂足分别为J、K∵ ∠BCA=∠DCA且AK⊥BC，AJ⊥CD∴ AK=AJ (角平分线上的点到角两边距离相等）∴ ∠AKB=∠AJD=90°在Rt△ABK和Rt△ADJ中AB=ADAK=AJ∴ Rt△ABK≌Rt△ADJ（HL）∴ ∠ABK=∠ADJ∵ ∠ABC+∠ABK=180°∴ ∠ABC+∠ADJ=180°即∠B+∠D=180°90°—90º全等型：【题目】：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB，求证：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③SODCE=½OC2 【解析】：点C作CM⊥OA于点M，CN⊥OB于点N∵ OC平分∠AOB且CM⊥OA、CN⊥OB∴ CM＝CN（角平分线上的点到角两边的距离相等）∴ ∠CMD=∠CNE=90°在四边形ODCN中，由题意可得∠CDO+∠CEN＝180º又∵ ∠CDO+∠CDM=180°∴ ∠CDM=∠CEN（同角的补角相等）在△CDM和△CEN中∠CDM=∠CEN∠CMD=∠CNECM＝CN∴ △CDM≌△CEN（AAS）∴ CD＝CE∴ 四边形MONC为正方形∴ OM＝ON＝OC∵ OD＋OE＝OD＋ON＋NE＝OD＋ON＋DM＝OM＋ON∴ OD＋OE＝OC又∵ 四边形MONC为正方形且S△CDM=S△CEN∴ SODCE=SODCE=½OC2.【变式】：如图，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB，则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 【解析】：过点C作CF⊥OA于点F，CG⊥OB于点G∵ OC平分∠AOB且CF⊥OA、CG⊥OB∴ CF＝CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）∴ ∠CFD=∠CGE=90°∴ 四边形CFOG为正方形∵ ∠1＋∠2＝90º，∠3＋∠2＝90º∴ ∠1＝∠3∴ △CDF≌△CEG（ASA）∴ CD＝CE FD=GE在正方形CFOG中，OF＝OG＝OC，∵ OE－OD＝OG＋GE－OD＝OG＋FD－OD＝OG＋OF∴ OE－OD＝OC＝OC∴ S△COE-S△COD=S△COG+S△CGE -(S△CFD-S△CFO)=S△COG+S△CGE -S△CFD+S△CFO=½OC2.60º—120º全等型：【题目】：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB，求证：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③SCDOE=√3/4 OC2. 【解析】：过点C作CF⊥OA于点F，CG⊥OB于点G∵ OC平分∠AOB且CF⊥OA、CG⊥OB∴ CF＝CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）∴ ∠CFD=∠CGE=90°∵ ∠AOB+∠DCE=180°∴ ∠CDO+∠CEG=180°又∵ ∠CDO+∠CDF=180°∴∠CDF＝∠CEG（同角的补角相等）∴ △CDF≌△CEG（AAS）∴ CD＝CE在Rt△COF和Rt△COG中，∠COF＝∠COG＝60º∴OF＝OG＝OC又∵ OD＋OE＝OD＋OG＋EG＝OD＋OG＋DF＝OF＋OG∴ OD＋OE＝OC＝OC∴ SCDOE=2S△CFO=√3/4 OC2.120º—60º全等型：【题目】：如图，△ABC中，∠ABC=120°，D为三角形外一点，若∠ADC=60°，且DB平分∠ADC，求证：AB=BC，AD+CD=√3BD，SABCD=√3/4 BD2. 【解析】：过点B作BF⊥AD于点F，BE⊥DC于点E∵ DB平分∠ADC且BF⊥AD、BE⊥DC∴ BF=BE（角平分线上的点到角两边的距离相等）∴ ∠BFA=∠BEC=90°∵ ∠ABC+∠ADC=180°∴ ∠BAF+∠BCD=180°又∵ ∠BCD+∠BCE=180°∴ ∠BAF=∠BCE（同角的补角相等）∴ △BAF≌△BCE（AAS）∴ AB=BC, AF=CE∴ AD+CD=AF+FD+CD=2DF∵ ∠ADC=60°且DB平分∠ADC∴ ∠BDF=30°∴ AD+CD=√3BD ∴ SABCD=2S△BFD=√3/4 BD2.【跟踪训练】1. 如图，画∠AOB=90°，并画∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点落在角平分线上的任意一点P，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E、F，试猜想PE、PF的大小关系，并说明理由．2. 在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证：DE=DF．3. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时．①求证：△ABD≌△ACE；②直接判断结论AC=DC+CE是否成立（不需证明）；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出AC，DC，CE之间存在的数量关系，并写出证明过程．4. 如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE，求证：△ABC≌△DEC.5. 已知三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点.（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．【解析1】：PE=PF，理由是：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，则∠PME=∠PNF=90°，∵OP平分∠AOB，∴PM=PN，∵∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，∴∠MPN=90°，∵∠EPF=90°，∴∠MPE=∠FPN，在△PEM和△PFN中 ∴△PEM≌△PFN（ASA），∴PE=PF． 【解析2】：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N即∠EMD=∠FND=90°∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC∴DM=DN（角平分线性质）∵∠EAF+∠EDF=180°， ∴∠MED+∠AFD=360°-180°=180°∵∠AFD+∠NFD=180°∴∠MED=∠NFD在△EMD和△FND中∴△EMD≌△FND（AAS）∴DE=DF． 【解析3】：（1）①∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD=∠EAC．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）．②∵△ABD≌△ACE，∴BD=CE．∵BC=BD+CD，∴BC=CE+CD．即AC=CE+CD（2）BC+CD=CE．∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，∴∠BAD=∠EAC．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴BD=CE．∵BD=BC+CD，∴CE=BC+CD；即CE=AC+CD【解析4】：∵∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，∴∠1+∠2=∠2+∠D=90°，∠3+∠4=∠4+∠5=90°∴∠1=∠D，∠3=∠5，在△ABC和△DEC中 ∠1=∠D ，∵ ∠3=∠5，BC＝CE，∴△ABC≌△DEC（AAS）【解析5】：(1) 证明：连结AD.∵AB＝AC  ∠BAC＝90°  D为BC的中点 ∴∠B＝∠BAD=∠DAC＝45°,AD⊥BC    ∴BD=AD, ∠BDA=90°又BE=AF∴△BDE≌△ADF （SAS）∴ED=FD  ∠BDE=∠ADF∴∠EDF=∠EDA＋∠ADF=∠EDA＋∠BDE=∠BDA=90°∴△DEF为等腰直角三角形             (2)△DEF仍为等腰直角三角形  证明：连结AD  ∵AB＝AC  ∠BAC＝90°  D为BC的中点 ∴∠DAC＝∠BAD=∠ABD＝45°,AD⊥BC    ∴BD＝AD, ∠BDA＝90°∴∠DAF＝∠DBE＝135°又AF＝BE∴△DAF≌△DBE  （SAS）∴FD＝ED   ∠FDA＝∠EDB∴∠EDF＝∠EDB＋∠FDB＝∠FDA＋∠FDB＝∠ADB＝90°∴△DEF仍为等腰直角三角形 。