希尔伯特23个数学问题7大数学难题.doc

世界数学十大未解难题 (其中“一至七”为七大“千僖难题”；附录“希尔伯特23个问题里尚未解决的问题”） 一：P(多项式算法）问题对ＮP（非多项式算法)问题 在一种周六的晚上,你参与了一种隆重的晚会由于感到局促不安，你想懂得这一大厅中与否有你已经结识的人你的主人向你建议说,你一定结识那位正在甜点盘 附近角落的女士罗丝不费一秒钟,你就能向那里扫视,并且发现你的主人是对的的然而，如果没有这样的暗示,你就必须环顾整个大厅，一种个地审视每一种　人，看与否有你结识的人生成问题的一种解一般比验证一种给定的解时间耗费要多得多这是这种一般现象的一种例子与此类似的是,如果某人告诉你,数 13，717,421可以写成两个较小的数的乘积，你也许不懂得与否应当相信她,但是如果她告诉你它可以因子分解为3６０７乘上380３，那么你就可以用 一种袖珍计算器容易验证这是对的不管我们编写程序与否机灵，鉴定一种答案是可以不久运用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要耗费大量时间来求解， 被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一它是斯蒂文·考克(StephenCook)于１971年陈述的二: 霍奇(Hodge)猜想 二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的措施。

基本想法是问在如何的限度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增长的简朴几何营造块 粘合在一起来形成这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最后导至某些强有力的工具，使数学家在对她们研究中所遇到的形形色色的对　象进行分类时获得巨大的进展不幸的是，在这一推广中,程序的几何出发点变得模糊起来在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件霍奇猜想断 言,对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件事实上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合ﻫ三: 庞加莱(Ｐoinｃare)猜想 如果我们伸缩环绕一种苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一种点另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适 当的方向被伸缩在一种轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有措施把它收缩到一点的我们说,苹果表面是“单连通的”,而轮胎面不是大概在一百年 此前,庞加莱已经懂得,二维球面本质上可由单连通性来刻画,她提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的相应问题这个问题立即变得无比困 难,从那时起,数学家们就在为此奋斗 四: 黎曼(Riemann)假设 有些数具有不能表达为两个更小的数的乘积的特殊性质,例如，2,3,5,７，等等。

这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用在所有自然 数中,这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼（182６~1866）观测到,素数的频率紧密相有关一种精心构造的所谓黎曼蔡塔函　数z(ｓ$的性态出名的黎曼假设断言,方程z(ｓ)＝0的所有故意义的解都在一条直线上这点已经对于开始的1,500，0０0,０00个解验证过证 明它对于每一种故意义的解都成立将为环绕素数分布的许多奥秘带来光明 五： 杨－米尔斯(Yang－Ｍills)存在性和质量缺口 量子物理的定律是以典型力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的大概半个世纪此前,杨振宁和米尔斯发现,量子物理揭示了在基本粒子物理与几 何对象的数学之间的令人注目的关系基于杨-米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范畴内的实验室中所履行的高能实验中得到证明：布罗克哈文、斯坦福、欧洲 粒子物理研究所和筑波尽管如此，她们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解特别是，被大多数物理学家所确认、并且在她们的对于 “夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，历来没有得到一种数学上令人满意的证明在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进主线上的 新观念。

  六: 纳维叶－斯托克斯(Ｎavｉｅr－Sｔokes)方程的存在性与光滑性 起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船,湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行数学家和物理学家深信,无论是微风还是湍流,都可以通过理 解纳维叶-斯托克斯方程的解,来对它们进行解释和预言虽然这些方程是１9世纪写下的,我们对它们的理解仍然很少挑战在于对数学理论作出实质性的进展， 使我们能解开隐藏在纳维叶-斯托克斯方程中的奥秘 七： 贝赫(Bｉrch）和斯维讷通-戴尔(Swｉnｎｅrtoｎ－Dyｅr)猜想 数学家总是被诸如x^2＋y＾2=ｚ＾2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答,但是对于更为复杂的方程,这 就变得极为困难事实上，正如马蒂雅谢维奇(Yｕ．V.Matiyaseｖicｈ)指出,希尔伯特第十问题是不可解的，即,不存在一般的措施来拟定这样的 措施与否有一种整数解当解是一种阿贝尔簇的点时,贝赫和斯维讷通-戴尔猜想觉得,有理点的群的大小与一种有关的蔡塔函数z(s)在点s＝１附近的性态 特别是，这个有趣的猜想觉得,如果ｚ(1）等于0,那么存在无限多种有理点（解),相反,如果ｚ(1)不等于0,那么只存在有限多种这样的点。

 八：几何尺规作图问题 这里所说的“几何尺规作图问题”是指作图限制只能用直尺、圆规，而这里的直尺是指没有刻度只能画直线的尺几何尺规作图问题”涉及如下四个问题 1.化圆为方－求作一正方形使其面积等於一已知圆;　2.三等分任意角； 3.倍立方－求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍 4.做正十七边形 以上四个问题始终困扰数学家二千近年都不得其解,而事实上这前三大问题都已证明不也许用直尺圆规经有限环节可解决的第四个问题是高斯用代数的措施解决 的,她也视此为生平得意之作,还交待要把正十七边形刻在她的墓碑上,但后来她的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，由于负责刻碑的雕刻家觉得，正十 七边形和圆太像了,人们一定辨别不出来 九：哥德巴赫猜想 公元1742年6月７日哥德巴赫(Goｌdｂach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler）,提出了如下的猜想: （a)　任何一种>=6之偶数,都可以表达到两个奇质数之和　(b) 任何一种＞=9之奇数,都可以表达到三个奇质数之和 从此，这道出名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意2过去了,没有人证明它哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。

哥德巴赫猜想 最新最佳的成果是中国数学家陈景润的陈氏定理，通俗地讲:哥德巴赫猜想如果简称“１+1”,如今解决的是“1+2”但是这样说使得许多大众容易产生误会 十：四色猜想 １852年,毕业于伦敦大学的弗南西斯．格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象:“看来,每幅地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界的国家着上不同的颜色 １872年，英国当时最出名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题世界上许多一流的数学家都纷纷参与了四色猜想的大会战　１97６年,美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用了12０0个小时，作了100亿判断,终于完毕了四色定理的证明四色猜想的计算机证明,轰动了世界  希尔伯特2３问题里尚未解决的问题：1、问题1持续统假设全体正整数（被称为可数集)的基数 和实数集合（被称为持续统)的基数c之间没有其他基数背景：19３8年奥地利数学家哥德尔证明此假设在集合论公理系统，即策莫罗-佛朗克尔公理系统里,不可证伪19６３年美国数学家柯恩证明在该公理系统，不能证明此假设是对的因此，至今未有人懂得,此假设究竟是对还是错。

２、问题2 算术公理相容性ﻫ背景：哥德尔证明了算术系统的不完备，使希尔伯特的用元数学证明算术公理系统的无矛盾性的想法破灭3、 问题７ 某些数的无理性和超越性背景ﻫ此题为希尔伯特第7问题中的一种特例ﻫ已经证明了ｅ^π的超越性,却至今未有人证明e+π的超越性  4、 问题 8 素数问题ﻫ证明：ﻫζ(s）＝1＋(1/２）^s+(１/３）＾s+(1/４)＾s+(１／5)^ｓ + …ﻫ（s属于复数域)所定义的函数ζ(s）的零点,除负整实数外,全都具有实部１/2背景:此即黎曼猜想也就是希尔伯特第8问题美国数学家用计算机算了ζ(s)函数前30０万个零点的确符合猜想ﻫ希尔伯特觉得黎曼猜想的解决可以使我们严格地去解决歌德巴赫猜想（任一偶数可以分解为两素数之和)和孪生素数猜想（存在无穷多相差为2的素数）ﻫ引申的问题是:素数的体现公式?素数的本质是什么? 5、 问题 11 系数为任意代数数的二次型ﻫ背景:德国和法国数学家在60年代曾获得重大进展6、　问题　12 阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广ﻫ背景：此问题只有些零散的成果,离彻底解决还十分遥远7、 问题１3 仅用二元函数解一般7次代数方程的不也许性。

背景：１957苏联数学家解决了持续函数情形如规定是解析函数则此问题尚未完全解决8、　问题15 舒伯特计数演算的严格基本背景：　代数簌交点的个数问题和代数几何学有关9、 问题 16 代数曲线和曲面的拓扑ﻫ规定代数曲线具有闭的分枝曲线的最大数目和微分方程的极限环的最多种数和相对位置10、 问题 １８ 用全等多面体来构造空间无限个相等的给定形式的多面体最紧密的排列问题，目前仍未解决１1、 问题 20 一般边值问题偏微分方程的边值问题,正在蓬勃发展1２、 问题 2３ 变分法的进一步发展希尔伯特23个数学问题及其解决状况 ﻫ(1)康托的持续统基数问题ﻫﻫﻫ18７4年,康托猜想在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数,即出名的持续统假设193８年,侨居美ﻫ国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明持续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性1９６３年，美国数学家科ﻫ思(Ｐ.Choｅn)证明持续统假设与ZF公理彼此独立因而,持续统假设不能用ZF公理加以证明在这个意义下,问题已获解决ﻫ(2)算术公理系统的无矛盾性ﻫﻫ欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性希尔伯特曾提出用形式主义筹划的证明论措施加以ﻫ证明，哥德尔１9３1年刊登不完备性定理作出否认。

根茨(Ｇ.Gentａｅn，1９０9-1945）19３6年使用超限归纳法ﻫﻫ证明了算术公理系统的无矛盾性ﻫﻫ(3）只根据合同公理证明等底等高的两个四周体有相等之体积是不也许的ﻫ问题的意思是:存在两个登高等底的四周体,它们不也许分解为有限个小四周体，使这两组四周体彼此全等德思（M.Deｈn）19已解决ﻫﻫ（4)两点间以直线为距离最短线问题ﻫﻫ此问题提的一般满足此性质的几何诸多，因而需要加以某些限制条件1973年,苏联数学家波格列洛夫ﻫ（Poｇｌeov）宣布,在对称距离状况下，问题获解决ﻫﻫﻫ（５)拓扑学成为李群的条件(拓扑群)ﻫﻫﻫ这一种问题简称持续群的解析性,即与否每一种局部欧氏群都一定是李群１952年,由格里森(Gｌeａsｏn)、蒙哥马利(Mｏntgomerｙ）、齐宾(Ｚipｐin）共同解决19５3年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结ﻫ果ﻫ(6）对数学起重要作用的物理学的公理化ﻫﻫﻫ1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化后来,在量子力学、量子场论方面获得成功但对物理学各个分支能否全盘公理化,诸多人有怀疑ﻫﻫ(７）某些数的超越性的证明ﻫ需证：。